M´ethode MCNL d´ependant du temps

La dimension temporelle apparaˆıt naturellement dans la m´ethode MCNL, puisque la variable temps est utilis´ee pour synchroniser la propagation des particules. Elle permet donc de traiter des probl`emes d´ependant du temps. Cependant lorsque l’on calcule l’´evolution d’un syst`eme d´ependant du temps, le probl`eme des erreurs statis-tiques, intrins`eque aux m´ethodes Monte-Carlo, devient crucial. En effet, pour simuler un syst`eme en r´egime stationnaire il suffit d’int´egrer le spectre sur un temps suffi-samment long (dans la m´ethode des LP) ou sur un plus grand nombre de photons (avec la m´ethode lin´eaire) pour obtenir une pr´ecision suffisante. Dans des simulations d´ependant du temps ce n’est plus le cas. Il est n´ecessaire d’avoir, `a tout instant, une bonne repr´esentation du syst`eme. Car, une erreur statistique importante `a une date

4On a toujourǫi > ǫr puisqu’un photon ne peut que perdre de l’´energie par diffusions Compton sur des ´electrons froids.

5.1. Principe 69

donn´ee peut avoir des r´epercussions sur l’´evolution ult´erieure du syst`eme. L’erreur statistique d´epend du nombre de LP, NLP, utilis´ees pour repr´esenter le syst`eme `a un instant donn´e. Grˆace `a la technique de pond´eration il n’est pas n´ecessaire d’utiliser un tr`es grand nombre de LP pour avoir une repr´esentation statistique acceptable des dis-tributions de particules`a l’int´erieur de la r´egion active (dans les simulations pr´esent´ees au§III.9.3.2NLP est de l’ordre de 105). Cependant, le nombre de photons s’´echappant de la r´egion active `a chaque pas de temps n’est qu’une fraction tr`es faible du nombre total de LP (∼ ∆tNLP). Or, il est ´egalement n´ecessaire d’avoir un pas de temps plus court que dans le cas stationnaire, de sorte que le syst`eme n’´evolue “pas trop” sur ∆t

(je l’ai fix´e `a 10−3 en unit´es R/c). Le nombre de LP s’´echappant par pas de temps est donc limit´e `a ∼100 ce qui est insuffisant pour obtenir le spectre “instantan´e” sur un pas de temps. Et une augmentation du nombre de LP accroˆıt de fa¸con dramatique le temps de calcul. Si l’on veut calculer des courbes de lumi`ere il faut les moyenner sur un intervalle de temps et/ou une gamme en ´energie suffisamment grands. Des courbes de lumi`ere moyenn´ees sur 0.1H/cet sur une d´ecade en ´energie sont obtenues avec une bonne pr´ecision.

Un autre probl`eme associ´e `a la m´ethode statistique est la d´etermination des pa-ram`etres de temp´erature kTe et d’´epaisseur optique τT de la LP repr´esentant les ´electrons thermiques. Il s’agit de calculer la modification de l’´energie thermique ∆E_T

et de l’´epaisseur optique ∆τT pendant l’intervalle ∆t. Si cela est fait en utilisant les interactions Monte-Carlo qui se sont produites pendant le pas de temps, on obtient des fluctuations statistiques ´enormes. Pour limiter ces fluctuations, on peut moyenner les variations sur les pas de temps pr´ec´edents comme Dove et al. (1997) ou utiliser la m´ethode du r´eservoir (cf§II.5.1.4). Ces m´ethodes ne sont rigoureusement exactes que pour un ´etat d’´equilibre. Dans des situations d´ependant du temps, elles introduisent un temps de relaxation artificiel.

J’ai r´esolu le probl`eme en calculant ∆ET et ∆τT de mani`ere analytique. J’ai calcul´e le taux d’annihilation thermique par int´egration num´erique des formules donn´ees par Svensson (1982) pour une gamme de temp´erature allant de 0 `a 5 MeV. J’ai aussi calcul´e le taux d’´echange d’´energie entre un photon d’´energie donn´ee et une distribution d’´electrons de temp´erature fix´ee par effet Compton. J’ai pour cela int´egr´e les formules donn´ees par Coppi & Blandford (1990) et les d´eveloppement en s´eries de Barbosa (1982) . Ces taux de r´eactions ont ´et´e tabul´es. Ces tables sont utilis´ees en d´ebut de pas de temps pour calculer les pertes Compton, le taux et l’´emissivit´e d’annihilation en utilisant la distribution de particules qui vient d’ˆetre mise `a jour.

refroidissement :

∆ET = ∆Echauf + ∆EComp+ ∆Eann+ ∆Epp (5.19)

o ∆Echauf est la quantit´ee d’´energie fournie `a la distribution par le processus de chauf-fage pendant la dur´ee ∆t du pas de temps, c’est un param`etre directement reli´e `a la compacit´e thermique (voir § III.1.3). ∆EComp est l’´energie ´echang´ee par diffusions Compton : Par exemple pour la LP photon i d’´energie ǫi et de poids ωi. Les tables pr´ecalcul´ees permettent de d´eterminer le taux de d’´echange d’´energie, dǫi/dt(ǫ, kTe), par diffusion compton avec une population d’´electrons ayant une distribution Max-welienne et une densit´e unit´e. On estime l’´energie ´echang´ee ∆Ei entre les photons repr´esent´es par la LPi et les ´electrons thermiques par diffusion Compton pendant la dur´ee ∆t du pas de temps par :

∆Ei =fcωine

dǫi

dt^{∆t (5.20)}

one est la densit´e d´electrons.

Par sommation sur tous les LP photons on d´etermine ∆EComp :

∆EComp =^X i

∆Ei (5.21)

∆Eann est la perte d’´energie due `a l’annihilation des paires thermalis´ees :

∆Eann =n+n−mec²Λ∆t (5.22)

o le taux de refroidissement Λ(kTe) est d´etermin´e `a l’aide de nos tables (ou de l’ex-pression approch´ee I.1.43).

∆Epp est l’´energie apport´ee `a la distribution thermique par effet de production de paires. Cette quantit´ee est d´etermin´ee en utilisant les ´ev´enements Monte-Carlo qui se sont produits pendant le pas de temps5.

Ces m´ethodes permettent de limiter les fluctuations statistiques de la temp´erature entre deux pas de temps successifs `a moins de 1 pour 1000. Cependant les fluctuations de la distribution de photons provoquent des variations de l’ordre 5 % sur des ´echelles de temps de l’ordre deR/c. Heureusement, ces oscillations ne se produisent que dans des situations stationnaires, o`u la temp´erature des ´electrons est la plus sensible aux fluctuations de la distribution des LP photons. Dans des situations hors ´equilibre, la

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Par int´egration sur la distribution de photons on peut ´egalement calculer le taux de production de paires exact, mais cela s’av`ere tr`es coteux en temps de calcul, alors que les fluctuations statistiques `