Les fluides non newtoniens

2.2.2

Les fluides non newtoniens

2.2.2.1 D´efinition

La rh´eologie, qui est l’´etude de l’´ecoulement ou de la d´eformation des corps sous l’effet des contraintes appliqu´ees, permet de d´eterminer dans quelle classe se situe un fluide. Les fluides dits newtoniens ont une relation de proportionnalit´e entre la contrainte et le taux de cisaillement (ou le gradient de vitesse), soit une viscosit´e constante. Les fluides pour lesquels cette relation n’est plus lin´eaire sont appel´es non newtoniens et poss`edent donc une viscosit´e variable d´ependante

du taux de cisaillement. Ils sont associ´es `a une viscosit´e parfois appel´ee dans la litt´erature viscosit´e effective (not´ee µ).

La premi`ere distinction `a faire dans les fluides non newtoniens est li´ee au para- m`etre temporel. La famille des fluides dont les propri´et´es rh´eologiques d´ependent du temps ne sera pas explicit´ee longuement dans ce support. Nous pouvons citer `a titre d’exemple les fluides de type thixotropes qui sont caract´eris´es par une diminu- tion de la viscosit´e sous l’application d’une contrainte constante puis par un retour `

a la viscosit´e initiale apr`es un temps de relaxation, et les fluides visco´elastiques qui ont un comportement interm´ediaire entre un solide ´elastique (d´eformation pro- portionnelle `a la contrainte) et un liquide (taux de d´eformation croissant avec la contrainte).

Les fluides ind´ependants du temps sont class´es en deux familles appel´ees fluides sans seuil et fluides `a seuil. Pour diff´erencier ces groupes, la vitesse de d´eformation des fluides est caract´eris´ee par rapport au taux de cisaillement pour un ´ecoule- ment de cisaillement simple. De ces essais sont tir´ees des relations typiques entre la contrainte de cisaillement σ et le taux de cisaillement ˙γ comme illustr´e sur la Figure 2.5 (´echelle lin´eaire).

σ ˙γ fluide `a seuil rh´eo-fluidifiant fluide `a seuil de Bingham rh´eo-´epaississant fluide newtonien rh´eo-fluidifiant

Fig. 2.5 – Relation entre contrainte σ et taux de cisaillement ˙γ pour des fluides non newtoniens

Pour les fluides `a seuil, l’´ecoulement existe lorsque la contrainte d´epasse une valeur critique. Les fluides `a seuil de Bingham sont plus une notion th´eorique car dans la r´ealit´e la relation contrainte - taux de cisaillement ressemble plus `a une loi en puissance de ˙γ. Les fluides `a seuil rh´eo-fluidifiants englobent les fluides qui, en l’absence d’´ecoulement, sont form´es d’agr´egats rigides de plaquettes comme par exemple pour l’argile. Au dessus du seuil critique, la structure est d´etruite rendant possible l’´ecoulement. Plus la vitesse augmente, plus la structure se d´esagr`ege, alors que les plaquettes s’alignent dans la direction de l’´ecoulement. Les peintures

et de nombreuses suspensions concentr´ees de solides dans un liquide en constituent d’autres exemples.

Les fluides rh´eo-´epaississants voient leur viscosit´e augmenter avec la contrainte appliqu´ee. C’est le cas par exemple du sable mouill´e o`u les grains, `a faible vitesse, glissent les uns par rapport aux autres par l’interm´ediaire de l’eau, puis, sous forte contrainte, se frottent et s’arc-boutent les uns contre les autres.

Les fluides rh´eo-fluidifiants s’´ecoulent sous de faible contrainte et ont une visco- sit´e qui diminue lorsque la contrainte croˆıt. Le shampooing, les concentr´es de jus de fruit, certaines solutions dilu´ees de polym`eres et le sang font partie de cette famille.

2.2.2.2 Mod´elisation des fluides rh´eo-fluidifiants

Il n’existe pas de mod`ele g´en´erique pour repr´esenter le comportement des fluides rh´eo-fluidifiants. Chaque fluide a sa propre signature pour les variations de viscosit´e que ce soit `a faible ou `a fort taux de cisaillement, d’o`u l’existence de plusieurs mod`eles. Les relations propos´ees par la suite correspondent aux mod`eles les plus courant trouv´es dans la litt´erature allant de la mod´elisation la plus simple (en terme de reproduction comportementale et de param`etre utilis´e dans les relations) jusqu’aux mod`eles les plus complets.

La premi`ere relation est la loi d’Ostwald ou loi en puissance et repr´esente seule- ment la variation (non lin´eaire) de la viscosit´e [Joh04]. La relation se pr´esente sous la forme suivante :

µP L = µ0P L( ˙γ)

nP L−1 _(2.21)

Selon la valeur du param`etre nP L, la relation (2.21) d´ecrit les comportements sui-

vant :

– nP L = 1 : fluide newtonien,

– nP L > 1 : fluide rh´eo-´epaississant,

– nP L < 1 : fluide rh´eo-fluidifiant.

Cette relation ne respecte pas le comportement de certains fluides qui, pour une valeur de taux de cisaillement ´elev´ee, reprennent la caract´eristique d’un fluide newtonien. Des modifications r´ealis´ees sur la relation (2.21) ont donn´e lieu `a la loi en puissance g´en´eralis´ee qui s’´ecrit alors :

µP LG= λP LG( ˙γ) | ˙γ|

avec : λP LG( ˙γ) = µ∞P LG + 4µP LG exp  −  1 + | ˙γ| aP LG  exp  −bP LG | ˙γ|  (2.23) nP LG( ˙γ) = n∞P LG+ 4nP LG exp  −  1 + | ˙γ| cP LG  exp  −dP LG | ˙γ|  (2.24) Le terme | ˙γ| repr´esente le second invariant du tenseur des taux de d´eformation et est d´efini par | ˙γ| = 2√eijeij.

Dans un mˆeme soucis de repr´esentation comportementale, le mod`ele de Casson refl`ete la d´ecroissance de la viscosit´e ainsi que le palier newtonien qui peut exister `

a fort cisaillement [Ng02]. Ce mod`ele est r´egit par la relation : µCAS = √ µ∞CAS + r τ0CAS ˙γ 2 (2.25) o`u µ∞CAS repr´esente la viscosit´e pour un taux de cisaillement infini et τ0CAS la

contrainte limite d’´ecoulement. Ce mod`ele am`ene un plus pour l’´etude rh´eologique du sang car les param`etres µ∞CAS et τ0CAS peuvent s’exprimer en fonction du taux

d’h´ematocrite (1) H du sang ´etudi´e [Das00]. Les param`etres s’´ecrivent alors : √ µ∞CAS =  µ0CAS (1 − H)αCAS 1/2 (2.26) √ τ0CAS = βCAS "  1 1 − H αCAS/2 − 1 # (2.27)

Nous avons vu qu’un fluide non newtonien peut poss´eder une viscosit´e constante au fort taux de cisaillement. Certains fluides poss`edent aussi un palier de viscosit´e constante pour de faible taux de cisaillement. Le mod`ele de Casson modifi´e prend en compte cet effet et s’´ecrit [Ceb05] :

µCSM = √ µ∞CSM + r τ0CSM ˙γ p 1 − exp(−mCSM ˙γ) 2 (2.28) La valeur de la viscosit´e au faible taux de cisaillement est ajust´ee par la constante mCSM.

Les derniers mod`eles propos´es rassemblent toutes les caract´eristiques cit´ees pr´e- c´edemment. A savoir un comportement pseudo-newtonien pour les faibles et forts

taux de cisaillement et une diminution de la viscosit´e entre ces deux plateaux. Le premier est une expression g´en´erale de ces mod`eles, il porte le nom de mod`ele de Carreau et s’´ecrit comme suit [Joh04] :

µCAR= µ∞CAR + (µ0CAR − µ∞CAR) [1 + (λCAR ˙γ)

aCAR_](nCAR−1)/aCAR _(2.29)

Le deuxi`eme est un cas particulier du mod`ele de Carreau. Si n = a + 1, l’expression pr´ec´edente correspond au mod`ele de Cross et devient [Cro03] :

µCR = µ∞CR+

µ0CR− µ∞CR

1 + (λCR ˙γ)aCR