Fluctuations de dilatance

Passons `a pr´esent aux fluctuations de dilatance. Notons, qu’il y a sur ce sujet peu d’´el´e-ments de comparaison, puisque c’est `a notre connaissance l’une des premi`eres fois que quel-qu’un s’y int´eresse.

4.5 Quelques r´esultats sur les fluctuations. 77 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 p ( δ z^f ) -20 -10 0 10 20 δz_f (µm) (a) 5 4 3 2 1 0 σ ( δ z ^f ) ( µ m) 1 2 4 6 8 10 2 4 6 8 100 2 v_s (µm/s) (b)

Fig. 4.13 – (a) Distribution des fluctuations de la position de la lame ressort. Ces fluc-tuations sont gaussiennes `a faible vitesse et ont tendance adopter une forme plutˆot exponentielle `

a vitesse plus ´elev´ee. [(symbole,vitesse) : (◦, 10.6 µm·s−1), (, 26.3 µm·s−1), (△, 52.6 µm·s−1), (▽, 105.1 µm·s−1) ; patin surcharg´e de 21.9 g ; η = 1 mPa·s (eau)] (b) ´Ecart-type des fluctuations d’altitude du patin en fonction de sa vitesse vs. Les symboles ouverts (resp. pleins) corres-pondent `a un liquide interstitiel de viscosit´e η = 1 mPa·s (resp. η = 500 mPa·s). Les traits noirs pointill´es (resp. continus) correspondent `a un patin de masse m = 15.9 g (resp. m = 37.8 g).

Spectre de puissance des fluctuations d’altitude du patin.

Commen¸cons par remarquer que contrairement aux fluctuations horizontales, le spectre de puissance des fluctuations d’altitude du patin, |δzf(ν)|² ne s’identifie pas directement `a celui de la composante verticale de la force de contact entre le patin et la couche. Ces deux quantit´es sont li´ees par la masse du patin et la viscosit´e du fluide et nous laissons pour les perspectives une discussion qui permettrait d’extraire des fluctuations d’altitude du patin, des informations sur la r´eaction de la couche des grains sur le patin30. Les r´esultats que nous rapportons ici n’ont ´et´e obtenus qu’en fin de th`ese et ce sont essentiellement quelques observations que nous consignons ici. Un point important est que les spectres de puissance des fluctuations d’altitude pr´esentent de fa¸con robuste un comportement en loi de puissance |δzf(ν)|² ∝ 1/ν^α avec 2 < α < 3.5 [Fig. 4.12 (a)]. Ce r´egime est encadr´e par un premier r´egime en loi de puissance, d’exposant plus faible (qui peut ˆetre absent suivant la valeur de la masse du patin et/ou de la viscosit´e du fluide) et d’un r´egime de bruit blanc `a plus haute fr´equence. L’exposant α de la loi de puissance principale est aussi une fonction des param`etres de l’exp´erience : vitesse et masse du patin, viscosit´e du fluide [Fig. 4.12 (b)]. L’exposant croˆıt en g´en´eral avec la vitesse. Toutes choses ´egales par ailleurs, l’exposant diminue lorsque la masse du patin augmente. En revanche, il croˆıt lorsque la viscosit´e du fluide augmente.

Il n’y a pas d’´equivalent th´eorique auquel comparer l’exposant α. On peut n´eanmoins comparer les exposants associ´es aux lois de puissance obtenues respectivement pour les spectres des fluctuations de position verticale, et ceux de fluctuations de force, i.e. envi-sager le rapport |δzf(ν)/δx_f(ν)|. Exp´erimentalement, on trouve que ce rapport se comporte

29A titre de comparaison, une ´etude de Geng & Behringer (2005) a permis de montrer qu’un capteur plac´e au sein d’un ´ecoulement de grains dans des conditions de volume impos´e, subit une force de train´ee dont la valeur moyenne et l’´ecart type croissent comme le logarithme de la vitesse impos´ee.

30L’´ecriture du th´eor`eme de la r´esultante cin´etique sur le patin, projet´e verticalement conduit `a |δFn(ν)|2= |δz(ν)|2× |iCzν − mν2|2, o`u δFnd´esigne les fluctuations de la composante verticale de la force de frottement et Cz le coefficient de frottement visqueux associ´e au d´eplacement vertical du patin.

essentiellement comme une loi de puissance dont l’exposant est compris entre 0 et 1/2, sui-vant la valeur de la vitesse du patin. Le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique appliqu´e au patin (´eq. 4.6 et note de bas de page 29), en supposant que les composantes fluctuantes des forces de contacts normale et tangentielle entre le patin et la couche de grains v´erifient une loi de Coulomb, fournit lui aussi une loi de puissance, d’exposant proche de 1. Cet argument simple donne la d´ependance fonctionnelle avec la fr´equence, mais ne reproduit pas la valeur de l’ex-posant exp´erimental. Ceci montre qu’il serait bon de penser `a une description plus pertinente entre les composantes fluctuantes des actions de contacts entre le patin et la couche de grains immerg´ee, autre qu’une loi de Coulomb.

Distribution de probabilit´e des fluctuations d’altitude.

Les distributions de probabilit´e des fluctuations pr´esentent quant `a elle une forme gaus-sienne avec des queues exponentielles dont l’importance croˆıt avec la vitesse du patin [Fig. 4.13 (a)]. De fa¸con notable, l’´ecart-type des fluctuations σ(δz<sub>f</sub>) peut ˆetre une fonction croissante comme d´ecroissante de la vitesse. Pour un fluide de faible viscosit´e (η = 1 mPa·s), l’´ecart-type de fluctuations pr´esente les deux comportements. Pour un patin l´eger, σ(δz<sub>f</sub>) d´ecroˆıt quand la vitesse augmente alors que pour un patin plus lourd, l’´ecart-type augmente avec la vitesse [Fig. 4.13 (b)]. En revanche, pour un fluide de viscosit´e plus ´elev´ee, l’´ecart-type des fluctua-tions σ(δz<sub>f</sub>) diminue avec la vitesse du patin, quelle que soit sa masse. Ces r´esultats restent `

a ˆetre clairement interpr´et´es.

4.6 Conclusions.

Dans ce chapitre, nous nous sommes focalis´es sur le cisaillement d’une couche de grains immerg´ee en g´eom´etrie plane `a l’aide d’un montage d´esormais classique, mais n´eanmoins toujours d’actualit´e. Nous avons pris soin de justifier son int´erˆet d’une part pour atteindre des taux de cisaillement (et donc des gammes du nombre inertiel) tr`es faibles, difficilement accessibles avec d’autres g´eom´etries (Pouliquen et al., 2006), et d’autre part sur l’opportunit´e de pouvoir imposer une (faible) contrainte normale `a l’empilement, alors libre de se dilater. Dans une premi`ere partie, nous nous sommes int´eress´es aux valeurs moyennes de deux obser-vables : la force de friction entre la couche et le patin et la dilatance du mat´eriau pr´ecisaill´e. Nous avons montr´e que dans la limite quasi-statique, le coefficient de friction effectif de la couche est ind´ependant de la taille des grains, de la viscosit´e du fluide et de la vitesse du patin. En revanche il est sensible aux propri´et´es de surface des grains, `a la polydispersit´e du mat´eriau ainsi qu’aux contraintes g´eom´etriques impos´ees `a l’empilement (possibilit´e ou non de se dilater) (Koval et al., 2009). Nos r´esultats prolongent au cas immerg´e ceux obtenus num´eriquement sur des grains secs : la courbe µ(I) en semilog est plate dans la limite quasi-statique (da Cruz et al., 2005). Nous avons ensuite rapport´e des mesures syst´ematiques de dilatance et interpr´et´e simplement sa d´ependance avec les diff´erents param`etres de l’exp´e-rience : la dilatance croˆıt avec la vitesse de cisaillement et avec la taille des grains ; elle est en revanche insensible `a la viscosit´e du fluide sur la gamme de viscosit´e explor´ee. Dans une seconde partie, nous nous sommes pench´es sur les fluctuations des deux mˆemes observables : les fluctuations de force et les fluctuations d’altitude du patin en r´egime stationnaire. Nos r´esultats compl`etent agr´eablement dans la limite des faibles contraintes normales impos´ees les travaux de Miller et al. (1996) et de Corwin et al. (2008). La couche de grains ´etant soumise `a de faibles contraintes normales, cette derni`ere se dilate facilement sous cisaillement, ce qui nous a permis d’´etudier de sonder l’influence du couplage entre friction et dilatance sur les fluctuations. Les spectres de puissance de fluctuations de force se comportent comme des