Soit E un ensemble fini

1) Pour n  18, soit

  ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18}

5 7 2 1 8 9 10 4 18 15 6 3 13 16 12 14 17 11 On a vu que est de type 6, 4, 4, 2. Donc   −16442−4  −112  1 Donc est paire.

2) Si est une permutation de E de type 4, 2, 2.alors :   −1^{422−3}  −15  −1 Donc  est impaire.

3) Pour tout entier naturel k ≥ 2, les k-cycles de E sont des permutations de signature −1k−1. C’est à dire si k ≥ 2 et si  est un k-cycles de E alors   −1k−1.

4) Les transpositions de E sont tous impaires. C’est à die si est une transposition

de E alors  −1.

5) Soient k un entier naturel tel que k ≥ 2 et  un k-cycle de E. ∙ Si k est paire alors  est impaire.

∙ Si k est impaire alors  est paire.

∙  est paire si seulement si k est impaire. ∙  est impaire si seulement si k est paire.

Popriétés 3-4-4 : Soit E un ensemble fini.

1)  est une application de SE vers l’ensemble 1, −1 (qui est surjective si

seulement si |E| ≥ 2).

2) Pour tout entier naturel non nul n,  est une application de Sn vers l’ensemble 1, −1 (qui est surjective si seulement si n ≠ 1).

3) Si M est un ensemble non vide de cycles de E de supports disjoints deux à deux alors M est fini et



∈M 



∈M.

4) Si1, . . ,r sont des cycles de E de supports disjoints deux à deux alors :





i1 r i 



i1 r i.

5) Si et  sont des permutations de E de supports disjoints alors :   .

7) Soient a1, . . , ak des éléments de E distincts deux à deux. i)a1, . . , aka1, a2  −a1, . . , ak.

ii)a1, . . , aka1, ak  −a1, . . , ak.

iii) Si k ≥ 3 et si 2  r  k alors : a1, . . . , aka1, ar  −a1, . . . . , ak. 8) Si est un cycle de E et si u est une transposition de E alors u  −.

9) Soient ,  deux cycles de E de supports disjoints et u une transposition de E.

10) Si est une permutation de E et si u est une transposition de E alors u  −. Démonstration : 1) ∙ ∀ ∈ SE : - Si  eE :   eE  1 ∈ 1, −1. - Si ≠ eE : Soitk1, . . , kr le type de .   −1

∑

i1 r k_i−r ∈ 1, −1. Donc est une application de SE vers l’ensemble 1, −1.

∙ - Si |E| 0 ou |E| 1 ::

Alors SE  eE. Par suite SE  eE  eE  1 ≠ 1, −1. Donc  n’est pas une application surjective de SE vers l’ensemble 1, −1.

- Si |E|≥ 2 :

Soient a et b deux éléments distincts de E.

eE  1

a, b  −1 ^{ 1, −1 ∈ SE  1, −1 ⊂ SE  SE  1, −1.}

Donc  est une application surjective de SE vers l’ensemble 1, −1.

Ce qui montre que est une application de SE vers l’ensemble 1, −1 qui est

surjective si seulement si |E| ≥ 2.

2) Soit n un entier naturel non nul. Pour E  1, . . . . , n on a :. ∙  est une application de Sn vers l’ensemble1, −1.

∙  est surjective  n  |E| ≥ 2. (d’après 1))  n ≠ 1 (car n ≠ 0).

3) Supposons que M est un ensemble non vide de cycles de E de supports disjoints deux à deux.

Puisque E est fini alors SE est d’ordre fini et par suite M est fini (car M ⊂ SE). Soient1, . . ,r les éléments de M tels que |1| ≥. . . ≥ |r|.

Pour tout i  1, . . . , r : posons |i|  ki. Alors



∈M 



i1 r i est de typek1, . . , kr. Donc :



∈M  −1

∑

i1 r k_i−r  −1

∑

i1 r k_i−1 



i1 r −1^ki−1 



i1 r i 



∈M.

4) Soient 1, . . ,r des cycles de E de supports disjoints deux à deux. Posons M  1, . . ,r alors (d’après la propriété précédente) :

5) Soient  et  deux permutations de E de supports disjoints.

- Si  eE :   eE    1  eE  . - Si  eE :  eE    1  eE  . - Si ≠ eE et si ≠ eE :

Puisque et  sont des permutations de E de supports disjoints alors il existe

des cycles1, . . . ,r,1, . . . ,s de E de supports disjoints deux à deux tels que : 



i1 r i  1. . . . .r et  



i1 s i  1. . . . .s. Ce qui montre (d’après la propriété précédente) que :

  



i1 r i



i1 s i 



i1 r i



i1 s i  



i1 r i 



i1 s i  .

6) Soient a1, . . , ak, ak1 des éléments de E distincts deux.

a1, . . , akak, ak1  a1, . . , ak, ak1  −1k1−1  −1k  −−1k−1

 −a1, . . , ak. 7) i) - Si k  2 :

a1, . . , aka1, a2  a1, a2a1, a2  eE  1  −1−1

 a1, a2a1, a2  −1a1, a2  −a1, a2  −a1, . . , ak.

- Si k ≠ 2 :

Puisquiea1, . . . , aka1, a2  a1, a3, . . . , ak est un k − 1-cycle alors :

a1, . . , aka1, a2  −1k−1−1  −−1k−1  −a1, . . , ak. ii) - Si k  2 :

D’après i) on a :

a1, . . , aka1, ak  a1, . . , aka1, a2  −a1, . . , ak. - Si k ≠ 2 :

a1, . . , aka1, ak  ak, a1, . . , ak−1ak, a1  −ak, a1, . . , ak−1  −a1, . . , ak.

iii) Supposons que k ≥ 3 et que 2  r  k.

a1, . . , aka1, ar  a1, ar1, . . . . , aka2, . . . . , ar

 ar1, . . . . , ak, a1a2, . . . . , ar  −1^{k−r1r−1−2}

 −1^k−2  1−1^k−2  −12−1^k−2  −1^k  −−1^k−1  −a1, . . , ak.

8) Supposons que est un cycle de E et que u est une transposition de E.

∙ Si  et u de supports disjoints :

Alors :u  u  −1  −.

∙ Si supp ∩ suppu est un singleton :

Alors il existe des éléments a1, . . , ak, ak1 de E distincts deux à deux tels que :

  a1, . . , ak et u  ak, ak1.

Alors :u  a1, . . , akak, ak1  −a1, . . , ak  −. ∙ Si suppu ⊂ supp :

Alors il existe des éléments a1, . . , ak de E distincts deux à deux et il existe

r  2, . . . . , k tels que :   a1, . . . . , ak et u  a1, ar. - Si r  2 :

- Si r  k :

Alors : u  a1, . . , aka1, ak  −a1, . . , ak  −. - Si 2  r  k :

Alors : u  a1, . . . , aka1, ar  −a1, . . . . , ak  −. 9) - Si supp et suppu sont disjoints :

supp ∩ suppu ⊂ supp ∩ supp  suppu

Alors : supp ∩ suppu ⊂ supp ∩ supp  supp ∩ suppu  ∅  ∅  ∅. Donc : supp ∩ suppu  ∅.

Par suite :u  u  −  −  −.

- Si supp et suppu sont disjoints :

supp ∩ suppu ⊂ supp ∩ supp  suppu

Alors : supp ∩ suppu ⊂ supp ∩ supp  supp ∩ suppu  ∅  ∅  ∅. Donc : supp ∩ suppu  ∅.

Par suite :u  u  u  −  −  −

 −. - Si supp ∩ suppu et supp ∩ suppu ne sont pas vides :

Puisque supp ∩ suppu et supp ∩ suppu ne sont pas vides alors il existe des éléments a1, . . . , ak, b1, . . . , bh de E distincts deux à deux tels que :

  a1, . . . . , ak,   b1, . . . , bh et u  ak, bh.

supp ∩ supp  ∅      −1k−1−1h−1  −1kh−2.

u  a1, . . . . , akb1, . . . , bhak, bh  a1, . . . . , akb1, . . . , bhbh, ak  a1, . . . . , akb1, . . . , bh, ak  a1, . . . . , akak, b1, . . . , bh

 a1, . . . . , ak, b1, . . . , bh est un k  h-cycle.

Donc :u  −1kh−1  −1kh−21  −−1kh−2  −. 10) Soient  une permutation de E et si u est une transposition de E.

- Si  eE :

Alors :u  eEu  u  −1  −eE  −. - Si ≠ eE et si supp ↙ Rcontient un seul élément :

Alors supp est le seul élément de supp ↙ R et est un cycle.

Donc :u  −.

- Si ≠ eE et si le nombre des éléments de supp ↙ R est 2 : Soient A1 et A2 les éléments de supp ↙ R.

DoncA1 etA2 sont des cycles de E de supports disjoints et  A1A2. Ce qui montre que :u  A1A2u  −A1A2  −.

- Si ≠ eE et si supp ↙ Rcontient au moins trois éléments :

Alors il existent deux élémnts A1 et A2 de supp ↙ R distincts tels que supu soit disjoint à tous les éléments de supp ↙ R − A1, A2.

Soient B1, . . . . , Br les éléments de supp ↙ R− A1, A2. Donc : supp ↙ R  B1, . . . . , Br, A1, A2.

Posons0 



i1

r

_Bi, 1  _A1 et 2  _A2. On a :   012.

supp0 ∩ supp12u ⊂ supp0 ∩ supp12  suppu. Par suite on a :

supp0 ∩ supp12u ⊂ supp0 ∩ supp12  supp0 ∩ suppu  ∅. Ce qui montre que :

u  012u  012u  0−12  −012  −012  −.

Lemme 3-4-4 :

Si E est un ensemble fini et si1, . . . ,r sont des transpositios de E alors :





i1

r

i  −1r. Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul r, si1, . . . ,r sont des transpositios de E alors :



i1

r

i  −1r. - Pour r  1 :

Si 1 est une transpositios de E alors :





i1 r i  



i1 1 i  1  −1  −11  −1r. - Pour r− 1 :

Supposons que si1, . . . ,r−1 sont des transpositios de E alors :





i1

r−1

i  −1r−1. - Pour r :

Montrons qu’alors si1, . . . ,r sont des transpositios de E alors :





i1

r

i  −1r

.

Soient1, . . . ,r sont des transpositios de E.





i1 r i  



i1 r−1 i r  −



i1 r−1 i  −−1r−1  −1r. Théorème 3-4-5 :

Si E est un ensemble fini alors l’application  est un homomorphime du groupe

SE, .  vers le groupe multiplicatif 1, −1.

Démonstration :

Soient et  deux permutations quelconques de E.

Il des transpositios1, . . . ,r,1, . . . ,s tels que :  1. . . . .r et   1. . . . .s.

  1, . . . ,r,1, . . . ,s  −1rs  −1r−1s  .

Donc est un homomorphime du groupe SE, .  vers le groupe multiplicatif 1, −1.

Corollaire 3-4-6 :

Si E est un ensemble fini alors AE  ker  est un sous groupe de SE.

En particulier si n est un entier naturel non nul alors An  ker  est un sous groupe de Sn.

Lemme 3-4-7 :

Si E est un ensemble fini et si est une permutation impaire de E alors : AE ≠ AE et SE ↙ AE  AE, AE.

En particulier si n est un entier naturel non nul alors :

An ≠ An et Sn ↙ An  An,An. En effet :

Puisque  ∉ AE (car  est une permutation impaire de E) alors AE ≠ AE.

∀A ∈ SE ↙ AE : ∃ ∈ SE tq : A  AE. - Si est paire :

Alors : ∈ AE  A  AE  AE.

- Si est impaire :

Alors :−1  −1  −1−1−1  −1−1  1  −1 ∈ AE.

Donc : ∈ AE  A  AE  AE.

Ce qui montre que : SE ↙ AE  AE, AE. Théorème 3-4-8 :

Soit E est un ensemble fini de cardinal n.

- Si n  1 alors AE  SE est un groupe d’ordre 1. En particulier A1  S1 est un groupe d’ordre 1. - Si n ≥ 2 alors SE : AE  2 et |AE|  n!

2 ^. En particulierSn : An  2 et |An|  n!

2 ^.

Démonstration : - Si n  1 :

|SE|  1!  1. Donc AE  SE est un groupe d’ordre 1. - Si n ≥ 2 :

Alors E contient au mois deux éléments a et b distincts. Par suite la transposition

  a, b est une permutation impaire de E.

Donc : SE ↙ AE  AE, AE  SE : AE  |SE ↙ AE|  2.

n!  |SE|  SE : AE|AE|  2|AE|  |AE|  n! 2 ^. Par suite on a :SE : AE  2 et |AE|  n!

2 ^.

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