Contre exemple :

M∈M^{M est un sous-groupe de}A,  (car M est un sous-groupe de A,  pour tout élément M de M). ∙ ∀a, b ∈



M∈M^{M :} ∀M ∈ M : a,b ∈ M  ∀M ∈ M : ab ∈ M  ab ∈



M∈M^M. Donc



M∈M^{M est stable pour la multiplication de A.}

Ce qui montre que



M∈M^{M est un sous-anneau de A.}

5) Supposons que I est un ensemble non vide et queMi_i∈I est une famille de sous-anneaux de A.

∙



i∈I^Mi

est un sous-groupe deA,  (car Mi est un sous-groupe de A,  pour tout élément i de I).

∙ ∀a, b ∈



i∈I^{Mi :} ∀i ∈ I : a, b ∈ Mi  ∀i ∈ I : a, b ∈ Mi  ab ∈



i∈I^Mi.

Donc



i∈I^Mi

est stable pour la multiplication de A. Ce qui montre que



i∈I^{Mi est un sous-anneau de A.}

6) Contre exemple :

Pour A  Z  Z, qui est un anneau unitaire et B  Z  0, qui est un sous-anneau unitaire de A on a : 1B  1, 0 ≠ 1, 1  1A.

7) Supposons que A est unitaire et que 1A ∈ B. Alors : 1A ∈ B et ∀a ∈ B : a1A  1A  a. Donc B est unitaire et 1B  1A.

8) Supposons que A est unitaire intègre.

Soit B un sous-anneau unitaire non nul quelconque de A.

B ≠ 0B  1B ≠ 0B  0A.

Alors 1B est régulier pour la multiplication de A (carA est intègre). Donc : 1B1B  1B  1B1A  1B  1A.

Ce qui montre que les sous anneaux unitaires nonnuls de A ont le même unité que ce lui de A.

4-4-Fractions et corps de fractions : Notation 4-4-1 :

Soient A un anneau unitaire et a, b ∈ A .

Si b ∈ UA et si a et b commutent alors ab−1 est noté aussi a

b^. a

b  ab−1 est appelé la fraction a sur b. Propriétés 4-4-2 :

Soient A un anneau unitaire et a, b, c, d ∈ A qui commutent. 1) a 1  a. 2) Si b ∈ UA alors : a b  0  a  0. 3) Si b ∈ UA alors : − a b  −a b  a_−b. 4) Si b ∈ UA alors : ∀k ∈ Z : k a_b  ka b ^.

5) Si b ∈ UA et si d ∈ UA alors : ad

bd  a

b^.

6) Si b ∈ UA et si d ∈ UA alors : a

b  c d  ad  bc. 7) Si d ∈ UA alors : a d  b d  a  b d ^.

8) Si b ∈ UA et si d ∈ UA alors : a

b  c

d  ad  bc

bd ^.

9) Si b ∈ UA et si d ∈ UA alors : a

b c

d  ac

bd^.

10) Si a ∈ UA et si b ∈ UA alors : a

b

−1

 1_a

b

 b_{a .} 11) Si b ∈ UA , c ∈ UA et d ∈ UA alors :

a b c d  a b d c  ^ad_bc ^. Démonstration : 1) a 1  a1−1  a1  a. 2) Si b ∈ UA alors : a

b  0  ab−1  0  ab−1b  0b (car b est régulier pour la multiplication de A).  ab−1b  0  a1  0

 a  0. 3) Si b ∈ UA alors :

− a

b  −ab−1  −ab−1  −a

b −a b  −^{a−1} b−1 ^ −b1^{a1  a}−b  − a b  −a b  a_−b. 4) Si b ∈ UA alors : ∀k ∈ Z : k a_b  kab−1  kab−1  ka

b ^.

5) Si b ∈ UA et si d ∈ UA alors :

ad

bd  adbd−1  add−1b⁻¹  add−1b−1  a1b−1  ab−1  a

6) Si b ∈ UA et si d ∈ UA alors :

a b  c

d  ab−1  cd−1

 ab−1bd  cd−1bd (car bd est régulier pour la multiplication de A).  ab−1bd  cd−1bd  a1d  c1d  ad  bc. 7) Si d ∈ UA alors : a d  b d  ad−1  bd−1  a  bd−1  a  b d ^.

8) Si b ∈ UA et si d ∈ UA alors : a

b  c d  ad bd  cb db  ad bd  bc bd  ad  bc bd ^.

9) Si b ∈ UA et si d ∈ UA alors :

a b

c

d  ab−1cd−1  ab−1cd−1  acb−1d−1  acb−1d⁻¹  acd−1b⁻¹  acbd−1

 ac

bd ^.

10) Si a ∈ UA et si b ∈ UA alors :

∙ a b −1  1 a b −1  1_a b . ∙ ^a b −1  ab−1⁻¹  b−1⁻¹a⁻¹  ba−1  b_{a .} Par suite on a : ^a b −1  1_a b  b_{a .}

11) Si b ∈ UA , c ∈ UA et d ∈ UA alors : ∙ a b c d  a b c d −1  a b d c . ∙ a b d c  ^ad_bc ^{(d’après 7)).} Par suite on a : a b c d  a b d c  ^ad_bc ^. Théorème et définition 4-4-3 :

Si E est un corps et si A est un sous-anneau commutatif non nul de E alors l’ensemble K  ^a

b ^{tq : a, b} ∈ A et b ≠ 0 est un sous-corps commutatif de E et c’est le plus petit sous-corps de E contenant A.

K est appelé le corps des fractions de A dans E.

On dit aussi que K est un corps des fractions de A.

Démonstration :

Supposons que E est un corps et que A est un sous-anneau commutatif non nul de E. Montrons que l’ensemble K  a

b ^{tq : a, b} ∈ A et b ≠ 0 est un sous-corps commutatif de E contenant A et c’est le plus petit sous-corps de E contenant A. ∙ Montrons que l’ensemble K est un sous-corps commutatif de E contenant A.

 Soit u un élément non nul de A (u existe car A est un non nul). ∀a ∈ A : a  a

1  au

 – A ≠ ∅ et A ⊂ K  K ≠ ∅. – ∀x, y ∈ K : ∃a, b, c, d ∈ A tq : b ≠ 0, c ≠ 0, x  a b ^{et y}  c d^. x− y  a b − c d  ad − bc bd ∈ K. Donc K est un sous-groupe deE, .

 – ∀x, y ∈ K : ∃a, b, c, d ∈ A tq : b ≠ 0, c ≠ 0, x  a b ^{et y}  c d^. xy  a b c d  ac bd ∈ K.

Donc K est une partie stable de E pour la multiplication de E. – ∀x, y ∈ K : ∃a, b, c, d ∈ A tq : b ≠ 0, c ≠ 0, x  a b ^{et y}  c d^. xy  a b c d  ac bd  ca db  c d a b  yx.

Donc la restriction de la multiplication de E dans K est commutative. Par suite K est un sous-anneau commutatif de E.

 Soit u un élément non nul de A (u existe car A est un non nul). 1  uu ∈ K.

Donc K est un sous-anneau commutatif unitaire non nul de E.  – K ≠ ∅  UK ⊂ K. – ∀x ∈ K : ∃a, b ∈ A tq : b ≠ 0 et x  a b^. a b ≠ 0  a ≠ 0. Alors : x⁻¹  ^a b −1  b_{a ∈ K}  x ∈ UK. Donc UK ⊂ K. Par suite K est un corps commutatif.

Ce qui montre que K est un sous-corps commutatif de E contenant A. ∙ Montrons que K est le plus petit sous-corps de E contenant A.

Soit M un sous-corps quelconque de E contenant A. ∀x ∈ K : ∃a, b ∈ A tq : b ≠ 0 et x  a

b  ab−1.

a, b ∈ A ⊂ M  ab−1 ∈ M  x  ab−1 ∈ M. Alors K ⊂ M.

Ce qui prouve que K est le plus petit sous-corps de E contenant A.

Exemple 4-4-4 :

 Q est le corps des fractions de Z dans Q, dans R et dans C.

 Pour tout entier naturel non nul n, Q est le corps des fractions de nZ dans Q, dans R et dans C.

Théorème 4-4-5 :

Soit A un anneau commutatif integrè non nul et u un élément quelconque de A^. On munit A A de :

– la multiplication suivant :∀x  a, b ∈ A  A et ∀y  c, d ∈ A  A :

xy  a, bc, d  ac, bd.

– la relation RA définie par :∀x  a, b ∈ A  A et ∀y  c, d ∈ A  A :

xRAy  a, bRAc, d  ad  bc. Les propriétés suivantes sont vérifiées :

1) La multiplication de A A est commutative et assotiative. 2) R est une relation d’équivalence dans l’ensemble A A.

3)0A, u  0A, b tq : b ∈ A où 0A, u est la classe de 0A, u pour la relation d’équivalence RA.

4)u, u  b, b tq : b ∈ A où u, u est la classe de u, u pour la relation d’équivalence RA.

5) Il existe une multiplication dans l’ensemble K  A  A╱RA et une seule tel que la surjection canoninique p de A A versA  A╱RA soit un homomorphisme deA  A, . vers K, . .

6) La multiplication de K est commutative et assotiative. 7)u, u est l’élément neutre de K pour la multiplication.

8) Sia, b est un élément quelconque de A  A alorsa, b est inversible si seulement si a ≠ 0A, et dans ce cas :a, b⁻¹  b, a.

9) Si x et y sont des éléments quelconques de K, il existe des éléments a, b, d ∈ A tels que : d ≠ 0A, x  a, d et y  b, d.

10) Pour tout entier naturel n ≥ 2, si x1, . . . . , xn sont des éléments quelconques de K, il existe des éléments a1, . . , an, d ∈ A tels que :

d ≠ 0A et ∀i  1, . . , n : xi  ai, d.

11) Il existe une addition dans l’ensemble K  A  A╱RA et une seule tel que : ∀a, b ∈ A et ∀d ∈ A : a, d  b, d  a  b, d.

12) L’addition de K est commutative et assotiative.

13) La multiplication de K est distributive par rapport à l’addition. 14) 0A, u est le zéro de K.

15) Sia, b est un élément quelconque de A  A alorsa, b admet un opposé et on a :−a, b  −a, b.

16) K est un corps commutatif.

17) L’application suivante :  : A  K

a  a  au, u

est un homomorphisme injectif deA, , .  vers K, , . . Par la suite on confond chaque élément a de A aveca.

18) A est un sous-anneau de K. 19) ∀a, b ∈ A  A : a, b  a

b^.

20) K est un corps des fractions de A.

Démonstration :

1) ∙ ∀x  a, b ∈ A  A et ∀y  c, d ∈ A  A :

xy  a, b  ac, bd  ca, db  c, da, b  yx. Alors la multiplication de A A est commutative.

∙ ∀x  a, b ∈ A  A, ∀y  c, d ∈ A  A et ∀z  e, f ∈ A  A : xyz  a, bc, de, f  ac, bde, f  ace, bdf  ace, bdf

 a, bce, df  a, bc, de, f  xyz.

Alors la multiplication de A A est associative.

2) ∙ ∀x  a, b ∈ A  A : ab  ba  a, bRAa, b  xRAx.

Alors la relation RA est une réflexive dans l’ensemble A A. ∙ ∀x  a, b ∈ A  A et ∀y  c, d ∈ A  A :

xRAy  a, bRAc, d  ad  bc  bc  ad  cb  da  c, dRAa, b  yRAx.

Alors la relation RA est une symrétrique dans l’ensemble A A.

∙ ∀x  a, b ∈ A  A, ∀y  c, d ∈ A  A et ∀z  e, f ∈ A  A :

xRAy yRAz  ^{a, bRAc, d} c, dRAe, f ^ ad  bc cf  de ^ adf  bcf

bcf  bde ^{ adf  bde}  afd  bed  af  be  a, bRAe, f

 xRAz.

Alors la relation RA est une transitive dans l’ensemble A A.

Ce qui montre que RA est une relation d’équivalence dans l’ensemble A A. 3)∀a, b ∈ A  A : a, b ∈ 0A, u  au  b0A  0A  a  0A (car u ≠ 0A).

Donc0A, u  0A, b tq : b ∈ A

4)∀a, b ∈ A  A : a, b ∈ u, u  au  bu  a  b (car u ≠ 0A). Doncu, u  b, b tq : b ∈ A

5)∙ Soit f la relation de K  K vers K définie par :

∀x, y, z ∈ K : x, yfz  ∃s ∈ x et ∃t ∈ y tq : st ∈ z.

Montrons que f est une loi de composition interne dans K qui sera noté multiplicativement.

– ∀x, y, z, z′ ∈ K tq : x, yfz et x, yfz′ , ∃s ∈ x et ∃t ∈ y tq : st ∈ z ∃s′ ∈ x et ∃t′ ∈ y tq : s′t^′ ∈ z′ .

∃a, b, a′, b^′, c, d, c′, d^′ ∈ A  A tq : ^s  a, b et s′  a′, b^′

t  c, d et t′  c′, d^′ ^. a, b, a′, b^′ ∈ x  a, bRAa′, b^′  ab′  ba′.

c, d, c′, d^′ ∈ x  c, dRAc′, d^′  cd′  dc′.

acb′d^′  acb′d^′  ab′cd^′  ab′cd′  ba′dc′  ba′dc^′  bda′c^′

 bda′c^′. Alors :

ac, bdRAa′c^′, b^′d^′  a, bc, dRAa′, b^′c′, d^′  stRAs^′t^′  st  s′t^′

 z  z′.

Donc f est une fonction de K K vers K.

– ∀x, y ∈ K  K : ∃s, t ∈ A  A tq : x  s et y  t. Posons z  st. s ∈ s  x t ∈ t  y st ∈ z  x, yfz  x, y ∈ Df.

Donc Df  K  K. Par suite f est une application de K  K vers K. Ce qui montre que f est une loi de composition interne dans K. La loi f est notée multiplicativement.

∙ Montrons que la surjection canoninique p de A  A versA  A╱RA est un homomorphisme deA  A, . vers K, . .

∀s, t ∈ A  A : Posons z  st, s ∈ s t ∈ t st ∈ st  z  s, tfz  z  fs, t  st  st  pst  pspt. Donc p est un homomorphisme deA  A, . vers K, . .

∙ Soit  une loi de composition interne quelconque dans K telle que p soit un homomorphisme deA  A, . vers K, .

∀x, y ∈ K : ∃s, t ∈ A  A tq : x  ps et y  pt.

x y  ps  pt  pst  pspt  xy.

Ce qui montre qu’il existe une multiplication dans l’ensemble K  A  A╱RA

et une seule tel que la surjection canoninique p de A A vers A A╱RA

soit un homomorphisme deA  A, . vers K, . .

6)∙ ∀x, y ∈ K : ∃s, t ∈ A  A tq : x  ps et y  pt.

xy  pspt  pst  pts  ptps  yx. Alors la multiplication de K est commutative.

∙ ∀x, y, z ∈ K : ∃s, t, r ∈ A  A tq : x  ps, y  pt et z  pr. xyz  psptpr  pstpr  pstr  pstr  psptr

 psptpr  xyz. Alors la multiplication de K est associative.

Ce qui montre que la multiplication de K est commutative et assotiative. 7)∀x ∈ K : ∃a, b ∈ A  A tq : x  pa, b  a, b.

xu, u  pa, bpu, u  pa, bu, u  pau, bu  au, bu. aub  aub  bua  bua  au, buRAa, b  au, bu  a, b  x. Alors : xu, u  u, ux  x.

Doncu, u est l’élément neutre de K pour la multiplication. 8) Soita, b un élément quelconque de A  A.

 ) Si a, b est inversible :

∃a′, b^′ ∈ A  A tq : a, b⁻¹  a′, b^′.

Alors :aa′, bb^′  a, ba′, b^′  a, ba′, b^′  a, ba, b⁻¹  u, u. Donc :aa′, bb^′ ∈ u, u  aa′  bb′ ≠ 0A (d’après 4)) a ≠ 0A.  ) Si a ≠ 0A:

Alors :b, a ∈ A  A et on a : a, b⁻¹  b, a.

a, bb, a  a, bb, a  ab, ba  ab, ab  u, u (d’après 4)). Donca, b est inversible et a, b⁻¹  b, a.

Ce qui montre quea, b est inversible si seulement si a ≠ 0A, et dans ce cas a, b⁻¹  b, a.

9) Soient x et y deux éléments quelconques de K.

Il existe deux éléments a1, a2, b1, b2 ∈ A  A tels que, x  a1, a2 et

Puisque (d’après 4)),u, u  a2, a2  b2, b2 et puisque (d’après 7)), u, u  a2, a2  b2, b2 est l’élément neutre de K, .  alors :

x  xb2, b2  a1, a2b2, b2  a1, a2b2, b2  a1b2, a2b2

y  a2, a2y  a2, a2b1, b2  a2, a2b1, b2  a2b1, a2b2 ^. Il suffit de prendre a  a1b2, b  a2b1, d  a2b2 et on a :

a, b, d ∈ A tels que : d ≠ 0A, x  a, d et y  b, d.

10) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 2, si x1, . . . . , xn sont des éléments quelconques de K, il existe des éléments a1, . . . , an, d ∈ A tels que

d ≠ 0A et ∀i  1, . . . . , n : xi  ai, d. – Pour n  2 :

Soient x1, . . . . , xn des éléments quelconques de K.

D’après 9), ilexiste a1, a2, d ∈ A tels que, d ≠ 0A, x1  a1, d et x2  a2, d. Par suite il existe des éléments a1, . . . , an, d ∈ A tels que : d ≠ 0A et

∀i  1, . . . . , n : xi  ai, d. – Pour n− 1 :

Supposons que si x1, . . . , xn−1 sont des éléments quelconques de K, il existe des éléments a1, . . . , an−1, d ∈ A tels que : d ≠ 0A et ∀i  1, . . . . , n − 1 : xi  ai, d. – Pour n :

Montrons qu’alors si x1, . . . , xn sont des éléments quelconques de K, il existe des éléments a1, . . . , an, d ∈ A tels que : d ≠ 0A et ∀i  1, . . . . , n : xi  ai, d. Soient x1, . . . . , xn des éléments quelconques de K.

D’après l’hypothèse de récurrence, il existe des éléments a₁^′, . . . , a_n^′₋₁, d1 ∈ A tels que, d1 ≠ 0A et ∀i  1, . . . . , n − 1 : xi  ai′, d1.

xn ∈ K  ∃an′, d2 ∈ A  Atq : xn  an′, d2. ∀i  1, . . . . , n :

∙ Si i ≠ n :

xi  xid2, d2  ai′, d1d2, d2  ai′, d1d2, d2  ai′d2, d1d2. Il suffit de prendre ai  ai′d2, d  d1d2 et on a : xi  ai, d. ∙ Si i  n :

xi  xn  d1, d1xn  d1, d1an′, d2  d1, d1an′, d2  d1an′, d1d2. Il suffit de prendre ai  an  d1a_n^′, d  d1d2 et on a : xi  xn  ai, d. Ce qui montre que pour tout entier naturel n ≥ 2, si x1, . . . . , xn sont des éléments quelconques de K, il existe des éléments a1, . . . , an, d ∈ A tels que,

d ≠ 0A et ∀i  1, . . . . , n : xi  ai, d.

11) ∙ Soit g la relation de K  K vers K définie par : ∀x, y, z ∈ K :

x, ygz  ∃a, b, d ∈ A tq : d ≠ 0A, x  a, d, y  b, d et z  a  b, d Montrons que g est une loi de composition interne dans K qui sera noté

– ∀x, y, z, z′ ∈ K tq : x, ygz et x, ygz′. ∃a, b, d, a′, b^′, d^′ ∈ A tq :

d ≠ 0A, d^′ ≠ 0A, x  a, d  a′, d^′, y  b, d  b′, d^′,

z  a  b, d et z′  a′  b′, d^′.

x  a, d  a′, d^′  a, dRAa′, d^′  ad′  da′.

y  b, d  b′, d^′  b, dRAb′, d^′  bd′  db′.

ad^′  da′

bd^′  db′  ad′  bd′  da′  db′  a  bd′  da′  b′  a  b, dRAa′  b′, d^′  a  b, d  a′  b′, d^′  z  z′.

Donc g est une fonction de K K vers K.

– ∀x, y ∈ K  K : ∃a, b, d ∈ A tq : d ≠ 0A, x  a, d, y  b, d.

Posons z  a  b, d.

x  a, d

y  b, d

z  a  b, d

 x, ygz  x, y ∈ Dg.

Donc Dg  K  K. Par suite g est une application de K  K vers K. Ce qui montre que g est une loi de composition interne dans K. La loi g est notée additivement.

∙ Montrons que : ∀a, b ∈ A et ∀d ∈ A : a, d  b, d  a  b, d. Soient a, b, d des éléments quelconques de A tels que, d ≠ 0A.

Posons : x  a, d, y  b, d et z  a  b, d.

x  a, d

y  b, d

z  a  b, d

 x, ygz  gx, y  z  x  y  z

 a, d  b, d  a  b, d.

∙ Soit ⊕ une loi de composition interne quelconque dans K telle que : ∀a, b ∈ A et ∀d ∈ A : a, d  b, d  a  b, d.

Soient x et y deux éléments quelconques de K.

D’après 9) il existent des éléments a, b et d de A tels que : ^x  a, d

y  b, d ^.

x⊕ y  a, d ⊕ b, d  a  b, d  a, d  b, d  x  y.

Ce qui montre qu’il existe une addition dans l’ensemble K  A  A╱RA

et une seule tel que :

∀a, b ∈ A et ∀d ∈ A : a, d  b, d  a  b, d. 12) ∙ ∀x, y ∈ K : ∃a, b, d ∈ A tq : d ≠ 0A, x  a, d et y  b, d.

x y  a, d  b, d  a  b, d  b  a, d  b, d  a, d  y  x. Alors l’addition de K est commutative.

∙ ∀x, y, z ∈ K : ∃a, b, c, d ∈ A tq : d ≠ 0A, x  a, d, y  b, d et z  c, d. x  y  z  a, d  b, d  c, d  a  b, d  c, d  a  b  c, d  a  b  c, d  a, d  b  c, d  a, d  b, d  c, d  x  y  z.

Alors l’addition de K est associative.

13) ∀x, y, z ∈ K : ∃a, b, c, d ∈ A tq : d ≠ 0A, x  a, d, y  b, d et z  c, e.

x  yz  a, d  b, d c, e  a  b, dc, e  a  bc, de  ac  bc, de  ac, de  bc, de  a, dc, e  b, dc, e

 xz  yz.

Donc la multiplication de K est distributive par rapport à l’addition. 14) ∀x ∈ K : ∃a, b ∈ A tq : b ≠ 0A et x  a, b.

x 0A, u  a, b  0A, u  a, b  0A, b  a  0A, b  a, b  x. Ce qui prouve que0A, u est le zéro de K.

15) Soit a, b un élément quelconque de A  A. a, b  −a, b  a − a, b  0A, b  0A, u.

Alorsa, b admet un opposé et on a : −a, b  −a, b. 16) ∙  L’addition est commutative et associative.

 K admet un zéro, qui est 0A, u.

 ∀x ∈ K : ∃a, b ∈ A tq : b ≠ 0A et x  a, b.

x  a, b admet un opposé, qui est −a, b. DoncK,  est un groupe abélien et on a : 0K  0A, u. ∙  La multiplication est commutative et associative dans K.

 La multiplication est distributive par rapport à l’addition dans K.  K admet un élément neutre pour la multiplication, qui est u, u.  u ≠ 0A  u, u ≠ 0A, u  0K.

AlorsK, , .  est un anneau abélien unitaire non nul.et on a : 1K  u, u. ∙ ∀x ∈ K : ∃a, b ∈ A tq : b ≠ 0A et x  a, b.

a, b  x ≠ 0K  0A, u  a ≠ 0A (d’après 3)). D’après 8), on a donc x  a, b est inversible. Alors : UK  K.

Ce qui montre que K est un corps commutatif. 17) ∙ ∀a, b ∈ A :

a  b  a  bu, u  au  bu, u  au, u  bu, u  a  b. ab  abu, u  abu, u  abu, u1K  aub, uu, u  aubu, u u

 aubu, u u  au, ubu, u  ab.

Donc est un homomorphisme de A, , .  vers K, , . .

∙ ∀a ∈ ker  : au, u  a  0K  0A, u  au  0A  a  0A (car u ≠ 0A). Par suite on a : ker  0A.

Ce qui montre que est un homomorphisme injectif de de A, , .  vers K, , . .

Par la suite on confond chaque élément a de A aveca.

18) A  A (car d’après 17), on a confondu chaque élément a de A avec a).

Puisque A est un anneau et puisque  est un homomorphisme de A, , . 

versK, , .  alors A  A est un sous-anneau de K. 19) ∀a, b ∈ A  A :

a, b  a, b1K  a, buu, uu  auu, buu  auu, ubu  auu, ubu  au, uu, bu  au, ubu, u⁻¹  ab⁻¹  ab−1

 a

b ^.

20) K  a, b tq : a, b ∈ A et b ≠ 0A  ^a

b ^{tq : a, b} ∈ A et b ≠ 0A

Définition 4-4-6 :

Soit A un anneaun, et soient E et F deux sur-anneaux de

 Si f est un isomorphe d’anneaux de E vers F, et si on a : ∀a ∈ A : f a  a, on dit que f est un A-isomorphe de E vers F.

 S’il existe un A-isomorphisme de E vers F, on dit que E est A-isomorphe à F ou E et F sont A-isomorphes.

Théorème et définition 4-4-7 :

Tout anneau commutatif integrè non nul A admet un corps des fractions et un seul à A-isomorphe près.

Démonstration :

Soit A un anneau commutatif integrè non nul. – Existence :

D’après la proprité 20) théorème 4-4-5, A admet au moins un corps des fractions. – Unicité :

SoientK, ⊕, ⊗ et M, , ⊙ deux corps de fractions de A. ∀x ∈ K∗ : l’inverse de x dans K est noté x

∀x ∈ M∗ : l’inverse de x dans M est noté x ^.

PuisqueK, ⊕, ⊗ et M, , ⊙ des corps de fractions de A alors :

K  a ⊗^b tq : a, b ∈ A et b ≠ 0A et M  a ⊙ b tq : a, b ∈ A et b ≠ 0A . Soit h la relation de K vers M définies par :

∀x ∈ K et ∀y ∈ M : xhy  ∃a, b ∈ A tq : b ≠ 0A x  a ⊗^b et y  a ⊙ b . ∙ Montrons que h est une fonction de K vers M.

∀x ∈ K et ∀y, y′ ∈ M tq : xhy et xhy^′.

xhy  ∃a, b ∈ A tq : b ≠ 0A x  a ⊗^b et y  a ⊙ b xhy^′  ∃a′, b^′ ∈ A tq : b′ ≠ 0A x  a′ ⊗ b′ et y^′  a′ ⊙ b′ . Alors : a⊗^b  x  a′ ⊗ b′  a ⊗^b ⊗ b ⊗ b′  a′ ⊗ b′ ⊗ b ⊗ b′  a ⊗^b ⊗ b ⊗ b′  a′ ⊗ b′ ⊗ b′ ⊗ b  a ⊗ ^b⊗ b ⊗ b′  a′ ⊗ b′ ⊗ b′ ⊗ b  a ⊗ 1K ⊗ b′  a′⊗ 1K ⊗ b  a ⊗ b′  a′ ⊗ b  ab′  a′b  a ⊙ b′  a′ ⊙ b  a ⊙ b′ ⊙ b ⊙ b′  a′ ⊙ b ⊙ b ⊙ b′  a ⊙ b′ ⊙ b′⊙ b  a′ ⊙ b ⊙ b ⊙ b′  a ⊙ b′ ⊙ b′ ⊙ b  a′ ⊙ b ⊙ b ⊙ b′  a ⊙ 1M ⊙ b  a′ ⊙ 1M⊙ b′  a ⊙ b  a′ ⊙ b′  y  y′. Donc h est une fonction de K vers M.

∙ Montrons que h est une application de K vers M. ∀x ∈ K : ∃a, b ∈ A tq : b ≠ 0A et x  a ⊗^b.

Posons y  a ⊙ b.

a, b ∈ A, b ≠ 0A, x  a ⊗^b et y  a ⊙ b  xhy  x ∈ Dh. Alors Dh  K. Donc h est une application de K vers M.

∙ Montrons que : ∀a, b ∈ A tq : b ≠ 0A, on a : h a⊗^b  a ⊙ b. ∀a, b ∈ A tq : b ≠ 0A :

Posons : x  a ⊗^b et y  a ⊙ b. Alors : x ∈ K, y ∈ M et xhy. Donc : h a⊗^b  hx  y  a ⊙ b.

∙ Montrons que : ∀a ∈ A : ha  a.

Soit u un élément non nul de A (u existe car A est non nul).

∀a ∈ A : ha  ha ⊗ 1K  ha ⊗ u ⊗ u  ha ⊗ u ⊗ u  hau ⊗ u  au ⊙ u  a ⊙ u ⊙ u  a ⊙ u ⊙ u  a ⊙ 1M

 a

a  a1A  a ⊗ 1K  a ⊗ u ⊗ u  a ⊗ u ⊗ u  au ⊗ u

a  a1A  a ⊙ 1M  a ⊙ u ⊙ u  a ⊙ u ⊙ u  au ⊙ u ^. Alors : aha  ha  a.

∙ Montrons que : ∀x, y ∈ K : ∃a, b, d ∈ A tq : d ≠ 0A, x  a ⊗^d et y  b ⊗^d.

∀x, y ∈ K : ∃a1, a2, b1, b2 ∈ A tq : a2 ≠ 0A, b2 ≠ 0A, x  a1⊗ a2 et y  b1 ⊗ b2. Alors : x  a1⊗ a2  a1 ⊗ 1K ⊗ a2  a1⊗ b2 ⊗ b2 ⊗ a2  a1 ⊗ b2 ⊗ b2⊗ a2  a1b2 ⊗ a2 ⊗ b2  a1b2 ⊗ a2b2 y  b1 ⊗ b2  b1 ⊗ 1K⊗ b2  b1 ⊗ a2 ⊗ a2 ⊗ b2  b1 ⊗ a2 ⊗ a2⊗ b2  b1a2 ⊗ b2 ⊗ a2  b1a2 ⊗ b2a2  b1a2 ⊗ a2b2 Il suffit de prendre : a  a1b2, b  b1a2, d  a2b2 et on a: a, b, d ∈ A, d ≠ 0A, x  a ⊗^d et y  b ⊗^d.

∙ Montrons que h est un homomorphisme de K, ⊕ vers M, . ∀x, y ∈ K : ∃a, b, d ∈ A tq : d ≠ 0A, x  a ⊗^d et y  b ⊗^d.

hx ⊕ y  h a⊗^d ⊕ b ⊗^d  h a ⊕ b ⊗^d  h a  b ⊗^d

 a  b ⊙ d  ab ⊙ d  a ⊙ db ⊙ d  h a ⊗^d h b ⊗^d

 hxhy.

Donc h est un homomorphisme deK, ⊕ vers M, .

∙ Montrons que h est un homomorphisme de K, ⊗ vers M, ⊙.

∀x, y ∈ K : ∃a, b, c, d ∈ A tq : b ≠ 0A, d ≠ 0A, x  a ⊗^b et y  c ⊗^d.

hx ⊗ y  h a⊗^b ⊗ c ⊗^d  h a ⊗^b⊗ c ⊗^d  h a ⊗ c ⊗^d ⊗^b

 h a ⊗ c ⊗ ^d⊗^b  h a ⊗ c ⊗ b ⊗ d  h ac ⊗ bd  ac ⊙ bd  a ⊙ c ⊙ b ⊙ d  a ⊙ c ⊙ d ⊙ b  a ⊙ c ⊙ d ⊙ b  a ⊙ b ⊙ c ⊙ d  a ⊙ b ⊙ c ⊙ d  h a ⊗^b ⊙ h c ⊗^d

 hx ⊙ hy.

∙ Puisque hA  A (car on a : ∀a ∈ A : ha  a) et puisque A est non nul alors h est non nul.

Puisque K est un corps et puisque h est non nul, alors h est injectif. ∙ ∀y ∈ M : ∃a, b ∈ A tq : b ≠ 0A et y  a ⊙ b.

Alors : y  a ⊙ b  h a ⊗^b .

Donc h est surjectif.

∙ Par suite h est un A-isomorphe de K vers M. Ce qui montre que K et M sont A-isomorphes.

D’où l’unicité du corps de fractions de A à A-isomorphe près.

Exemple 4-4-8 :

 Q est le corps des fractions de Z.

 Pour tout entier naturel non nul n, Q est le corps des fractions de nZ. 4-5-Idéaux :

Définition 4-5-1 :

Soient A un anneau et I une partie de A. On dit que I est un idéal de A, si I est un sous groupe de A,  et si on a : ∀a ∈ A et ∀x ∈ I : ax, xa ∈ I.

Exemples et propriétés 4-5-2 : Soit A un anneau.

1) Les idéaux de Z sont les parties de Z de la forme nZ telle que n ∈ N. 2)0A et A sont des idéaux de A appelés les idéaux triviaux de A.

0A est appelé l’idéal nul de A.

3) Si A est unitaire et si I est un idéal de A alors I  A si seulement si 1 ∈ I. 4) Si A est un corps, les seuls idéaux de A sont0A et A.

5) Les idéaux de A sont tous des sous-anneaux de A. 6) Si A  Q.

i) Les seuls idéaux de Q sont 0 et Q.

ii) Z est un sous-anneaux de Q qui n’est pas un idéal de Q.

7) Si I et J sont des idéaux de A alors I∩ J et I  J sont des idéaux de A. 8) Si E est un ensemble non vide d’idéaux de A alors



I∈E^{I est un idéal de A.}

9) Si K est un ensemble non vide et siIk_k∈K est une famille d’idéaux de A indéxé par K, alors



k∈K^{Ik est un idéal de A.}

10) Soit a un élément quelconque de A.

i) Si A est abélien alors aA  Aa  ax tq : x ∈ A est un idéal de A.

ii) Si A est abélien unitaire alors l’idéal aA  Aa contient a et c’est le petit idéal de

A contenant a.

On dit que aA  Aa est l’idéal de A engendré par a.

aA  Aa est noté aussi a (c’est à dire a  aA  Aa). 11) Si A est unitaire et si I est un idéal de I de A alors :

∀a ∈ A : a ∈ I  aA ⊂ I  Aa ⊂ I.

12) Si A est abélien unitaire non nul alors A est un corps si seulement si les seuls idéaux de A sont 0  et A.

13) Si A est unitaire et si I est une partie quelconque de A alors I est un idéal de A si et seulement si on a les trois proprétés suivantes :

i) I ≠ ∅.

ii) ∀x, y ∈ I : x  y ∈ I.

iii)∀a ∈ A et ∀x ∈ I : ax ∈ I.

14) Soit B un autre anneau et f est un homomorphisme d’anneaux de A vers B. i) Si J est un idéal de B alors f ⁻¹J est un idéal de A.

ii) ker f est un idéal de A (car ker f  f−10B)

iii) Si f est surjectif et si I est un idéal de A alors fI est un idéal de B. iv) Si A est un corps et si f est non nul alors f est injectif.

Démonstration :

1) Soit I une partie quelconque de Z.  ) Si I est un idéal de Z :

Alors I est un sous-groupe de Z,.

Donc il existe un entier naturel n tel que I  nZ.  ) S’il existe un entier naturel n tel que I  nZ :

∙ I  nZ est un sous-groupe de Z,.

∙ ∀a ∈ Z et ∀x ∈ I  nZ : ∃k ∈ Z tq : x  nk. Alors : ax  xa  ank  nka  nka ∈ I  nZ. Donc I  nZ est un idéal de Z.

Ce qui montre que les idéaux de Z sont les parties de Z de la forme nZ telle que n ∈ N.

2)∙  0A est un sous-groupe de A, . ∙  A est un sous-groupe de A, .

 ∀a ∈ A et ∀x ∈ 0A : x  0A.

ax  a0A  0A ∈ 0A

xa  0Aa  0A ∈ 0A ^{ ax  xa ∈ 0A.} Donc0A est un idéal de A.

∙  A est un sous-groupe de A, .  ∀a ∈ A et ∀x ∈ A : ax, xa ∈ A. Donc A est un idéal de A.

Ce qui montre que0A et A sont des idéaux de A. 0A est appelé l’idéal nul de A.

3)  ) Si I  A :

Alors 1 ∈ A  I.  ) Si 1 ∈ I :

∀x ∈ A : x  x1 ∈ I (car 1 ∈ I). Donc I  A.

4) Supposons que A est un corps et que I est un idéal non nul de A. Alors I admet au moins un élément non nul a.

Puisque a ∈ I alors 1  aa−1 ∈ I (a−1 existe car a ≠ 0 et A est un corps). Donc I  A.

5) Soit I un idéal quelconque de A. ∙ I est un sous-groupe de A, .

∙ ∀a, b ∈ I : a ∈ A et b ∈ I  ab ∈ I. Alors I est sous-anneau de A.

Ce qui montre que les idéaux de A sont tous des sous-anneaux de A. 6) Si A  Q.

i) Les seuls idéaux de Q sont 0 et Q (car Q est un corps).

ii) Z est un sous-anneaux de Q qui n’est pas un idéal de Q (d’après i)). 7) Soient I et J deux idéaux de A.

∙ I ∩ J et I  J sont des sous-groupes de A, . ∙ ∀a ∈ A et ∀x ∈ I ∩ J :

x ∈ I ∩ J  x ∈ I et x ∈ J  ax, xa ∈ I et ax, xa ∈ J  ax, xa ∈ I ∩ J. ∙ ∀a ∈ A et ∀x ∈ I  J : ∃u ∈ I et ∃v ∈ J tq : x  u  v.

ax  au  v  au  av ∈ I  J

xa  u  va  ua  va ∈ I  J ^{ ax, xa ∈ I  J.} Donc I∩ J et I  J sont des idéaux de A.

8) Soit E un ensemble non vide d’idéaux de A. ∙



I∈E^{I est un sous-groupe de}A, . ∙ ∀a ∈ A et ∀x ∈



I∈E^{I :}

x ∈



I∈E^I  ∀I ∈ E : x ∈ I  ∀I ∈ E : ax, xa ∈ I  ax, xa ∈



I∈E^I.

Donc



I∈E^{I est un idéal de A.}

9) Soient K un ensemble non vide et Ik_k∈K une famille d’idéaux de A indéxé par K. ∙



k∈K^Ik

est un sous-groupe de A, . ∙ ∀a ∈ A et ∀x ∈



k∈K^{Ik :}

x ∈



I∈E^I  ∀k ∈ K : x ∈ Ik  ∀k ∈ K : ax, xa ∈ Ik  ax, xa ∈



k∈K^Ik

. Donc



k∈K^Ik

est un idéal de A. 10) i) Supposons que A est abélien.

∙  0A  a0A ∈ aA  aA  Aa ≠ ∅.

 ∀x, y ∈ aA : ∃u, v ∈ A tq : x  au et y  av.

x− y  au − av  au − v ∈ aA. Donc aA  Aa est un sous-groupe de A, . ∙ ∀b ∈ A et ∀x ∈ aA : ∃u ∈ A tq : x  au.

bx  bau  aub  aub ∈ aA. Ce qui prouve que aA  Aa est un idéal de A. ii) Supposons que A est abélien unitaire.

∙ a  a1A ∈ aA.

∙ Soit I un idéal quelconque de A contenant a. ∀x ∈ aA : ∃u ∈ A tq : x  au. ^{u ∈ A}

a ∈ I ^{ x  au ∈ I. Alors aA ⊂ I.} Donc aA  Aa est le petit idéal de A contenant a.

11) Supposons que A est unitaire et que I est un idéal de I de A. Soit a un élément quelconque de A.

– Si a ∈ I :

 ∀x ∈ aA : ∃u ∈ A tq : x  au. Alors : x  au ∈ I (car a ∈ I et u ∈ A).  ∀x ∈ Aa : ∃u ∈ A tq : x  ua. Alors : x  ua ∈ I (car a ∈ I et u ∈ A). Alors : aA ⊂ I et Aa ⊂ I.

– Si aA ⊂ I :

Alors : a  a1A ∈ aA ⊂ I  a ∈ I. – Si Aa ⊂ I :

Alors : a  1Aa ∈ Aa ⊂ I  a ∈ I.

Ce qui montre que : a ∈ I  aA ⊂ I  Aa ⊂ I. 12) Supposons que A est abélien unitaire non nul.

 ) Si A est un corps :

D’après 4), les seuls idéaux de A sont0A et A.  ) Si les seuls idéaux de A sont 0A et A :

Soit a un élément non nul quelconque de A.

Puisque aA est un idéal non nul de A alors aA  A.

Alors : 1 ∈ A  aA  ∃a′ ∈ A tq : aa′  1  a est inversible dans A. Ce qui montre que A est un corps.

13) Supposons que A est unitaire et soit I est une partie quelconque de A.  ) Si I est un idéal de A :

Alors les trois propriétés i), ii) et iii) sont vérifiées.  ) Si les trois propriétés i), ii) et iii) sont vérifiées :

∀x ∈ I : −x  −1Ax  −1Ax ∈ I (d’après iii)).

Puisque les deux propriétés i) et ii) sont vérifiées et puisque l’opposé de tout élément de I est un élément de I alors I est un sous-groupe deA, .

Puisque I est un sous-groupe deA,  et puisque iii) est vérifiée alors I est un idéal de A.

14) Soit B un autre anneau et f est un homomorphisme d’anneaux de A vers B. i) Soit J un idéal de B.

∙ f −1J est un sous-groupe de A,  (ca J est un sous-groupe de A, ). ∙ ∀a ∈ A et ∀x ∈ f −1J : fx ∈ J.

Alors : ^fax  fafx ∈ J  ax ∈ f−1J

fxa  fxfa ∈ J  xa ∈ f−1J ^{ ax, xa ∈ f}

−1J. Donc f ⁻¹J est un idéal de A.

ii) Puisque0B est un idéal de B, alors (d’après i)), ker f  f−10B est un idéal de A

iii) Supposons que f est surjectif et que I est un idéal de A.

∙ f I est un sous-groupe de B,  (ca I est un sous-groupe de A, ). ∙ ∀b ∈ B et ∀y ∈ f J : ∃a ∈ A, et ∃x ∈ I tq : b  fa et y  fx.

a ∈ A et x ∈ I  ax, xa ∈ I. Alors : ^by  fafx  fax ∈ fI

yb  fxfa  fxa ∈ fI ^{ by, yb ∈ fI.} Donc fI est un idéal de B.

Définition 4-5-3 :

Soient A un anneau et I un idéal de A. On dit que :

 I est un idéal premier de A, si on a : ∀x, y ∈ A : xy ∈ I  x ∈ I ou y ∈ I .  I est un idéal maximal de A, si I est un élément maximal (pour l’nclusion) de

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