Filtrage du spectre de Fourier

Le spectre de Fourier de l’image enregistrée dépend uniquement de la taille et du nombre de pixels de la caméra. La sélection spectrale dépend quand à elle de la tache d’Airy et donc du montage. En effet, tout le spectre de Fourier n’a pas forcément une vraie information mais peut apporter des artéfacts de phase s’il est en dehors de la résolution maximale limitée par la tache d’Airy. Pour que la résolution soit maximale et limitée par la résolution du capteur, il faut donc

2.4. Le traitement numérique

que la tache d’Airy dans l’espace caméra soit plus petite que la taille du pixel. Dans le montage Mach-Zehnder classique de la figure 2.5, la pupille du système est fixée par le diamètre 195 mm de la deuxième lentille de focale 800 mm. Cette tache d’Airy est conditionnée par la dernière lentille placée sur le faisceau de mesure et qui forme un système afocal avec la lentille de 800 mm de focale. Dans cette étude, sa focale est nommée f’₂. Sa valeur maximale est calculée pour atteindre une tache d’Airy Φ_Airy de diamètre égal à la taille du pixel soit 3,65µm. Les données des calculs sont exposées figure 2.29.

(a) Montage complet. (b) Zoom sur la partie objet.

Figure 2.29 – Eléments optiques pour le calcul de la tache d’Airy.

La formule de la tache d’Airy est :

Φ_Airy = ^{1, 22λ}

sin(α) ^(2.16)

Dans cette formule, l’angle α se calcule par :

α = 2 arctan(^{ΦP upillesortie}

2| ¯A0F₂⁰| ^{) (2.17)} Dans cette équation (2.17), A^¯0F0

2 =A^¯0O + ¯OF0

2 =A^¯0O + f₂⁰ et Φ_{Pupille sortie}=g_yΦPupille où g_y est le grandissement. Les deux grandeurs A^¯0O et g_y se déduisent de la relation de conjugaison et donnent : g_y = ^f 0 2 f0 2+ ¯OA ^(2.18) ¯ OA0 = ^OAf¯ 0 2 ¯ OA + f₂^{0 (2.19)}

Ces valeurs sont remplacées dans l’équation (2.17) pour donner :

α = 2 arctan(^{ΦP upille}

Ainsi, la valeur maximale de la focale f’₂ peut être calculée et donne f’_{2 max}=1088 mm. Dans la pratique, suivant les expériences réalisées et les zooms souhaités, la focale varie entre 70 mm et 200 mm.

La sélection spectrale de l’ordre +1 peut être quelconque dans le spectre de Fourier du moment qu’elle n’englobe pas les informations des ordres 0 et -1.

Dans la théorie, tout le spectre qui ne contient ni l’ordre 0 ni l’ordre -1 peut être sélectionné. En pratique, des réflexions parasites bruitent le signal. La sélection contenant l’information est donc prise la plus petite possible. Cependant, même si le spectre de Fourier semble ne pas conte-nir d’information à certains endroits, il y a quand même un peu d’information cachée dans le bruit. Ici, l’interférogramme d’étude est enregistré en soufflerie autour d’un spike à Mach 2 dont l’essai est présenté dans la Section 3.2.2. Cet interférogramme présenté figure 2.30a, dont spectre de Fourier est présenté figure 2.30b, est étudié ici pour mettre en évidence l’importance du traitement numérique.

(a) Interférogramme. (b) Spectre de Fourier.

Figure 2.30 – Ecoulement à l’extrados d’un spike à Mach 2.

Une première sélection spectrale est présentée figure 2.31a. Après ce filtrage, une transfor-mée de Fourier inverse est appliquée. Un zoom du cosinus de la phase modulo-2p reconstruite est présenté figure 2.32b. Comme la fréquence porteuse est conservée, ce cosinus est directement comparable à l’interférogramme de la figure 2.32a. Les fréquences spatiales qui s’étalent autour de la porteuse sont bien visibles. Par contre, au niveau du choc, il y a une perte d’information alors qu’il n’y a pas de repliement spectral. Les franges ont une inclinaison très différente de la porteuse avec un passage quasiment à 90^◦. La sélection spectrale doit comprendre cette zone. Il se produit le même phénomène au niveau de la pointe où des franges verticales se forment mais ne sont pas prises en compte dans la sélection spectrale. Le spectre de la figure 2.31b prend en compte ces franges qui sont cachées dans le bruit. Le cosinus de la phase modulo-2p reconstruite présenté figure 2.32c est très similaire à l’interférogramme. Le dépliement de ces zones sera correct.

Le bruit provenant d’une sélection spectrale trop grande apporte cependant une information sur les zones de saut de phase. En effet, dans un interférogramme, si les franges ne répondent pas au critère de Shannon ou que l’ombroscopie floute les franges dans une zone, la transformée

2.4. Le traitement numérique

(a) Sélection spectrale petite. (b) Sélection spectrale grande.

Figure 2.31 – Ecoulement au dessous d’un spike à Mach 2.

(a) Zoom de l’interférogramme d’une zone située sous le spike.

(b) Zoom du cosinus de la phase modulo-2p obtenue après le filtrage de la figure 2.31a.

(c) Zoom du cosinus de la phase modulo-2p obtenue après le filtrage de la figure 2.31b.

Figure 2.32 – Comparaison du cosinus de la phase reconstruite en fonction du filtrage spectral avec l’interférogramme.

de Fourier inverse de la sélection spectrale met une phase aléatoire dans cette zone qui dépend du bruit. Pour une sélection spectrale différente, le bruit étant différent, la même zone aura une phase aléatoire différente. Par soustraction de ces deux cartes de phase modulo-2p, les zones qui seront bien dépouillées ont une valeur nulle alors que les zones dans lesquelles il y aura des sauts de phase ont une valeur aléatoire non forcément nulle. Il est donc possible de détecter les zones qui poseront problème lors du dépliement de phase. Ce phénomène est testé sur un interférogramme provenant du cylindre dans la soufflerie sonique. Trois sélections spectrales sont utilisées figure2.33, une circulaire autour de l’ordre +1, une rectangulaire ne gardant que l’information utile et une troisième prenant tout le demi-espace.

Après soustraction d’une phase de référence provenant des mêmes sélections spectrales, la porteuse est enlevée et les phases modulo-2p sont présentées figure 2.34. Elles sont à première vue similaires. Par contre, lors de la soustraction de deux phases, les zones où des sauts de phase peuvent se produire apparaissent. Ces soustractions sont présentées figure 2.35. Les par-ties vertes sont strictement égales à zéro. Les autres parpar-ties sont données par le bruit de phase et correspondent soit à des zones pour lesquelles la sélection spectrale est trop sélective comme le montre la zone circulaire qui présente des zones non-nulles autour du cylindre. Par contre, entre les deux sélections rectangulaires, les zones différentes sont celles donnant des sauts de

(a) Circulaire. (b) Rectangulaire. (c) Demi-espace.

Figure 2.33 – Sélections dans le spectre de Fourier.

phase.

(a) Circulaire. _{(b) Rectangulaire.} (c) Demi-espace.

Figure 2.34 – Phases modulo-2p en aval du cylindre en fonction de la sélection spectrale.

(a) Circulaire/Rectangulaire. (b) Circulaire/Demi-espace. (c) Rectangulaire/Demi-espace.

Figure 2.35 – Différences de phases modulo-2p en aval du cylindre en fonction de la sélection spectrale.

2.4. Le traitement numérique