Fibr´es stables et repr´esentations unitaires

Dans cette section, on se r´ef`ere aux notes de cours de [Fal]. X est `a nouveau une courbe (lisse, irr´eductible, projective) sur C et on suppose que son genre g est ≥ 1. On a deux approches diff´erentes pour comprendre les fibr´es vectoriels sur X. La premi`ere est

par les fibr´es stables. Pour un fibr´e vectorielF de rang n(F) et de degr´e d(F) on d´efinit la pente µ(F) = d(F )_{n(F )}.

D´efinition II.3.16. Le fibr´e vectoriel F est dit stable (resp. semi-stable) si pour tout sous-fibr´e propre W de F on a µ(W) < µ(F) (resp. µ(W) ≤ µ(F)).

Les fibr´es en droite sont bien entendu stables et pour g = 1 il n’y a que des fibr´es stables. Dans cette section (sauf mention contraire) on suppose donc g ≥ 2.

De mani`ere g´en´eral, un fibr´e vectoriel F est ‘approxim´e’ par une somme directe de fibr´es semi-stables par la filtration de Harder–Narasimhan

0⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fs

d´efinie comme suit. F1 est un sous-fibr´e de F de pente maximale µ et on suppose que

parmi la collection des sous-fibr´es de pente µ, le fibr´e vectoriel F1 est de rang maximal.

Le fibr´e F1 est alors semi-stable et le quotient F



F1 est encore un fibr´e vectoriel . On

d´efinit F2_F1 comme le sous-fibr´e de F_F1 de pente maximale et, comme avant, tel que

parmi la collection des fibr´es satisfaisant la mˆeme condition, il soit de rang maximal. La somme directe des fibr´es semi-stables W := ⊕ Fi+1_Fi est appel´ee approximation de

F. Le fibr´e W ne d´epend pas des choix faits ci-dessus. L’ensemble des fibr´es vectoriels F ayant une approximation donn´ee W peut ˆetre vu comme un espace de modules. Par exemple, les fibr´es F ayant A ⊕ B pour approximation sont les (classes d’isomorphisme des) extensions

0→ A → F → B → 0

et cet ensemble est param´etr´e par l’espace vectoriel de dimension finie H1_{(X, Hom(B, A))}

(Cf [CE]).

Pour l’ensemble des fibr´es semi-stables de rang n et de degr´e d fix´es, il existe un espace de modules que l’on noteraM(n, d). Cet espace de modules est construit par les sch´emas de Hilbert et avec l’aide de la th´eorie des invariants g´eom´etriques de Mumford. L’ouvert de Zariski M(n, d)s _{de M(n, d) correspondant au fibr´es vectoriels stables est}

en fait un espace de modules fin.

La deuxi`eme approche pour comprendre les fibr´es vectoriels provient des repr´esentations unitaires du groupe fondamental π1(X) de X. On note Un le groupe des matrices

complexes unitaires de taille n × n. Soit PUn le quotient de Un par son sous-groupe

{λidUn| |λ| = 1} et on d´efinit le groupe sp´ecial unitaire par

SUn :={M ∈ Un| det M = 1}.

Les groupes Un, PUn et SUn sont vus ici comme des groupes analytiques r´eels. On

consid`ere maintenant les repr´esentations unitaires de rang n d’un groupe finiment en- gendr´e π (un cas particulier sera π = π1(X)). On veut d´efinir le champ de ces repr´esentations

Une repr´esentation unitaire, de rang n, de π est un homomorphisme h : π → Un.

Supposons que π soit engendr´e par {g1, . . . , gr} et notons R l’ensemble des relations

entre ses g´en´erateurs. Un homomorphisme π → Uh n est d´etermin´e par un r-uplets

(h(g1), . . . , h(gr)) ∈ Urn qui satisfait les relations R. Ceci d´efinit un sous-ensemble de

l’espace r´eel analytique (ou alg´ebrique) Ur

n donn´e par les ´equations polynˆomiales en

les h(g1), . . . , h(gr). Soit Y (π, n) := Hom(π, Un). Alors par ce qui pr´ec`ede, Y (π, n) a

une structure de vari´et´e analytique r´eelle. Cette structure ne d´epend pas du choix des g´en´erateurs. En effet, pour deux ensembles S1et S2de g´en´erateurs, on voit facilement que

la structure analytique r´eelle pour S1et S2est la mˆeme que celle d´efinie pour S3 := S1∪S2.

Il suffit donc de se placer dans le cas o`u la deuxi`eme collection de g´en´erateurs contient la premi`ere, soit S1 = (g1, . . . , gs) et S2 = (g1, . . . , gs, h1. . . , ht). Les nouvelles relations

contiennent les anciennes ainsi que des relations qui expriment chaque hi comme un mot

en les g1, . . . , gr. De ceci se d´eduit le r´esultat.

A partir de maintenant, on suppose que π := π1(X) et on note Y (g, n) := Y (π1(X), n).

Ce dernier peut ˆetre identifi´e au sous-espace analytique r´eel de U2g

n qui consiste en les

2g-uplets (a1, . . . , ag, b1, . . . , bg) satisfaisant [a1, b1]· · · [ag, bg] = 1. Un r´esultat d’alg`ebre

lin´eaire (voir II.3.20) montre que l’application Un× Un → SUn,

donn´ee par (a, b)7→ [a, b] = aba−1_b−1 _{est surjective. De plus, la dimension r´eelle de U} nest

n2 _{et celle de SU}

nest n2−1 donc pour un ´el´ement g´en´erique de SUn, la fibre de l’applica-

tion est de dimension r´eelle 2n2_{− (n}2_{− 1) = n}2_{+ 1. On consid`ere maintenant l’´equation}

[a1, b1] . . . [ag, bg] = 1. On prend pour a2, b2, . . . , ag, bg des ´el´ements g´en´eriques de Un. Cet

espace est de dimension (2g−2)n2_{. Il suffit maintenant de consid´erer l’´equation [a}

1, b1] = c

o`u c est l’´el´ement g´en´erique c := ([a2, b2] . . . [ag, bg])−1. La solution de cette ´equation est

un espace de dimension n2_{+ 1 d’apr`es l’argument pr´ec´edent donc la dimension totale est}

(2g− 2)n2_{+ n}2_{+ 1 = (2g− 1)n}2_{+ 1.}

Ici on veut consid´erer les repr´esentations unitaires `a conjugaison pr`es donc on ´etudie PUn. Le quotient na¨ıf PU_n



Y (g, n) (pour n > 1) n’a pas de bonnes propri´et´es et nous devons consid´erer le champ [ PUn



Y (g, n)] qui est de dimension r´eelle (2g − 2)n2 _(pour

n > 1 et g > 1). Les repr´esentations unitaires de rang n du groupe fondamental peuvent ˆetre vues comme un champ. Comme dans le th´eor`eme II.5.1 (`a venir), on peut montrer que ce champ est ´equivalent `a

 Un _{∗} × [_PUn{∗}][ PUn  Y (g, n)].

Comme nous le verrons plus tard dans la section II.5, toute repr´esentation h : π1(X) → GLn(C) induit un fibr´e vectoriel de rang n et de degr´e 0 sur X. En parti-

culier tout homomorphisme h : π1(X)→ Und´etermine un fibr´e vectoriel de rang n et de

Th´eor`eme II.3.17 (Narasimhan–Seshadri). Les cat´egories suivantes sont ´equivalentes :

1. Les repr´esentations unitaires du groupe fondamental π1(X).

2. Les sommes directes de fibr´es vectoriels stables de degr´e 0 sur X.

Remarque II.3.18. Une autre formulation (´equivalente) du th´eor`eme est la suivante : Les cat´egories des repr´esentations irr´eductibles unitaires et des fibr´es vectoriels stables de degr´e 0 sont ´equivalentes

On regarde le cas n = 1. Le th´eor`eme donne alors un isomorphisme analytique r´eel Hom(π1(X),{c ∈ C| |c| = 1}) → PicX0.

Le premier groupe est isomorphe `a {c ∈ C| |c| = 1}2g_{. De plus, PicX}0 ∼_{= C}g

Λ o`u Λ est un r´eseau. L’isomorphisme entre {c ∈ C| |c| = 1}2g _{et PicX}0 _{respecte clairement les}

structures analytiques r´eelles. Cependant le premier groupe ne capture pas la structure analytique complexe de PicX0_.

Il est int´eressant de comparer ce r´esultat avec celui qui sera montr´e dans la preuve du corollaire II.4.5 et les remarques qui suivent. Ce dernier dit que le morphisme de groupe analytique Hom(π1(X), C∗) → Pic0X est surjectif et que son noyau est H0(X, ΩX).

On en d´eduit que chaque ´el´ement de Hom(π1(X), C∗) s’´ecrit de mani`ere unique comme

le produit h1h2, o`u h1 est homomorphisme induit par un ´el´ement de H0(X, ΩX) et

h2 ∈ Hom(π1(X),{c ∈ C, |c| = 1}).

Rappelons que le groupe Un est le groupe des automorphismes de Cn qui pr´eserve le

produit scalaire standard. On consid`ere un sous-espace propre A de Cn_{. Alors le sous-}

ensemble Y (g, n, A) de Y (g, n) constitu´ee des repr´esentations laissant A (et A⊥_{) invariant}

est ferm´e et isomorphe `a Y (g, a)× Y (g, n − a), o`u a = dim A. Le sous-ensemble Y (g, n, a) avec 0 < a ≤ n/2 constitu´e des repr´esentations laissant un sous-espace de dimension a invariant est une orbite de Y (g, n, A) sous l’action du groupe Un. On en d´eduit que

Y (g, n, a) est ferm´e et de dimension r´eelle strictement inf´erieure `a la dimension r´eelle de Y (g, n). Notons Y (g, n)∗ _{le sous-ensemble de Y (g, n) qui correspond aux repr´esentations}

unitaires irr´eductibles de rang n. Alors Y (g, n)∗ _{est un sous-ensemble ouvert de Y (g, n)}

puisque son compl´ementaire est une r´eunion finie de sous-ensembles ferm´es de la forme Y (g, n, A). Il est donc de dimension r´eelle (2g−1)n2_{+1. L’action de PU}

nsur Y (g, n)∗n’a

pas de points fixes puisque les seuls automorphismes d’une repr´esentation irr´eductible sont les multiples de l’identit´e. Le groupe PUn est compact, ses orbites sur Y (g, n)∗ sont

donc ferm´ees et isomorphes `a PUn. On en d´eduit que le quotient PU_n

_{Y (g, n)}∗

est une vari´et´e analytique. Par le th´eor`eme de Narasimhan-Seshadri et le fait que M(n, 0)s _est

un espace de module fin (en fait ‘grossier’ suffit) on obtient un isomorphisme d’espaces analytiques r´eels

PUn

_{Y (g, n)}∗ ∼

Ceci a pour cons´equence que la dimension (complexe) de la vari´et´e alg´ebrique M(n, 0)s

est 1₂((2g − 1)n2 _{− 1 − (n}2 _{− 1)) = (g − 1)n}2 _{+ 1. Chaque fibr´e vectoriel (stable)}

irr´eductible admet C∗ _{pour groupe d’automorphismes et donc G}

m agit sur M(r, 0)s.

Si on voit [ Gm

_{M(r, 0)}s

] comme un sous-champ ouvert de Bun0_r,X, on trouve alors dim Bun0_r,X = (g− 1)n2_.

Remarque II.3.19. On peut introduire la cat´egorie des syst`emes locaux de C-espaces vectoriels de dimension n munis d’un produit scalaire. Cette cat´egorie est alors ´equivalente `

a celle des repr´esentations de rang n du groupe fondamental.

On donne maintenant une preuve rapide du r´esultat d’alg`ebre lin´eaire que nous avons utilis´e pr´ec´edemment.

Lemme II.3.20. Soit n≥ 2, alors tout ´el´ement de SUn(C) s’´ecrit comme le commuta-

teur de deux ´el´ements de Un(C)

(Cf [Fres2]).

D´emonstration. On munit Cn _{du produit hermitien canonique. Alors si A ∈ U} n(C),

l’automorphisme donn´e par M 7→ AM est un automorphisme unitaire. Il existe donc P ∈ GLn(C) telle que P AP−1 = D o`u D est une matrice diagonale. De plus, tous les

´el´ements diagonaux de D sont des nombres complexes de module 1. On suppose de plus que A ∈ SUn(C). Soit D := diag(a1, . . . , an). Par hypoth`ese, on a |ai| = 1, ∀i = 1 . . . n

et a1a2. . . an= 1.

On choisit des ´el´ements bi ∈ C∗ tels que b2 = a2b1, b3 = a3b2, . . . , bn = anbn−1 et

b1b2. . . bn = 1. On a alors |bi| = 1, ∀i = 1 . . . n et bn = anan−1. . . a2b1 = _a1b1. Soit

B := diag(b1, . . . , bn) et consid´erons la permutation circulaire σ := (1, 2, . . . , n). On

note Q(σ) la matrice de permutation associ´ee `a cette derni`ere. Alors Q(σ) ∈ Un(C) et

Q(σ)B−1_Q(σ)−1 _{= diag(b}−1

n , b−11 , . . . , b−1n−1). Observons maintenant que

Bdiag(b−1_n , b−1₁ , . . . , b−1_n−1) = diag(b1b−1n , b2b−11 , . . . , bnb−1n−1) = A

ce qui implique A = BQ(σ)B−1_Q(σ)−1 _{et montre que A est un commutateur.}

Ce r´esultat est ´egalement vrai pour GLn(C) et SLn(C), c’est-`a-dire que tout ´el´ement

de SLn(C) est un commutateur de GLn(C) (Cf [Fres1]). On peut mˆeme montrer que ce

r´esultat est encore vrai pour les groupes de Lie r´eductifs (Cf [DT]). On rappelle qu’un groupe r´eductif est un groupe n’admettant pas de sous-groupe ferm´e, normal, connexe et unipotent.

Dans le document Autour des champs et de la correspondance géométrique de Langlands (Page 95-100)