Francis H IR S C H
La thèie. a été io u tz n u z au CzntAZ. d 'O u a y I z W mai 1971,
U oniizu/i i z Pao^ziizuA. VEMV zn é t a i t I z F a z iid z n t, M zi-ôizuu Z z i PA.ofziizu>u CHOQ;JET e t LI'MS zn é ta iz n t I z i z x a m in a tz u u ,
I l z i t d i^ ffic iZ z dz KzndfLZ zomptz zn quzZquzA pagzi d 'u nz tz tZ z th z iz , a iz h z a u i i i b izn poA I z i méthodzi zmployézA quz pa/i I z i nouvzauK KéiuZ- t a t ii, nombA-Zux, o u 'z lZ z mzt zn évidzncz,
PouA ziiayzÂ. dz donnzA unz id é z dz t a natuAz dz c z i a é iu t ta t ^ , i t
me izm btz in d iip z m a b tz dz aéiumzJi zn quztquzM phn.ai>zi> tzM n o tio n i dz ^ a m ittz i A é io tv a n tz i, dz izmi-gAoupzà, dz p o tz n tiz L i a in s i quz tz s théoaémzs t i a n t zzs d i^ ié a z n tz i n otio ns zntAz z ttz s .
S o it T un opéAatzuA lin é a iA z c o n tin u dans un zspacz o z c to a iz t E noamé'comptzt (ou Eanach], PouA to u t comptzxz \ t z t quz T - X 41p s o i t un
- î .
opzAatzuA in v z A S ib tz , on posz = (T - X 11^1 zX t a {^amiZtz dz t z t s opzAa- tzuAS v é n i{jiz t'é q u a tio n , d it z équation Aésotoantz :
(X - U) \
Indépzndammznt dz V z x is tz n c z d 'u n opéAotzuA tin é a iA z T dans t'z s p a c z E , on pzut ztu dizA des {^amillzs d'cpzAotzuAS (R^l (X appoAtznant paA zxzmptz à un in tz A v a ttz I dz K) o é n iiia n t t'é q u a tio n Azsotvantz. Ce s o n t dz t z t t z s ^am it-
tz s q u i s o n t appztzzs ^am ittzs A ésolvantzs, I l z s t i^acitz dz voiA qu'an opé~ KotzuA P. d 'unz t z t l z la m ittz z s t déAîvablz pan. nappont à X e t même a n a ty ti-
A
quz dans l'in tz A v a tZ z I .
On s a i t quz V z x p o n z n tiz ttz t v * e ^ d 'unz va niab tz n é z tlz
{ou co m p le x e 1 posszdz l a pnopniété
i \ t ^ z = e e t 0 . „ - e - e 0 z t lim = e t-*o ^
On s a i t d é ^ in in zgatzmznt z ^ tonsquz A z s t unz m atnicz {ou même tonsquz A z s t un opznatzuA lin z a in z c o n tin u Sun un zspacz dz Eanach E) .
La {jOrniltz dzs opénatzuns {z^ t cir o é n i^ iz alons
- e ^ " 0 e " e ° ^ ^ % t ù n t - > o + ^ lu e - *E 41
Znde.pe.ndarmznt de c e i t e onÂg-Cnt, on dé{,.inÂt a Z o u t a n o tio n de im i- g ^ o u p t dam un Banaok E ; -et i ' a g t t d ’ unz app Liaa tio n t ->■ , de dam l'e m z m - b tz dm opé-KoteoLU tÂn&aôAm c o n tin u i dan-i E , p o iié d a n t t m p^op-fUetêi - ia i- v a ntm : ^ t + t ' ' ° ’ P = 0 E i-lm [x.] = X V X £ E . t * 0 + ^
L'Etudz d t e e i iem x-gfioupu m t cta^-htquz e t t a th E ofitz u t i t - i i z comtamment t u n o tio m de glnl/LottuÂ. tn{,-intt& i-ùnat e t de Ké.iotvantz du im l- g a o u p t.
Ee gênêAate.uA u t t ' opQ.fiate.uJi ttn e a J jie A danis E , non poJitout d ê ^ tn t en gene- fia t iuA E , t ô t que
k x ^ tXm ^ t ^ - ^
t-fo t
où X Q it un oecteuft de E t e l que t a tim -U e ex-Cite,
La fié io to a n te de A u t t a fo n c tio n À u > = ( A - A ) ' ^ (déjÇxnte
dam t ’ emembte dei comptexu X t e t i que X - A io -U In o e m tb te ] .
La eonna-iiianae de c e t t e fiésotvante ou du généfiateuA pefimet de fie e o m tttu e fi t e -ieme-gfLOupe, généfLottéant a t m t t a n o tio n d 'e x p o n e n tie lle . Le théofième de H ltte V oilda donne d u eafLactéfilôatlom pouA qu'un opéAateufi A io - it un géné- fiateufL de ieml-gaoupe ou poufi qu’ une fa m ille Aé&otoante d é i l n l u e une ^a m ll- t e A éiotva n te de ieml-gAoupe,
PaMom m aintenant à t a n o tio n de noyau en th é o file du p o te n tie l. Vam R3 une d em U é de ehafige u t une fo n c tio n i co ntin ue à iu p p o fit bofiné e t t e p o te n tie l newtonlen engendfié pafi u t d é cJilt paJi
U. lx ,y ,z ) = / / / t? do dw
' J ' V ix-u] ^ + ly -v } ^ +
U app ofia lt a l m l comme une a p p U c a tlo n o > q u i u t U n é a v ie e t p o -il- t lo e de t u p a ce ve ctofU e t d u ^onctcon-i c o n tln u u à iu p p o fit compact dani (R^ noté IR^] dam t 'u p a c e v e c to file l d u ^ o n c tlo m c o n tln u u à iu p p o fit q u e l conque noté ~é^lR^) .
Ceci c o n d u it à t a g é n é fu ittia tlo n iu lv a n te en th é o file du p o te n tie l
X é ta n t un u p a ce tocatem ent compact Ig é n é a a tlia n t IR^] , V u t
appelé un noyau i l c ' u t une a p p lic a tio n tln é a lfie e t p o ilt lv e de
(X) dam -t^(X) .
Peux thzofim zi peAtmttent de pAêclizA £ e i n.eZcvUoni eniyie. ceÆte notion de noyau e t £ e i notioni pKtc.é.dmmznt z x p t ic t t z u ,
J) S I V z i t un noyau o b z liia n t cL un p/txncxpe d i t ”pfUnclpz comptzt du
maxi/num", aJioiu> jJ t e x ii t e uwe (Jamiüe KtioZvantz (R,^) danà Z 'zip acz
(X) t e t t e quz
t i m (R ^1 = l/)5 •• e .
X-K>
i ] Soui ceAtainzi hypothzizi pofitant 6u/l t e noyau 1/ , - it e x iit e un
imi.-gA.oupz (P^) d i t 4emi-g/i.oape de fz llz A t z t quz
nJ ^ e t V x e X V(5 (x) = / (P^ (x) d t
0
( i'in t é g ^ o ie é t m t une gznéA aliiation de i a notion h a b ttu z ilz ).
Vznoni-zn mainiznant, au zontznu de i a pnemièAe p a r tie de t a t h l i z dz üomIzuâ.
HIRSCH, t 'id ê e dLiA.zchu.zz é ta n t t a gznzAottiotion dzi thzoAzmzi pAzztdenti:
L 'z tu d z dzi ^am ittzi A tio tv a n tzi dani un zipazz de Banazh quztzonquz E
zonduit. à dzux n o tio n i, t a notion de ^am üte L ftim (XR,) (x) = 0 , V x e E)
' X-^ \ e t t a n o tio n de ^ a m ittz I tim XR, (x) = x , Sx. i. e)
V X - m t *
Un opzAotzuA. y non poAtout dz^tnl dam E z i t d i t gin&AotzuA. d'une ^amittz i i
1/ X = t û n (X (XRj^ ~ ^ ^ X-M»
I t Z it d é fin i a u i i i t a notion dz zog&nênatzuA d'une fa m itlz ,
★
Vam t z i pAzmizAi zhapitAZi dz i a th z iz , t'autzuA. é ^ d iz t z i zam ctéAUiotioni dzi gznzAatzuAi z t dzi zogznzAotzuAi, Vam I z zhapitAz 3, io n t ztudxézi t z i ^ fa m iitz i A ziotvantzi à zontAuztion ( V X > o || R ^ ^ l l ^ I l e t t z i A.ztatU3m
avzz d z i opzAatzuAi V d i t i d i i i i p a t i f i (e 'e 6 t à diAZ t z t i quz l | x + X U x | | : i - | | X l / x | | V x > o ) .
Lzi thzoAzmzi obtznui gznzAotiiznt dzi thzoAzmzi zonnui dam t a th&OAUz z t m s i- quz dzi im i-gA oupzi z t donnent notamment dzi zo nditiom pouA que t'o n p u iiiz a iio z iz A à un opzAotzuA, 1/ , un gznzAatzuA. d'une fam ittz à zontAaztion,
Vz c e tte étude i z dégage, paa aiZtzuA i, t a notion dz p o tz n tiz t abitA/ut. dam un zipazz dz Banazh {génzAotiiation du p o tz n tiz t h a b itu z tj, taquzttz. notion appaAoit l i e z cL ta théoAiz dzi im i-g A o u p zi, L 'z m m b tz dzi p o tzn tczti a b itA o iti appoAaZt, en e ff e t , zormz é ta n t en b ijz z tio n avez un z z A tc ^ io u i zm m b tz dz génzAotzuAi in fin ité iim a u x dz izmi-gAoupzi [ta b ijz z tio n étant t z paiiogz d'un opéAotzuA à ion inozAiz ) ,
Un tkéoAzmz zaAaztéAiiant t z i p o tz n tiz li tzAminz t z zhapitAz 3.
Lz zhapitAz 4 généAatiiz dzi pAinzipzi pouA dzi noyaux autAzi quz t z i noyaux z t a a iq u z i dz t a théoAiz du p o tz n tiz t, L'autzuA o b tien t poA ce moyen dzi A zta tio m zntAZ t z i noyaux z t t z i A éiotvan tzi.
l£s-os •• 'v ) v ^ q j r o i30N3ma
,
„
"dvbyjnoiudijxow uorydn<} -diQo-u an worjr-'O'dvyp v j V ŸclufdyrSuoj Ç'j'Vjr dvovm vvdyrm / ‘ fiv n [ np TUO'yyoyroTi'è'^ n n y n m yy <n7
OTA-» ym rooa -ap 2p w d 22 vud^qo v rrib 'hjsH IH W^TÇ-Mojy dvh '<ntovdd<i-2 'vm-u-ovdy-D
T>p ^ 2T^ybTdŸm,p Ÿdyryjbvb n '} 'ràurvmmj ŸsqnTVvb n ? vnodCuoyxovmpv uom juvuryydxTi m ‘ yvd^rrvuuo-D t>2 rnb yvdb ÿ v o j dp d ^ d v d v d q ^ ^ j <ryv} m 'd f
'O ib l a3HKï),p yy^ uz ^ç-giyjr v f v w m v d ^ v Ÿvnd 9v p m a - n 2dmoo xvv n jzyq n /v rzp <g<^st ?2P 'Vdnq'nd v zcvrwv j y ‘ zvbyivmdm -vm zij-Dvd-ijydT/ V2 v uoyytryrr^ ,2 3mv33mo3 yyh zz wz qmo-yvr)'} ‘ m y ^ Z Ÿ zÿqrzz'zp
73^ 33-3 n p yn^ZMZAyyzv ÿz'U2 y w d v z z o , ÿ uz uoyqyozŸ V2 twop n p v ^ z n p vm :n'^vyp j z v m v n ^ o v d j y 'zQrm22yyq q n ^iu z y z y q v z y ^d zqrrwyo'bŸ zim ç-zydr
9961 yr^o s ' l ‘ 3 'S ‘ N '3 17 3p zyz2z uzyzuv un y n HOSülH vnzyno^^
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AH3Ù vnzynoyfi 'z jru v u u o y fn d Tzvy qynj ynb zzwuzyno? zun,p zmrzy T?y
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■ n z y 2nzy2w d n yxzyuoz n p mop n uuoz nvqrrnŸZv zp
<nnnov2 '}qv nvpnoz n p n v p u ai^rio rrrn zuzd V2 yuoŸ r j y yonb uz yz ŸyuvŸnvzruy yuoŸ tnuzyqo nutzyozyy n 2 yuyod 2^nb v zyqrnxyvddv yuopuzdzz jmpç znzyq dov2 ZŸnqvuD zyyzz znb y u v v z d n uz 'zŸZyy V2 zp ntvzdv yzz jz y zuyun/zy zp
'011 ‘ W ■ap ŸyvyjbŸZv n 2 yznqvyzuzd zp y<yun yzm zd qrywq-Ÿqv y^yqpuzyod un,p x>A 'zzvyvuuoyqrzvy^ nzuvŸ fynd n p zpnyz 7 'Ÿ ryw yŸ qv rp y y u z y o d n p n z xnv n p û zyz juoÿ {2Z2yzyvy'a xnvfîou n p no yuny zp xnvfiou n p ÿvz Z2 vnod] nruuoz vyvTyn'tyy Tuyvyvzz • {yvzqTyu zp z z v d n un n v p Ÿyuvryvÿvyyv'i' yuzmvzyynzyQrwd juoÿ ŸyvyynŸzy n 2 ) qrrcrvynv jzyyuzyod zvynp un uz qrrvvpŸqv q^yqruzyod un ju z m o '^ n w y x^b Tuoryzuol n p zpm2Z,2 -vr)7 zyyod 27 ‘-yuvŸnvzyuy r ^ m y z y y n z rrv o d y n zvyxdvyz n ju v z p zq
I , 'znyypBzu
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