Faculté des sciences de l'éducation

1.0) Introdução ... 1 2.0) Características gerais de reatores elétricos ... 5 2.1) Princípio de funcionamento dos reatores ... 5 2.2) Projeto construtivo do reator elétrico com núcleo de ar ... 6 2.3) Protótipos desenvolvidos para a pesquisa ... 9 2.4) Principais aplicações dos reatores com núcleo de ar ... 11 2.4.1) Limitador de corrente de curto circuito ... 12 2.4.2) Alisamento ou smoothing ... 12 2.4.3) Aterramento de neutro ... 12 2.4.4) Limitação de correntes provenientes da inserção de banco de capacitores ... 13 2.4.5) Filtro de correntes harmônicas ... 13 2.4.6) Compensador estático ... 14 3.0) Determinação das propriedades mecânicas do material ... 15 3.1) Materiais compostos e suas características gerais ... 15 3.2) Ensaio de tração ... 16 3.3) Método da flexão em quatro pontos ... 19 3.4) Método da viga vibrante ... 25 3.5) Método da excitação impulsiva ... 27 3.6) Determinação da densidade... 34 4.0) Comportamento dinâmico-estrutural dos reatores ... 37 4.1) Análise modal experimental ... 37 4.1.1) Procedimento de medição ... 38 4.1.2) Pós-processamento e resultados ... 40 4.2) Nível de vibração dos reatores em funcionamento ... 47 4.2.1) Procedimento de medição ... 47 4.2.2) Influência da indução magnética sobre os resultados ... 50 4.2.3) Pós-Processamento e resultados ... 59 5.0) Radiação sonora dos reatores ... 79 5.1) Conceito de potência sonora ... 79 5.2) Determinação do nível de potência sonora dos reatores ... 80 5.2.1) Procedimento de medição ... 80 5.2.2) Pós-Processamento e resultados ... 84 6.0) Modelagem analítica e numérica dos reatores ... 95 6.1) Mecanismos de geração de ruído nos reatores ... 95 6.2) Modelo analítico da indução magnética dos reatores ... 96 6.2.1) Lei de Biot-Savart ... 97 6.2.2) Lei de Ampère ... 98

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6.2.3) Lei de Laplace ... 99 6.2.4) Determinação da força magnética radial ... 100 6.2.5) Determinação da força magnética axial ... 108 6.3) Modelo numérico da indução magnética dos reatores ... 112 6.3.1) O eletromagnetismo e as equações de Maxwell ... 112 6.3.2) Modelagem e resultados ... 116 6.4) Comparação entre os modelos analítico e numérico ... 125 7.0) Modelos numéricos vibroacústicos dos reatores... 129 7.1) Modelos numéricos estruturais ... 129 7.2) Modelos numéricos de radiação sonora ... 134 7.3) Resultados e análises de parâmetros ... 139 7.3.1) Carregamento constante e carregamento variável ao longo do eixo axial ... 139 7.3.2) Forças radial e axial... 141 7.3.3) Influência do amortecimento no ruído radiado ... 142 7.3.4) Análise para uma faixa de frequências admitindo um carregamento constante ... 144 7.3.5) Análise para uma faixa de frequências admitindo um campo de velocidade constante ... 148 7.3.6) Determinação dos modos acústicos da cavidade ... 149 7.4) Validação numérico-experimental ... 152 7.4.1) Validação das propriedades mecânicas medidas ... 152 7.4.2) Validação do modelo numérico estrutural ... 157 7.4.3) Validação do modelo numérico de radiação sonora ... 160 8.0) Conclusões ... 163 Referências bibliográficas ... 167 Apêndice 1 - Introdução ao método elementos finitos ... 175 1.1) O método de elementos finitos e suas aplicações ... 175 1.2) Origem, história e generalização... 178 1.3) Família de elementos ... 181 1.4) Integração numérica ... 184 Apêndice 2 - Elementos finitos em elasticidade linear ... 187 2.1) Conceitos fundamentais de mecânica dos sólidos ... 187 2.1.1) Tensor de tensões ... 189 2.1.2) Equações diferenciais de equilíbrio ... 190 2.1.3) Tensor de deformações ... 192 2.2) Aplicação do princípio dos trabalhos virtuais (PTV) ... 197 2.3) Soluções aproximadas... 203 2.4) Mapeamento ... 210 2.5) Integração numérica ... 214 Apêndice 3 - Elementos finitos em acústica linear ... 217

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3.1) Propagação sonora em fluidos: Equação de ondas planas 217 3.2) Aplicação do princípio dos trabalhos virtuais (PTV) ... 227 3.3) Soluções aproximadas ... 233 3.4) Mapeamento ... 236 3.5) Integração numérica ... 246 Apêndice 4 - Conceitos matemáticos fundamentais ... 249 4.1) Produto escalar ... 249 4.2) Produto vetorial ... 250 4.3) Operador gradiente ... 252 4.4) Tensores ... 254 4.4.1) Soma de tensores ... 256 4.4.2) Produto de tensores ... 256 4.4.3) Tensor transposto... 256 4.4.4) Tensores simétrico e antissimétrico ... 257 4.4.5) Produto tensorial de dois vetores ... 258 4.4.6) Traço ... 258 4.5) Operador divergente ... 259 4.6) Teorema da Divergência ... 262 4.7) Derivadas do produto de funções ... 262

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Nas últimas décadas foi identificada a viabilidade do uso de sistemas de corrente contínua em alta tensão para a transmissão de grandes blocos de energia a longas distâncias. O uso deste tipo de sistema fornece uma série de vantagens, tais como a interligação de dois sistemas em corrente alternada, que podem estar fora de sincronismo ou em frequências diferentes, e a redução do custo da linha de transmissão, uma vez que a quantidade de cabos é significativamente reduzida. No entanto, o processo de conversão de corrente contínua para corrente alternada produz tensões e correntes harmônicas que podem gerar elevados níveis de ruído, em diferentes faixas de frequências. Além disso, o crescimento econômico, o populacional, e o uso crescente de energia elétrica, exigem a construção de subestações para transmissão de energia junto aos grandes centros de consumo, fazendo com que as comunidades vizinhas sejam afetadas pelo ruído gerado nestes locais.

O problema do ruído gerado nas subestações não está apenas associado ao incômodo gerado pelos elevados níveis de ruído como também ao fato de serem ruídos tonais, que provocam um grande desconforto. Por isso, órgãos ambientais, principalmente da Europa e Estados Unidos, passaram a adotar leis mais rigorosas que definem os níveis máximos toleráveis e exigem a especificação do nível de potência sonora dos equipamentos a serem usados nestas subestações, para que o nível de ruído global gerado pela planta industrial seja estimado.

Em geral, o ruído gerado por componentes elétricos depende principalmente da vibração que é induzida na estrutura a partir da ação de forças elétricas resultantes do fluxo de corrente que circula no componente ou de tensões aplicadas sobre ele. Particularmente, quando uma ou mais frequências do espectro de forças coincidem com uma das inúmeras frequências de ressonância da estrutura, ocorre uma amplificação dos níveis de vibração e consequentemente um aumento considerável no nível de ruído gerado pelo equipamento.

Entre as principais fontes de geração de ruído nestas plantas industriais encontram-se os transformadores, os capacitores e os reatores com núcleo de ar. Nesta pesquisa tem-se como objetivo principal o desenvolvimento de um modelo numérico vibroacústico que permita determinar o ruído gerado pelos reatores com núcleo de ar. Como o ruído gerado por estes equipamentos está diretamente associado às suas características elétricas e mecânicas, o modelo vibroacústico proposto é

Capítulo 1. Introdução 2

composto por três modelos numéricos desacoplados. O primeiro modelo é usado para calcular as forças resultantes da indução magnética gerada pelo reator. O segundo permite determinar o comportamento dinâmico estrutural do reator e o terceiro simula a radiação sonora deste equipamento.

Ao longo de todo o documento, são abordadas as várias áreas do conhecimento que estão relacionadas ao problema do ruído dos reatores. No Capítulo 2 apresentam-se as características gerais e o princípio de funcionamento dos reatores elétricos, destacando as formas construtivas, os principais componentes e as principais aplicações dos reatores com núcleo de ar. Além disso, apresentam-se as informações técnicas e características construtivas dos três protótipos construídos para realização dos ensaios experimentais.

A caracterização mecânica estrutural dos reatores tem início no Capítulo 3 onde são apresentados os ensaios realizados para determinar as propriedades elásticas do material, formado por uma mistura de fibra de vidro, resina epóxi e fios de alumínio. Além da descrição da metodologia empregada em cada ensaio, se faz uma análise crítica dos resultados obtidos, uma vez que as propriedades determinadas experimentalmente serão usadas nos modelos numéricos estruturais e, portanto, poderão afetar significativamente os resultados obtidos nestas simulações.

As frequências naturais e os modos de vibração dos três protótipos analisados nesta pesquisa são apresentados no Capítulo 4. A identificação das frequências de ressonância da estrutura tem um papel fundamental quando se deseja avaliar se as forças que atuam no equipamento podem excitar algum modo estrutural e, consequentemente, implicar no aumento do nível de vibração e do ruído gerado pelo reator. Como a energia sonora radiada pelo reator está diretamente relacionada à velocidade de vibração da superfície, apresentam-se também neste capítulo os testes experimentais realizados para determinar a forma e os níveis de vibração dos reatores em funcionamento.

Concluindo esta série de avaliações experimentais, no Capítulo 5 apresentam-se os ensaios realizados para avaliar o ruído gerado pelos reatores. Nestes testes, determina-se o nível de potência sonora de cada um dos protótipos e a partir da avaliação dos níveis de pressão sonora registrados nos diversos pontos de medição, se faz uma análise da diretividade do campo acústico dos reatores. Os ensaios experimentais não tiveram como único objetivo a validação dos resultados fornecidos pelo modelo vibroacústico proposto, pois, a partir dos mesmos, foi

Capítulo 1. Introdução 3

obtida uma série de conclusões que contribuíram para o enriquecimento técnico científico desta pesquisa e aprimoramento do modelo proposto.

Do ponto de vista de geração de ruído, a amplitude de vibração e as dimensões da superfície de radiação do reator determinam essencialmente a potência sonora gerada pelo mesmo. Por isso, tem-se interesse em determinar as forças que fazem com que a superfície do reator vibre. Conforme se apresenta no Capítulo 6, estas forças resultam da interação entre o fluxo de corrente que percorre o reator e sua indução magnética. Para determiná-las propõe-se dois modelos, um analítico e outro numérico. No modelo analítico, admite-se que a indução magnética criada pelo fluxo de corrente no reator seja similar àquela de um solenoide. Já no modelo numérico, a indução magnética é obtida a partir de uma equação diferencial deduzida das equações de Maxwell e da aplicação do método de elementos finitos.

No Capítulo 7 se descreve o modelo numérico estrutural e o modelo de radiação sonora. O modelo estrutural foi desenvolvido a partir do método de elementos finitos e com ele pretende-se representar o comportamento dinâmico dos reatores em funcionamento e, assim, determinar a velocidade de vibração ao longo de toda a superfície do reator. No modelo numérico de radiação sonora, a excitação do campo acústico é introduzida a partir da consideração de que a velocidade de partícula na interface entre a superfície do reator e o campo acústico é igual àquela da superfície. Por se tratar de um problema de radiação sonora, cujo domínio de cálculo tem uma extensão infinita, no modelo de radiação sonora emprega-se o método de elementos de contorno. Ainda neste capítulo, são feitas análises envolvendo uma série de parâmetros tais como, tipo de carregamento e ressonâncias acústicas da cavidade interna dos reatores, para identificar quais são os parâmetros que mais contribuem para o ruído gerado pelos reatores e como cada um deles influencia na radiação sonora. E finalmente, apresenta-se uma comparação entre os resultados numéricos e os experimentais para avaliar se os modelos desenvolvidos representam adequadamente o problema abordado.

No Capítulo 8 apresenta-se uma síntese contendo as conclusões obtidas com esta pesquisa, sejam elas resultados da profunda investigação experimental realizada ou das várias análises realizadas através dos modelos numéricos desenvolvidos. Além disso, propõem-se alguns assuntos que poderiam ser estudados em pesquisas futuras, almejando um aperfeiçoamento dos modelos aqui desenvolvidos.

Na parte inicial dos Apêndices, se faz uma breve introdução ao método de elementos finitos para que posteriormente, a partir das

Capítulo 1. Introdução 4

equações diferenciais que definem o problema estrutural dinâmico e o problema acústico, seja desenvolvido todo o equacionamento matemático necessário para obtenção dos modelos discretos. O desenvolvimento detalhado de cada uma das etapas envolvidas na definição do modelo discreto não visa somente à apresentação do procedimento matemático que se encontra por trás dos programas comerciais de elementos finitos. O objetivo principal consiste na elaboração de um programa próprio que além de ser utilizado como uma ferramenta complementar ao ensino na área de vibrações e acústica permita calcular o ruído radiado por reatores. Além disso, tal desenvolvimento procura fornecer aos pesquisadores em geral, uma referência bibliográfica que sirva de base para futuros trabalhos que abordem o método numérico de elementos finitos ou que desejem implementar códigos próprios para a solução de outros problemas estruturais ou acústicos.

CAPÍTULO 2