Factorisation de Matrices - Sur les algèbres de bords des surfaces marquées à p-ponctions

En algèbre lin´eaire, si B est une matrice m × n de rang r , alors il existe une matrice X de taille m × r et une matrice Y de taille r × n telles que B = XY . Ce th´eorème de décomposition admet aussi une analogie en algèbre commutative. Suivant cette idée, Eisenbud a introduit dans [Eis80] la notion de factorisation de matrices d’un élément

f d’un anneau commutatif S. L’objectif ´etait d’étudier les résolutions libres minimales p´eriodiques sur l’hypersurface S/hf i. Cette th´eorie de factorisations de matrices permet d’obtenir une description linéaire algébrique des modules de Cohen-Macaulay sur des singularités d’hypersurfaces simples isolées.

D´efinition 2.3.1 Soit 0 6= f ∈ k[[x]] = k[[x1, x2, ..., xd]] un ´el´ement non inversible. Une

factorisation de matrices de f d’ordre n est une paire de matrices (ϕ, ψ)n×n dans

k[[x]] d´efinies par les ´egalit´es ϕψ = ψϕ = f In, o`u f In est la matrice scalaire en f .

Une conséquence immédiate de cette définition donne deux exemples particuliers de matrices de factorisations, `a savoir (In, f.In) et (f.In, In). Autre exemple, si A est une

matrice d’ordre n, alors il existe une matrice B = Adj(A) dite adjointe de A telle que AB = BA = det(A).In. Cette formule donnant en g´en´erale l’inverse de A est un cas

particulier de factorisation de matrice du d´eterminant det(A).

D´efinition 2.3.2 Un morphisme de factorisations de matrices de f de (ϕ1, ψ1) vers (ϕ2, ψ2) est la donn´ee d’une paire de matrices (α, β) telles que le diagramme suivant commute k[[x]]n1 ψ1 // α k[[x]]n1 ϕ1 // β k[[x]]n1 α k[[x]]n2 ψ2 //k[[x]]n2 ϕ2 //k[[x]]n2 (2.3.1)

Si α et β sont des isomorphismes, alors (ϕ1, ψ1) et (ϕ2, ψ2) sont dites équivalentes. Une factorisation de matrices (ϕ, ψ) de f est dite réduite si tous les coefficients dans ϕ et ψ sont différentes de l’unité.

La commutativité du carré de gauche dans le diagramme 2.3.1 entraine celle du carré de droite et vice-versa. On construit la cat´egorie des factorisations de matrices de f dans k[[x]], not´ee MFk[[x]](f) comme suit.

- les objets sont les matrices de factorisations (ϕ, ψ)n×n

- la composition des morphismes est d´efinie par le produit matriciel et se fait composante par composante.

La cat´egorie MFk[[x]](f) est additive. La somme directe est d´efinie par

(ϕ1, ψ1) ⊕ (ϕ2, ψ2) = (   ϕ1 0 0 ϕ2  ,   ψ1 0 0 ψ2  )

Eisenbud a montr´e que si (ϕ, ψ) est une factorisation de matrices de f d’ordre n, alors le k[[x]]-module donn´e par la suite courte exacte

0 //k[[x]]n ϕ //k[[x]]n //M //0 (2.3.2) est aussi un CM-module sur l’hypersurface k[[x]]/hf i [Eis80]. En effet, l’´egalit´e ϕψ(Sn_{) =}

f Sn_{, entraine que f S}n _{⊂ Im(ϕ), c’est-`}_{a-dire, f.S}n_{/Im(ϕ) = 0. Par cons´}_{equent, f M = 0,}

d’o`u M admet une structure de k[[x]]/hf i-module. La formule d’Auslander-Buchsbaum [AB57, Théorème 3.7] appliquée `a M en tant que k[[x]]-module affirme que depth_k[[x]](M ) = depth(k[[x]]) − dp(Mk[[x]]). La suite exacte2.3.2´etant minimale, on a dp(Mk[[x]) = 1. L’an-

neau k[[x]] est r´egulier et local, donc k[[x]k[[x]∈ CM(k[[x]). Par cons´equent depthk[[x]](M ) =

krdim(k[[x]]/hf i), c’est-`a-dire Coker(ϕ) = M ∈ CM(k[[x]]/hf i). On peut d´efinir alors un foncteur additif cok : MFk[[x]](f ) //CM(k[[x]]/hf i) sur les objets par cok(ϕ, φ) =

Coker(ϕ) et sur les morphismes par cok(α, β) = γ, o`u le morphisme γ est induit par la relation αϕ1 = ϕ2β modulo hf i. Inversement, tout module de Cohen-Macaulay sur k[[x]]/hf i est donn´e de cette mani`ere 2.3.2. En effet, si M est un k[[x]]/hf i-module de Cohen-Macaulay, alors la mˆeme formule d’Auslander-Buchsbaum affirme que dp(Mk[[x]]) =

depth(k[[x]])−depth_k[[x]](M ) = krdim(k[[x]])−krdim(k[[x]]/hf i) = 1. Donc M admet une pr´esentation projective exacte de k[[x]]-modules

0 //k[[x]]n2 ϕ //k[[x]]n1 //M //0 (2.3.3) Par cons´equent, n2 ≤ n1, car ϕ est un monomorphisme. D’autres part, on a f M = 0, c’est- `

a-dire, f k[[x]]n1 ⊆ Im(ϕ). Donc pour tout x ∈ k[[x]]n1_{, il existe un unique y ∈ k[[x]]}n2

ψ : k[[x]]n1 //k[[x]]n2 qui associe x `a y. Ainsi, on a f Inx = ϕψx, pour tout x ∈ k[[x]]n1,

d’o`u f In1 = ϕψ. Le morphisme ψ ainsi d´efini est aussi un monomorphisme (ce qui implique

n1 ≤ n2), car l’anneau k[[x]] est int`egre et f est non diviseur de z´ero. Enfin, puisque k[[x]] est commutatif, donc f Inϕ = ϕf In et ϕ un monomorphisme, alors ϕ(ψϕ) = f Inϕ, d’o`u

ψϕ = f In, avec n1 = n2.

Soit (ϕ, ψ) la factorisation de matrices (ϕ, ψ) modulo hf i.

Proposition 2.3.1 Soit (ϕ, ψ) une factorisation de matrices d’ordre n de f correspon- dant au k[[x]]-module M dans la suite exacte 2.3.2. Alors M admet une R-r´esolution projective 2-p´eriodique :

//_Rn ϕ //_Rn ψ //_Rn ϕ //_Rn ψ //_Rn ϕ //_Rn //_M //₀ _(2.3.4)

D´emonstration 2.3.1 L’´egalit´e ϕψ = ψϕ = f.In induit le complexe

... //Rn ϕ //_Rn ψ //_Rn ϕ //_Rn ψ //_Rn ϕ //_Rn //_{... .}

Ce complexe est en fait exact. En effet, si x ∈ Rn (x ∈ k[[x]]n) est tel que ϕ(x) = 0, c’est-`a-dire, ϕ(x) = 0, alors ϕ(x) ∈ hf i = f k[[x]]n _{= ϕψ(k[[x]]}n_{). Par cons´}_{equent, x ∈}

Im(ψ). De mˆeme, on montre que Ker(ψ) ⊆ Imϕ. Il reste `a montrer que M = Cokerϕ. Par d´efinition, on a M = Cokerϕ. Mais puisque f M = 0, donc f k[[x]]n _{⊆ ϕ(k[[x]]}n_),

i.e hf i ⊆ Imϕ. Par cons´equent, Imϕ = Imϕ = Imϕ/hf i. Finalement, on obtient que Cokerϕ = Rn_{/Imϕ ∼}_{= k[[x]]}n_/Imϕ.

Remarque 2.3.1 syz2i b

R(M ) = M , pour tout i ∈ N, tandis que syz

2i+1 b

R (M ) = N avec N

donn´e par la factorisation de matrices (ψ, ϕ) de f.

Les factorisations de matrices (In, f In) et (f In, In) de f sont des cas particuliers im-

portants de factorisations de matrices. Elles correspondent respectivement dans R aux CM-modules 0 et R. Notons MF_k[[x]](f ) = MFk[[x]](f )/h(In, f In)i la sous-cat´egorie pleine

de MFk[[x]](f ) obtenue en ´eliminant tous les morphismes dans MFk[[x]](f ) se factorisant `a

travers (In, f In).

Le théorème d’Eisenbud qui suit est le résultat principal de l’étude des factorisations de matrices [Eis80, Corollaire 6.3] ou [Yos90, Théorème 7.4].

Théor`eme 2.3.1 (Eisenbud) Soit S un anneau régulier et local, 0 6= f ∈ S un ´elément non inversible et R l’hypersurface S/hf i. Alors le foncteur coker induit des ´equivalences de catégories

MF_S(f ) ∼= CM(R) (2.3.5)

MFS(f )/h(In, f In), (f In, In)i ∼= CM(R)/hRi. (2.3.6)

Démonstration 2.3.2 Nous montrons brièvement la première équivalence, la seconde est induite de la premi`ere et du fait que coker(f In, In) = R. On v´erifie facilement que les

foncteurs MF_S(f ) cok //CM(R) δ //MF_S(f ) sont des quasi-inverses l’un de l’autre. Le foncteur cok est induit par le foncteur coker et d´efini sur les objets (ϕ, ψ) par cok(ϕ, ψ) = Coker(ϕ) et sur les morphismes (α, β) par

cok(α, β) =    0 si (α, β) se factorise par (In, f In) γ sinon. tandis que le foncteur δ est d´efini comme suit

δ : CM(R) //MF_S(f ) M1 g //_δ(M₁_{) : 0} δ(g) //_Sn1 β ϕ1 _// Sn1 α //_M₁ g //₀ M2 //δ(M2) : 0 //Sn2 ϕ2 _// Sn2 //_M 2 //0

Le foncteur δ ainsi construit est uniquement d´etermin´e sur les objets M `a ´equivalence pr`es et sur les morphismes g `a isomorphisme pr`es.

D’autre part, si (ϕ, ψ) est r´eduite, alors Coker(ϕ) n’admet pas de facteur direct libre. En effet, si N un facteur direct libre de (ϕ, ψ), alors il existe un R-module X tel que

Coker(ϕ) ∼= Rn⊕ X, avec N ∼= Rn. Mais comme R = coker(f In, In), il suit l’isomorphisme (ϕ, ψ) ∼=⊕(f In n, In) ⊕ (ϕ0, ψ0), c’est-`a-dire (ϕ, ψ) ∼= (         ϕ0 0 · · · 0 0 f In · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · f In         ,         φ0 0 · · · 0 0 In · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · In         )

pour un certain ϕ0, ψ0 tel que Coker(ϕ0, ψ0) ∼= X, ce qui est absurde car la matrice de gauche admet des coefficients non tous diff´erents de l’unit´e.

Toutefois, si la factorisation de matrices (ϕ, ψ) n’est pas r´eduite, alors (ϕ, ψ) admet (In, f In) comme facteur direct. Plus pr´ecis´ement, toute factorisation de matrice (ϕ, ψ)

non réduite se décompose en une partie réduite et une non réduite comme suit

(ϕ, ψ) = réduite z }| { (ϕ0, ψ0) ⊕ nonréduite z }| { (f In, In)p⊕ (In, f In)q.

Cette décomposition est unique à isomorphisme près. En effet, si (ϕ0₀, ψ₀0) ⊕ (f In, In)p

⊕ (In, f In)q 0

est une autre d´ecomposition de (ϕ, ψ), alors en posant M0 = cok(ϕ0, ψ0) et M00 = cok(ϕ0₀, ψ₀0), il suit que

M0⊕ Rp ∼= M00 ⊕ R

p0_.

Mais comme (ϕ0, ψ0) et (ϕ00, ψ00) sont r´eduites, alors M0

∼

= M₀0. De plus, d’apr`es l’unicit´e de la d´ecomposition dans CM(R), on a p = p0 . Finalement, on a l’isomorphisme (ϕ0, ψ0)

γ(g)

∼ = (ϕ0₀, ψ₀0) et, en comparant la taille des matrices, il suit que q = q0, d’o`u l’unicit´e.

Remarque 2.3.2 Le théorème 2.3.1 combiné aux remarques précédentes établissent une correspondance bijective entre factorisations de matrices réduites et modules de Cohen- Macaulay n’ayant pas de facteurs directs libres.

Proposition 2.3.2 Le foncteur MF_S(f ) cok //CM(R) ´etablit une correspondance bijective entre l’ensemble des factorisations de matrices r´eduites et l’ensemble des classes d’isomorphismes de modules de Cohen-Macaulay n’admettant pas de facteurs directs libres {(ϕ, ψ) r´eduites} bijection←→ {isoclasses de CM(R)-modules ind´ecomposables}

Proposition 2.3.3 [Yos90, Proposition 7.7] Soit M ∈ CM(R) non libre et ind´ecompo- sable donn´e par la matrice de factorisation r´eduite (ϕ, ψ). Alors syz1

RM est aussi ind´e- composable et non libre. De plus, syz1_RM = Cok(ψ, ϕ).

Démonstration 2.3.3 Il est ´evident que (ϕ, ψ) ∈ MF_S(f ) si, et seulement, si (ψ, ϕ) ∈ MF_S(f ). De même (ψ, ϕ) est réduite si, et seulement, si (ϕ, ψ) l’est. D’autre part, la résolution libre 2-périodique 2.3.1 de M induit les suites courtes exactes

0 //Coker(ψ) //Rn //_M //₀ _(2.3.7)

0 //Ker(ϕ) //Rn //_Ker(ψ) //₀ _(2.3.8)

Il reste à ´etablir que Ker(ψ) ∼= Coker(ψ). On a Coker(ψ) = Rn/Im(ψ) = Rn/Ker(ϕ). Or d’après la deuxième suite exacte 2.3.8, on a Ker(ψ) ∼= Rn/Ker(ϕ), d’o`u l’égalité voulue. Par conséquent, il suit de la première suite exacte 2.3.8 que syz1_RM = Cok(ψ, ϕ).

Remarque 2.3.3 [Yos90] Soit M comme dans 2.3.3 et N ∈ CM(R) correspondant `a la matrice de factorisation (ϕ0, ψ0). Si h : N //syz1

R(M ) est un R-homomorphisme, alors

il existe un morphisme de factorisations de matrices (α, β) = γ(h) : (ϕ0, ψ0) //(ψ, ϕ) d´efini par cok(α, β) = h. On construit ainsi une nouvelle factorisation de matrice de f

(   ϕ β 0 ϕ0  ,   ψ −α 0 ψ0  )

Le morphisme γ(h) est donn´e par le diagramme commutatif 0 //Sn1 β ϕ0 _// Sn1 α //_N h //₀ 0 //Sn2 ψ //_Sn2 //_syz1 R(M ) //0

Il est facile de v´erifier, utilisant la commutativit´e du diagramme 2.3.3, que 2.3.3 est bien une factorisation de matrice de f.

En notant L le R-module de Cohen-Macaulay correspondant `a la factorisation de matrices 2.3.3, on obtient la suite courte exacte 0 //M //L //N //0 . La classe de cette suite dans Ext1_R(N, M ) est en fait l’image de h par l’application naturelle

ρ : HomR(N, syzR1M ) //Ext

R(N, M ) . Puisque ρ est surjectif, alors toute extension de

Chapitre 3

Sur les alg`ebres de bords d’une

surface marqu´ee avec ponctions

Les carquois avec potentiel associés à une surface à bords marqu´es (S, M ) ont ´eté introduits et étudiés par D. Labardini-Fragoso dans le cadre de la mutation. Dans sa thèse, il montre, comme dans [DWZ08], que si σ et σ0 sont deux triangulations de (S, M ) re- li´ees par un flip, alors les carquois avec potentiels (Qσ, Wσ) et (Qσ0, W_σ0) sont reliés par

une mutation qui respecte le flip. Dans la première section, nous présentons ces notions et celle de l’algèbre jacobienne gelée associée `a un carqois avec potentiel (Q, W ). Cer- taines algèbres jacobiennes gelées peuvent aussi être construites à partir d’une surface de Riemann. Dans ce chapitre on s’intéresse en particulier à l’algèbre jacobienne gelée provenant d’une surface à bords marqués avec ponction. Sa construction a éte introduite et étudiée par Demonet-Luo [DL16a] dans le cas d’un polygone régulier sans. Dans la deuxième section, nous donnons d’abord une construction générale de celle-ci pour une surface de Riemann puis montrons que son algèbre de bords associée ne dépend pas du choix du carquois géométrique, voir théorème 3.2.1. Ce théorème est le résultat principal de cette thèse. Ensuite, nous donnons aux théorèmes 3.2.3 et 3.2.5 une forme explicite des algèbres jacobiennes à bords gelés associées au polygone sans et avec une ponction. L. Démonet et X. Luo ont aussi déterminé ces algèbres, voir théorèmes3.2.1 et 3.2.18, mais

nous proposons ici une autre version relativement plus simple et utilisant des techniques de calcules différents. Enfin, nous généralisons ces résultats par récurrence en déterminant au théorème 3.2.6 une forme générale explicite de celles-ci dans le cas d’un polygone à p-ponctions quelconque (Pn+3,p).

3.1 Carquois avec potentiel

Les carquois avec potentiels sont l’oeuvre de Derksen, Weyman, et Zelevinsky. Ce type de carquois, initialement introduits dans [DWZ08], a été largement étudié dans le cadre de la mutation [Kel05]. Un él´ement potentiel d’un carquois Q est une combinaison lin´eaire de cycles de Q. Cette combinaison peut ˆetre finie ou infinie. Dans ce chapitre, comme dans [DWZ08], nous travaillons sur l’algèbre des chemins complète.

Soit Q = (Q0, Q1, s, t) un carquois fini, connexe, et sans boucle avec Q0 = {1, 2, ..., n}. Consid´erons l’alg`ebre de chemins KhQi =L

i≥0KQi, o`u KQi est l’ensemble des chemins

de longueur i dans Q. À KhQi on associe l’alg`ebre de chemins complète, not´ee KhhQii, d´efinie, en tant que K-espace vectoriel, comme ´etant l’ensemble des combinaisons linéaires de chemins infinis possibles dans Q, c’est-`a-dire,

KhhQii =Y

i≥0

KQi;

dont la multiplication est induite par concat´enation des chemins . Notons que dans le cas o`u le carquois Q est acyclique, l’espace vectoriel KQi = {0} , pour i assez grand. Ainsi,

il suit que

KhhQii = KhQi, par cons´equent elle est de dimension finie.

Exemple 3.1.1 Dans le cas o`u Q est donn´e par le carquois 1

α ₉₉ _,

l’alg`ebre KhQi est isomorphe `a l’algèbre des polynˆomes K[x] tandis que KhhQii est iso- morphe à l’algèbre des s´eries formelles K[[x]].

Soit m l’id´eal bilat`ere de KhhQii engendr´e par l’ensemble des fl`eches d´efini par

m =Y

i≥1

KQi

dont une puissance est donn´ee par

mn=Y

i≥n

KQi.

Soit KhhQiicycl l’espace vectoriel engendr´e par les chemins cycliques de longueur l ≥ 2.

Les d´efinitions qui suivent sont l’œuvre de Derksen-Weyman-Zelevinsky dans [DWZ08].

D´efinition 3.1.1 Un potentiel W dans Q est un ´el´ement, peut-ˆetre infini, de KhhQiicycl.

La notion de potentiel est un outil permettant de décrire les relations de certaines algèbres de chemins. Ces relations se calculent à l’aide d’une dérivation cyclique.

D´efinition 3.1.2 Soit α ∈ Q1. Une d´erivation cyclique par rapport `a α, not´ee ∂α, est

un morphisme K-lin´eaire KhhQiicycl //KhhQii qui, `a tout cycle α1α2. . . αl, associe

la somme

∂α(α1α2. . . αl) =

α=αi

αi+1. . . αlα1. . . αi−1

Les dérivations cycliques ne dépendent pas du choix des cycles autour d’un sommet. Dans W, chaque cycle peut être écrit avec différentes sources. Donc plusieurs potentiels peuvent avoir la même dérivation cyclique. Pour les identifier, Derksen-Weyman- Zelevinsky ont considéré les potentiels à rotation près.

D´efinition 3.1.3 Deux potentiels W et W0 sont cycliquement ´equivalents si le chemin W − W0 est d´ecrit par les termes de la forme a1...an−1an− a2...ana1..

D´efinition 3.1.4 Un carquois avec potentiel est un couple (Q, W) form´e d’un carquois fini, connexe, et sans boucle et d’un potentiel W n’admettant pas de chemins cycliques cycliquement ´equivalents.

Un carquois avec potentiel est donc un carquois dans lequel les relations sont encodées dans un potentiel. Dans ce potentiel nous considérons tous les cycles simples ou minimaux, c’est-à-dire chaque cycle passe par le même sommet exactement une fois.

D´efinition 3.1.5 Un carquois avec potentiel (Q, W) ou simplement un potentiel W est dit trivial s’il est homogène de degré 2, c’est-à-dire, s’il est constitué uniquement de 2-cycles et est dit réduit s’il n’admet pas de 2-cycles.

Soit (Q, W) un carquois avec potentiel. Soit I l’id´eal engendré par les flèches de l’al- g`ebre de chemins kQ, on d´efinit l’idéal Itriv engendré par les flèches apparues dans les

2-cycles du potentiel et Ired = I/Itriv et on note Qtriv un carquois dont les fl`eches en-

gendrent Itriv et Qred un carquois dont les fl`eches engendrent l’id´eal Ired. Soit k un somme

de Q. On suppose que k n’appartient `a aucun 2-cycle et que W n’admet pas de cycle com- men¸cant et terminant par k (sinon on le remplace par le potentiel cycliquement ´equivalent ne l’ayant pas)

D´efinition 3.1.6 La mutation de (Q, W) au sommet k est le nouveau carquois avec po- tentiel, not´e (Q, W) = ( ˜Qred, ˜Wred), obtenu `a partir de ( ˜Q, ˜W) comme suit.

1. Pour le carquois ˜Q :

- Pour tout chemin i α //k β //j de longueur 2 passant par k, on ajoute une nou- velle fl`eche not´ee i [αβ] //j ;

- On change le sens de toutes les fl`eches α incidentes `a k et on les note α∗. 2. Pour le potentiel ˜W :

- On substitue dans W tout facteur de chemin de longueur 2 de la forme i α //k β //j par la nouvelle fl`eche [αβ] et on note [W] ;

- Pour chaque nouvelle fl`eche [αβ], on ajoute un nouveau cycle not´e [αβ]α∗β∗. Le potentiel ˜W s’´ecrit alors

W = [W] + ∆k, où ∆k =

s(β)=t(α)=k

Exemple 3.1.2 Soit Q le carquois lin´eaire de type ˜_A4 qui suit 1 a //2 b 4 d OO 3 c oo .

Soit W = abcd un potentiel de Q. On note que tous les sommets de Q sont admissibles `

a une mutation pour le carquois avec potentiel (Q, W), sauf le sommet 1. Ceci parce que le cycle du potentiel commence ou termine par 1. La mutation effectu´ee au sommet 3 correspond au carquois avec potentiel (Q, W) qui suit

1 a //2 [bc] 4 d OO c∗ //3 b∗ OO W = a[bc]d + [bc]c∗b∗

Toutefois, si on veut effectuer une mutation sur un tel sommet, par exemple ici le sommet 2 du carquois avec potentiel (Q, W), il faut remplacer W par un potentiel cycliquement ´

equivalent, soit W0 = a[bc]d + c∗b∗[bc]. On pose e = c∗, f = b∗ et g = [bc]. La mutation au sommet 2 donne le carquois avec potentiel ( ˜Q0_{, ˜}_W0_{) d´}_{efini comme suit}

1 [ag] 2 a∗ oo f∗ 4 d OO g∗ ?? e∗ //3 [ef ] oo ˜

Le carquois ˜Q0 _{est non r´}_{eduit. Sa version r´}_{eduite correspond au carquois} 1oo a∗ 2 f∗ 4 g∗ ?? 3 , o`u W0 _{= ˜}_W0 red = 0.

Les relations encodées dans W sont définies par l’idéal bilatère engendré par les déri- vations cycliques, noté h∂aW i. Posons J (W ) = hh∂aW | a ∈ Q1ii sa clôture. Ces relations définissent une algèbre dite algèbre jacobienne, not´ee P(Q, W).

D´efinition 3.1.7 [DWZ08] L’alg`ebre jacobienne de (Q, W) est le quotient de l’alg`ebre de chemins compl`ete sur (Q, W) par l’id´eal jacobien J (W ), c’est-`a-dire

P(Q, W) = KhhQii/J (W) .

Une généralisation de cette algèbre a été définie par Buan-Iyama-Reiten-Smith en gelant une partie de celle-ci. Cette nouvelle algèbre, appelée algèbre jacobienne gelée, est définie naturellement à partir d’un carquois dit carquois à potentiel gelé.

Définition 3.1.8 [BIRS11] Un carquois à potentiel gel´e est un triplet (Q, W, F ), o`u (Q, W) carquois avec potentiel et F est un sous-ensemble de Q0 dont les éléments sont appelés sommets gelés. L’algèbre jacobienne gelée, not´ee Γ = P(Q, W, F ), est le quotient de l’algèbre de chemins compl`ete sur (Q, W, F ) par l’id´eal bilat`ere J (W, F ) :

P(Q, W, F ) = KhhQii/J (W, F ), o`u

3.2 Construction de l’alg`ebre Jacobienne gel´ee pro-

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