Soit Q est un carquois acyclique. Nous pr´esentons la cat´egorie amass´ee introduite par Buan-Marsh-Reineke-Reiten-Todorov [BMR+06]. Cette cat´egorie a ´et´e construite `a partir
d’une alg`ebre de chemins h´er´editaire H = kQ. Le but ´etait de trouver des concepts si- milaires `a ceux d’amas, de variables amass´ees, de graines et de mutation (dans AQ) dans
une cat´egorie ayant des propri´et´es additionnelles pour mieux comprendre leur combina- toire. Iyama-Yoshino [IY08] ont montr´e en particulier que dans une cat´egorie triangul´ee ayant les propri´et´es de 2-Calabi-Yau et de l’existence d’objets inclinants amass´es T , il existe une mutation. Cette mutation est un concept essentiel `a la cat´egorification. L’en- semble form´e d’objets inclinants amass´es dans ladite cat´egorie correspond bijectivement `
a l’ensemble form´e des amas dans AQ [BMR+06] [CK06]. Le choix d’une cat´egorie per-
mettant la cat´egorification de AQ peut se faire `a partir de la cat´egorie des H-modules de
type fini modH. Soit n le nombre de sommets du carquois Q. Un H-module de la forme T = T1⊕ T2⊕ ... ⊕ Tn est dit inclinant si les Ti sont des objets ind´ecomposables, Ti Tj
pour i 6= j, et Ext1H(T, T ) = 0. Toutefois, dans modH, la compatibilit´e des H-modules Ti
avec la relation d’´echange des variables amass´ees dans AQ n’est pas toujours satisfaite.
Autrement dit, il peut arriver, pour un certain i, qu’il n’existe aucun H-module Ti∗ Ti
tel que T /Ti⊕ Ti∗ soit inclinant, o`u T /Ti = ⊕j6=iTj est un module inclinant presque com-
plet, voir [BMR+06]. L’id´ee est donc d’agrandir la cat´egorie modH pour la rendre plus
susceptible de trouver un certain Ti∗. Cet agrandissement se fait en pratique en consid´e- rant une cat´egorie beaucoup plus large que modH et le contenant, `a savoir sa cat´egorie d´eriv´ee born´ee, not´ee Db(H), et ensuite prendre sa cat´egorie d’orbites sous l’action d’un groupe cyclique appropri´e pour diminuer la taille, d’o`u la cat´egorie amass´ee.
Nous supposons connues les notions de cat´egorie, cat´egorie additive, et foncteur. Pour plus de d´etails sur ces notions, nous referons le lecteur `a [Ass97]
1.3.1
Cat´egories triangul´ees
´
Etant donn´e une cat´egorie C et un foncteur Σ : C −→ C, nous appelons Σ-suite une suite de morphismes de la forme X u //Y v //Z w //Σ(X) . Une cat´egorie suspendue est une cat´egorie additive C munie d’un foncteur additive Σ associant `a tout objet X ∈ C sa suspension Σ(X) ∈ C, ainsi qu’une classe de Σ-suites appel´ees triangles soumises aux axiomes, dits de Verdier, suivants :
(1) Toute Σ-suite isomorphe `a un triangle est un triangle ; (2) Pour tout X ∈ C, 0 //X 1 //X //0 est un triangle ;
(3) Si X u //Y v //Z w //Σ(X) est un triangle, Y v //Z w //Σ(X) −Σu//Σ(Y ) en est un ;
(4) ´Etant donn´e deux triangles X u //Y v //Z w //Σ(X) et X0 u0 //Y0 v0 //Z0 w0//Σ(X0) et deux morphismes X a //X0 et Y b //Y0 tels que u0a = bu, il y a un mor-
phisme Z c //Z0 tel que v0b = cv et (Σa)w = w0c ;
(5) ´Etant donn´e deux morphismes X u //X0 , Y v //Y0, il existe un diagramme commutatif dont les deux premi`eres lignes et colonnes sont des triangles
X u //Y v i // Z0 //Σ(X) X //Z //Y0 //Σ(X) Σ(u) X0 j X0 j // Σ(Y ) Σ(Y ) Σ(i) //Σ(Z0) (1.3.1)
D´efinition 1.3.1 Une cat´egorie triangul´ee est par d´efinition une cat´egorie suspendue o`u Σ est un isomorphisme.
Soit k un corps alg´ebriquement clos et C une cat´egorie k-lin´eaire. Un foncteur k-lin´eaire S est dit foncteur de Serre `a droite , respectivement `a gauche, s’il existe des isomorphismes Homk(X, Y ) ∼= DHomk(Y, SX), (1.3.2)
Homk(X, Y ) ∼= DHomk(SY, X) (1.3.3)
bifonctoriels pour tous X, Y de C, respectivement, o`u D = Homk(−, k) est le foncteur
dualit´e des k-espaces vectoriels. La notion de foncteur de Serre `a droite et celle de foncteur de Serre `a gauche a ´et´e d´efinie pour la premi`ere fois par Bondal-Kapranov [BK89]. Un foncteur de Serre est un foncteur de Serre `a droite et `a gauche. Soit d ∈ N. Une cat´egorie triangul´ee est dite d-Calabi-Yau si d est le plus petit entier sup´erieur `a 1 tel que Σd est aussi un foncteur de Serre.
D´efinition 1.3.2 Soit k un corps alg´ebriquement clos et C une cat´egorie k-lin´eaire trian- gul´ee munie d’un foncteur de Serre S. La cat´egorie d’orbites de C par S est la cat´egorie quotient C/S dont les objets sont les S-orbites eX = (SiM )i∈Z de X, les morphismes sont donn´es par la d´efinition HomC/S( eX, eY ) = ⊕i∈ZHomC(X, SiY )
En g´en´eral, la cat´egorie d’orbites d’une cat´egorie triangul´ee n’est pas n´ecessairement triangul´ee.
1.3.2
Cat´egorie d´eriv´ee born´ee
Soit A une cat´egorie ab´elienne. On peut associer `a A sa cat´egorie d´eriv´ee born´ee Db(A), voir [GM96]. La construction de Db(A), originellement introduite par Verdier dans
sa th`ese [Ver96] et reprise par Grothendieck, voir [Del77], commence avec la cat´egorie des complexes born´es de A, not´ee Compb(A). Un objet de Compb(A) est un complexe born´e d´efini par une suite X = (Xn, dn
dnX : Xn −→ Xn+1, o`u Xn est nul presque partout sauf pour un nombre fini d’entiers,
v´erifiant la condition dn+1X dn
X = 0, pour tout n ∈ Z. Un morphisme de complexes de
X vers Y est une suite de morphismes (fn)∈Z, d´efinie par fn : Xn −→ Yn tels que
dn
Yfn = fn+1dnX, pour tout n ∈ Z. Ensuite, on modifie les morphismes de Comp b
(A) en les regroupant en classes d’homotopies afin de d´efinir la cat´egorie d’homotopie des complexes, not´ee Kb(A). Deux morphismes de complexes f et g de X vers Y sont dits
homotopes s’il existe une famille de morphismes (hn)∈Z tels que fn−gn = hn+1dn X−d
n−1
Y h
n,
pour tout n ∈ Z. Les objets de Kb(A) sont les mˆemes que ceux de Compb
(A) et ses morphismes sont les classes d’homotopie de morphismes de Compb(A). La cat´egorie Kb(A) ainsi d´efinie est une cat´egorie triangul´ee [GM96]. Puis, on utilise les quasi-isomorphismes dans Compb(A) pour localiser la cat´egorie Kb(A) afin de d´efinir la cat´egorie Db(A). La localisation de Kb(A) se fait par rapport au syst`eme multiplicatif des quasi-isomorphismes.
Soit X un complexe et Hn(X) = Ker(dnX)/Im(dn−1X ) son ne groupe de cohomologie. Un morphisme de complexes f : X −→ Y est un quasi-isomorphisme si les morphismes Hn(f ) : Hn(X) −→ Hn(Y ), induits en cohomologie, sont des isomorphismes, pour tout n ∈ Z. Enfin, on obtient la cat´egorie d´eriv´ee born´ee Db(A) d’une cat´egorie ab´elienne
A, `a partir de Kb(A), en ajoutant formellement les inverses des quasi-isomorphismes. Cette cat´egorie Db(A) ainsi construite a les mˆemes objets que Kb(A) mais davantage de
morphismes et moins d’isoclasses d’objets, car cet ajout rend isomorphes des complexes qui n’´etaient pas homotopiquement ´equivalents. La cat´egorie Db(A) ainsi d´efinie est aussi
triangul´ee. Son foncteur de suspension est induit par le foncteur de d´ecalage [1], d´efini sur les objets X = (Xn, dn
X)n∈Zpar X[1] = (Xn+1, dn+1X )n∈Z et sur les morphismes f = (fn)n∈Z
par f [1] = (fn+1)n∈Z.
En g´en´eral, la structure de Db(A) est tr`es difficile `a d´ecrire. En effet, un morphisme
de Db(A) peut ˆetre repr´esent´e par une paire de morphismes Xoo s L f //Y , o`u s est un quasi-isomorphisme. Toutefois, si A est h´er´editaire, Db(A) devient plus facile `a
comprendre. Dans ce cas, chaque objet ind´ecomposable X de Db(A) est isomorphe [Hap88] `
A-module ind´ecomposable avec Xn = 0, pour n 6= i, et dn
X = 0, pour tout n ∈ Z. Donc
les objets de Db(A) sont donn´es par les complexes concentr´es X[i] et les morphismes par
l’isomorphisme HomDb(A)(X[i], Y [i]) ∼= Extj−iA (X, Y ), pour tout X, Y ∈ A et i, j ∈ Z. De
plus, si A est de dimension finie et admet des suites presque scind´ees, alors ces suites presque scind´ees induisent dans Db(A) des triangles presque scind´es. Dans ce cas, un objet ind´ecomposable de type fini M de A s’identifie au complexe concentr´e en degr´e z´ero M [0] = ... → 0 → M0 → 0 → ..., avec M0 = M.
Soit maintenant Q un carquois fini, connexe et acyclique et A = modH, o`u H = kQ. L’alg`ebre de chemin H est alors de dimension finie. La cat´egorie d´eriv´ee Db(H) est munie
d’un foncteur de translation d’Auslander-Reiten τD et le foncteur de d´ecalage [1]D est un automorphisme. La composition F = τD−1[1]D est donc un foncteur de Serre dans Db(H). Par cons´equent, on peut d´efinir la cat´egorie d’orbites de Db(H) par F comme suit.
D´efinition 1.3.3 Soit F = τD−1[1]D et H = kQ une alg`ebre h´er´editaire de dimension finie. La cat´egorie amass´ee associ´ee au carquois acyclique Q, not´ee CQ est la cat´egorie
d’orbites Db(H)/F du foncteur F dans Db(H).
La d´efinition de Db(H) induit la projection canonique π : Db(H) −→ C
Q qui associe
tout objet M de Db(H) son orbite fM sous l’action de F = τD−1[1]D.
Remarque 1.3.1 La cat´egorie d´eriv´ee Db(H) admet une dualit´e de Serre, c’est-`a-dire, Hom(M, N [1]) ∼= DHom(N, τ M )
Remarque 1.3.2 La cat´egorie d´eriv´ee Db(H) est triangul´ee, Hom-finie (les espaces de
morphismes sont de dimension finie sur k) et de Krull-Schmidt, c’est-`a-dire une cat´egorie k-lin´eaire dans laquelle tout objet X se d´ecompose de fa¸con unique en une somme directe finie d’objets ind´ecomposables, `a isomorphisme pr`es. Il en est de mˆeme pour CQ. Ce pre-
mier r´esultat est de Keller et est ´enonc´e en toute g´en´eralit´e dans [Kel05]. Le second est de Buan, M arsh, Reineke, Reiten, et T odorov dans [BMR+06]. De plus, si Q est de type
classes d’isomorphismes de modules ind´ecomposables. De mani`ere formelle ces r´esultats sont ´enonc´es comme suit.
Th´eor`eme 1.3.1 [Kel05] La cat´egorie amass´ee CQ, associ´ee `a un carquois fini, connexe
et acyclique, poss`ede une structure triangul´ee telle que le foncteur de projection π : Db(H) −→ C
Q est triangul´e.
Soit ind(H) un ensemble d’isoclasses des H-modules ind´ecomposables.
Th´eor`eme 1.3.2 [BMR+06] Soit Q un bon carquois acyclique et Pi le H-module in-
d´ecomposable projectif correspondant au sommet i. La cat´egorie amass´ee CQ est Hom-
finie, de Krull Schmidt et l’ensemble des objets de CQ donn´e par ind(CQ) = { eM|M ∈
ind(H)} ∪ { ePi[1], i ∈ Q0}
Remarque 1.3.3 1. Les foncteurs de d´ecalage et de translation dans C = CQ, [1]C et τC sont induits par ceux dans Db(H). Donc, on a τCM = ]f τDM et ^M[1]D = fM [1]C. 2. [1]C = τC. En effet, τCM = ]f τDM = ^τDFM = ^M[1]D = fM [1]C
3. CQadmet une dualit´e de Serre : Ext1C( fM , eN ) ∼= DHomC( eN , τ fM ). En effet, Ext1C( fM , eN )
def
= HomC( fM , eN [1]) = ⊕HomD( fM , FiN [1]) et DHome C( eN , τ fM ) = HomD(FiN , τ fe M ). Le r´esultat suit de la dualit´e de Serre dans D
4. CQ est 2-Calabi Yau : Ext1C( fM , eN ) ∼= DExt1C( eN , fM ).