De la même manière que pour l’adhérence et l’intérieur, les résultats fournis par ces diffé-rentes fonctions sont interprétables en termes des relations qui sont à la base de la définition de l’espace prétopologique, donc en termes de réseau social.
Ainsi donc, la prétopologie se révèle ainsi un outil tout à fait adapté à l’analyse « topolo-gique » des réseaux. Cependant, nous avons constaté qu’elle ne suffit pas pour prendre plei-nement en compte des phénomènes liés à la diffusion d’une épidémie au sein d’un réseau. En effet, de multiples facteurs peuvent influencer la structure même du réseau, facteurs qui ne sont pas nécessairement contrôlables. C’est le cas notamment des comportements des membres du réseau qui sont souvent non prédictibles et peuvent obéir à des logiques diverses et non connues de l’observateur. Ces logiques peuvent amener les membres du réseau à modifier leurs connec-tions avec d’autres membres, donc à modifier aléatoirement, pour l’observateur, la structure du réseau.
Face à cette interrogation, nous avons jugé nécessaire d’introduire un modèle stochastique au sein de la prétopologie, de manière à prendre en compte cette incertitude sur la structure du réseau pour proposer un modèle de réseau stochastique, généralisant le concept de graphes aléatoires.
Pour cela, nous proposons la prétopologie stochastique qui est fondée sur la prétopologie d’une part et sur des résultats connus relatifs aux ensembles aléatoires. Nous rappelons les élé-ments nécessaires sur les ensembles aléatoires dans le paragraphe suivant avant de développer notre modèle de prétopologie stochastique.
2.3 Éléments sur les ensembles aléatoires
Les ensembles aléatoires ont trouvé des applications très variées, tant dans le domaine des sciences dures avec la géomorphologie que dans le domaine des sciences humaines et sociales avec l’économie par exemple. En particulier, dans ce dernier domaine, les ensembles aléatoires ont été à la base des travaux de Gérard Debreu, prix Nobel d’économie en 1983.
2.3.1 Les ensembles aléatoires : définitions de mesurabilité
Leur définition, généralisation de la définition d’une variable aléatoire, utilise le concept de mesurabilité puisqu’un ensemble aléatoire est une correspondance mesurable. Sous certaines conditions, trois définitions de mesurabilité existent :
Définition 2.3.1 Considérons (Ω,A) un espace probabilisable et (E,T) un espace topolo-gique,Γ : Ω−−րցE est mesurable au sens I si et seulement si
∀F ∈ F(E),{ω ∈Ω/Γ(ω)∩F =∅} ∈ A
oùF(E)désigne la famille des fermés de(E,T).
Définition 2.3.2 Considérons (Ω,A) un espace probabilisable et (E,T) un espace topolo-gique,Γ : Ω−−րցE est mesurable au sens II si et seulement si
G(Γ)∈ AB(E)
oùG(Γ)désigne le graphe de la correspondanceΓ, c’est à dire
G(Γ) ={(ω, x)∈Ω×E/x∈Γ(ω)},
et oùB(E)désigne la famille des boréliens de(E,T).
Définition 2.3.3 Considérons (Ω,A) un espace probabilisable et (E,T) un espace topolo-gique,Γ : Ω−−րցE est mesurable au sens III si et seulement si
∀A∈ B(E),Γ−1(A)∈ A
oùΓ−1(A) ={ω ∈Ω/Γ(ω)∈A}
On peut établir un lien entre ces trois définitions dans le cas où l’espace probabilisé est com-plet et localement compact etE =Rn.
Propriété 2.3.1 Considérons(Ω,A, p)un espace probabilisé complet,Ωétant localement com-pact,Γ : Ω−−րցRn, les trois notions de mesurabilité définies précédemment sont équivalentes.
2.3.2 L’intégrabilité des ensembles aléatoires
Avec le résultat précédent, nous ne préciserons pas en quel sens une correspondance est mesurable et nous parlerons simplement d’ensembles aléatoires. Trois notions d’intégrabilité peuvent être proposées.
Intégrabilité au sens de Aumann
La première notion d’intégrabilité d’un ensemble aléatoire a été proposé par Robert J. Au-mann. Elle se fonde sur le concept de sélection intégrable.
Définition 2.3.4 Considérons(Ω,A, p)un espace probabilisé,Γ : Ω−−րցE. On dit qu’une ap-plicationf : Ω→E est une sélection deΓsi et seulement si :
∀ω ∈Ω, f(ω)∈Γ(ω)
Cette définition conduit à la suivante :
Définition 2.3.5 Considérons(Ω,A, p)un espace probabilisé, Γ : Ω−−րցE. On dit que Γest intégrable au sens de Aumann si et seulement siΓadmet une sélection intégrable. SiS(Γ) dé-signe l’ensemble des sélections intégrables deΓ, alors l’intégrale deΓau sens de Aumann est définie par
Γ ={ f /∀f ∈ S(Γ)}.
Intégrabilité au sens classique
Une deuxième définition s’appuie sur la notion d’ensemble aléatoireAsimple pour construire un concept d’intégrale de manière analogue à ce qui se fait pour les fonctions ordinaires.
Définition 2.3.6 Considérons(Ω,A, p)un espace probabilisé,Γ est un ensemble aléatoireA
simple si et seulement si
Γ = n i=1
(Ki∩IAi)
où∀i, i= 1, .., n Ki ∈ P(E)et oùIAi désigne l’ensemble indicateur deAi, c’est à dire :
IAi(ω) = Esiω∈Ai etIAi(ω) =∅siω /∈Ai.
L’intégrale d’un ensemble aléatoire A simple se définit alors comme suit en utilisant les opérations de Minkovski : Γ = n i=1 Kip(Ai)
Définition 2.3.7 Une suite d’ensembles aléatoires (Γn)n A simple est dite ∆-Cauchy si et seulement si
∀ǫ >0,∀η >0,∃n0,∀p,∀q(p > n0, q > n0 =⇒∆(Γp,Γp)< ǫ)
où∆(Γp,Γp) = Ωδ(Γp(ω),Γp(ω))p(dω)
etδdésigne la distance de Hausdorff.
Il est alors possible de définir l’intégrale d’un ensemble aléatoireΓde la manière suivante :
Définition 2.3.8 Considérons(Ω,A, p)un espace probabilisé, Γ : Ω−−րցE est intégrable au sens classique si et seulement si il existe une suite(Γn)n Asimple∆-Cauchy qui converge en probabilité versΓ. On pose alors
Γ =limn→∞
Γn
Intégrabilité au sens de Debreu
Enfin, un cas particulier important a été étudié par Gérard Debreu. Il s’agit du cas où un ensemble aléatoire est à valeurs compactes convexes non vides deRn.
Définition 2.3.9 Considérons(Ω,A, p)un espace probabilisé,Γ : Ω−−րցRn, à valeurs com-pactes convexes non vides. On dit queΓest intégrable au sens de Debreu si et seulement si il existe une suite(Γn)nAsimple∆-Cauchy à valeurs compactes convexes non vides qui converge en probabilité versΓ. On pose alors
Γ =limn→∞
Γn
2.4 Le modèle de la prétopologie stochastique
Le modèle de la prétopologie stochastique se fonde simultanément sur les concepts de la prétopologie et ceux relatifs aux ensembles aléatoires. Il sera développé dans le cadre de la donnée initiale d’une famille de relations binaires réflexives définie sur un ensemble fini E. Il peut être défini dans d’autres cadres [32, 33, 43, 152], mais nous nous limiterons à la présenta-tion proposée compte tenu du domaine d’applicaprésenta-tion.
2.4.1 Définition de la prétopologie stochastique
Dans toute la suite, nous considérons un espace probabilisé(Ω,A, p), un ensembleE non vide de cardinal finin. Pour tout i = 1, ..., p, pour tout ω ∈ Ω,Ri(ω)désigne une relation bi-naire réflexive définie surE.R(E)désigne l’ensemble de toutes les relations binaires définies surE.
Tout élémentRi(ω)deR(E)est caractérisé par la correspondance suivante :
Γi(ω, x) ={y ∈E/xRi(ω)y}
Eest muni de la topologie discrèteTd.
Par conséquent,∀x,Γ(., x)est un ensemble aléatoire si et seulement si :
∀F ∈ F(E),{ω ∈Ω/Γ(ω)∩F =∅} ∈ A
Dans notre cas,E étant de cardinal fini, cette condition se réduit à :
∀F ∈ P(E),{ω ∈Ω/Γ(ω)∩F =∅} ∈ A
Dans la suite de cette partie, nous supposons queΓ(., x)est un ensemble aléatoire pour tout
x∈E.
Exemple 2.4.1 Considérons les relations binaires dont les graphes sont illustrés par les figures 2.14, 2.15, 2.16 et 2.17. Chacune de ces relations correspond à un évènement aléatoireωi de probabilitépi.