Expression du modèle direct perturbé par une erreur de modèle

˜g − g | 2 ∆ g = γ

Figure 5.5 – Estimation de l’erreur de modèle en fonction du nombre d’itérations pour un tirage

(RMB=12dB, RSB = 20dB, γ² = 5e⁻² ).

sera en mesure de proposer une combinaison en accord avec ces priors.

Dans le cas pratique, une première idée est de borner la valeur possible de l’erreur de modèle. Le critère d’arrêt de l’algorithme itératif est alors défini par la contrainte ∣∆g∣ ≤ γ². Ce choix ne garantit pas un arrêt du processus itératif avant la divergence de l’algorithme. En effet, comme l’erreur de modèle suit une loi gaussienne, certains échantillons génèreront une erreur plus petite que la variance a priori γ². C’est cette contrainte qui a été appliquée pour l’obtention des résultats proposés dans cette section. Les premiers résultats obtenus en figure 5.3 montrent que, moyenné sur plusieurs tirages, ce critère d’arrêt permet d’améliorer l’estimation de l’amplitude complexe de la source.

5.3 Correction de l’erreur de modèle appliquée à l’imagerie

acoustique

5.3.1 Expression du modèle direct perturbé par une erreur de modèle

Afin d’appliquer l’approche validée sur un cas 1D au problème d’imagerie acoustique, le problème direct exprimé en équation 4.1s’exprime, en écriture matricielle :

p = G(r^a; r^s)q + ∆_G(r^a; r^s)q + b, (5.17)

avec ∆_G(r^a; r^s)une matrice de taille M × N représentant l’erreur de modèle introduite dans le cas multidimensionnel. En projetant l’erreur de modèle sur les matrices singulières U et V obtenues par décomposition en valeurs singulières de l’opérateur G(r^a; r^s) blanchi par la matrice de covariance du bruit de mesure et des sources (équation 4.16), le problème réduit

66 Chapitre 5. Prise en compte des erreurs de modèle par approche bayésienne

de l’équation4.21 s’écrit :

y = ˜Sc + Ec + ν, (5.18)

avec E = U^H∆_G(r^a; r^s)V une matrice carrée de taille M × M pleine de structure quelconque représentant l’erreur de modèle dans le domaine réduit et ˜S une matrice diagonale correspon-dant aux valeurs singulières du modèle approché. La décomposition en valeurs singulières du modèle s’écrit :

Ω−1/2

b G(r^a; r^s)Ω1/2

q =USV^H = ˜U(˜S + E) ˜V^H. (5.19) Dans cette partie, nous considérons que Ω_b =I_M×M et que Ω_q=I_N×N. En plus des coefficients des M fonctions de bases c, la résolution du système de l’équation 5.18requiert une estima-tion des M² éléments de la matrice E. Une étude numérique a été menée afin d’examiner la structure de cette matrice en fonction du type d’erreur de modèle appliqué.

La configuration géométrique de cette étude est présentée en figure5.6. Une antenne cir-culaire d’un rayon externe de 0.25m et composée de 54 microphones répartis aléatoirement est choisie. Le plan de calcul, situé à une distance ∆z = 0.3m est régulier et est discrétisé par un pas de 0.04m. Il couvre une surface totale de 0.5 × 0.5m². La fréquence d’étude est de 3000Hz.

Figure 5.6 – Configuration de l’étude numérique

Un modèle de distribution de sources monopolaires est considéré sur le plan de calcul. Une réflexion sur le sol est modélisée selon un modèle de source-image. La fonction de propagation s’écrit : G(r^a; r^s) =iωρ^e ikrd 4πr_d^{(1 + R} r_d r_r^e ik(rr−r_d) ) (5.20)

5.3. Correction de l’erreur de modèle appliquée à l’imagerie acoustique 67

avec r_d = ∣r^a−r^s∣ la distance directe entre un point de calcul et un point de mesure, r_r la distance du chemin des ondes réfléchie sur le sol d’un point de calcul à un point de mesure, et R = 1 le coefficient de réflexion de la paroi. Ce modèle de propagation a été perturbé et des erreurs de modèle réalistes rencontrées en imagerie acoustique ont été successivement appliquées :

— une erreur de 4m.s−1 _{sur la célérité ;}

— une erreur de 2cm sur la position d’un microphone ;

— une erreur aléatoire suivant une loi normale centrée réduite sur la position de tous les microphones ;

— une erreur de 0.1 kg.m − 3 sur la masse volumique de l’air ;

— une erreur d’estimation de la réflexion (R=0) : la réflexion des ondes sur le sol n’est pas prise en compte.

La structure de l’erreur de modèle E est présentée en figure5.7pour ces cinq perturbations.

(a) 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 ² 4 6 8 10 x 10⁴ (b) 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 2000 4000 6000 8000 (c) 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 ² 4 6 8 10 12 x 10⁴ (d) 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 ²⁰⁰⁰ 4000 6000 8000 10000 12000 (e) 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 ² 4 6 8 10 x 10⁴

Figure 5.7 – Éléments de la matrice E pour plusieurs types d’erreur : une erreur de 4m.s⁻¹ sur

la célérité (a), une erreur de 2cm sur la position d’un microphone (b), une erreur aléatoire (erreur suivant une loi normale centrée réduite) sur la position des microphones (c), une erreur de 0.1 kg.m⁻³ sur la masse volumique de l’air (d) et une erreur telle que la réflexion n’est pas prise en compte (e).

Il est remarquable que les erreurs de modèle examinées se répercutent principalement sur la diagonale de la matrice E. L’erreur sur la masse volumique de l’air génère une matrice purement diagonale puisque sa perturbation impacte la matrice de propagation de manière commune à tous les éléments de la matrice. L’erreur sur la célérité n’a pas une incidence aussi linéaire que la masse volumique puisqu’elle intervient dans les fonctions exponentielles du modèle de propagation. Cependant, la structure de la matrice générée est à forte domi-nance diagonale. Une erreur de positionnement d’un unique microphone dégrade quant à elle toute la matrice. Il est à noter que cette erreur produit une faible amplitude sur la matrice

68 Chapitre 5. Prise en compte des erreurs de modèle par approche bayésienne

E comparée aux autres erreurs de modèle. Une erreur stochastique appliquée sur la position de tous les microphones engendre elle aussi une matrice diagonale. Finalement, le fait de ne pas prendre en compte la réflexion sur le sol impacte principalement les valeurs singulières les plus fortes. La structure de cette dernière matrice est très sensible à la configuration géomé-trique choisie (hauteur du sol, distance source-microphone) et à la fréquence d’étude. Selon ces paramètres, la matrice E peut devenir pleine.

Au vu de cette étude sur la structure de l’erreur de modèle, la matrice E sera dorénavant considérée comme diagonale. Cette hypothèse forte a pour conséquence :

— de rendre indépendantes les K équations du problème réduit de l’équation 5.18. Un problème 1D comparable à celui étudiée en partie 5.2 sera donc à traiter pour chaque composante ;

— de considérer que les matrices singulières sont invariantes vis-à-vis des erreurs de mo-dèle : ˜U = U et ˜V = V.

Finalement, l’erreur de modèle est modélisée par une densité de probabilité gaussienne pour les mêmes raisons que précédemment :

[E∣γ²] = N (0, γ²Ω_e), (5.21)

avec Ω_e une matrice de structure connue telle que trace(Ω_e) = K, avec γ² la puissance inconnue de l’erreur de modèle. Dans les hypothèses formulées, cette matrice a une structure diagonale.