Directivité des sources identifiées

avec  = 1e−2_{. De plus, un nombre maximal de 10 itérations est fixé dans le cas où le critère} d’arrêt n’est pas atteint.

L’algorithme de cette méthode est résumé ci-dessous. Algorithme de focalisation itérative

1. Définir la fenêtre d’ouverture initiale Σ² [n=0]

s en utilisant des connaissances de l’expé-rimentateur ou le résultat d’une méthode de formation de voies ;

2. Tant que le critère d’arrêt n’est pas atteint

3. Résoudre le problème inverse en suivant l’algorithme présenté en partie 4.3 4. Mettre à jour la matrice des covariance des sources (équation 4.41)

5. Fin Tant que

4.4.2 Directivité des sources identifiées

Dans la méthode présentée en partie1.2.5, aucune contrainte sur la directivité des sources à reconstruire n’est imposée. La recherche d’une solution qui satisfait à la fois l’adéquation aux données et la minimisation de l’énergie de la source reconstruite entraîne naturellement la re-construction d’une directivité marquée des sources reconstruites vers l’antenne. Une contrainte doit donc être rajoutée pour forcer l’omnidirectionnalité des sources. L’objectif de cette partie est de retranscrire de manière formelle une connaissance a priori sur la directivité de la source acoustique. Il est proposé de construire des fonctions de base favorisant une directivité de source omnidirectionnelle et de donner à la matrice de covariance Ω_c une structure particu-lière qui prend en compte le caractère omnidirectionnel des sources.

Considérons une antenne de microphones virtuels positionnés aléatoirement autour de l’objet d’intérêt (figure4.3). La propriété de rayonnement omnidirectionnel de l’objet implique que l’énergie mesurée est constante quelle que soit la position du microphone :

E{∣ptest(r^test)∣2 } =

Π

48

Chapitre 4. Approche bayésienne pour la résolution du problème inverse acoustique avec Π une constante inconnue a priori représentant la puissance constante de la source et r la distance séparant le microphone virtuel¹ et la position centrale de l’endroit où la directivité est forcée. La définition de la position du centre du rayonnement est un des paramètres d’entrée de la méthode. Le choix de sa position est une problématique traitée par Natarajan et Wu [42] dans le cas du choix de la position du centre des harmoniques sphériques. Dans le cas où une seule source monopolaire est présente, cette position peut être choisie comme le centre de cette source. En pratique, le champ acoustique généré par un objet présente plusieurs composantes acoustiques réparties sur le maillage surfacique. Il serait donc judicieux de supposer un rayonnement omnidirectionnel de la structure totale. Dans ce cas, la position de ce centre sera choisie comme le barycentre de l’objet (schématisée par une croix bleue en figure4.3).

Figure 4.3 – Schéma de la configuration géométrique utilisée permettant de forcer un a priori de

rayonnement omnidirectionnel autour de l’objet d’intérêt. Les points rouges, la croix bleue et les croix noires représentent successivement la position des microphones de l’antenne réelle, le centre géomé-trique de l’objet et les microphones virtuels.

En remplaçant le champ de pression par l’expression de la propagation directe de l’équation 4.4, l’équation 4.43 devient :

E{h(r^test)cc^Hh^H(r^test)} = Π

∣∣rtest_∣∣2, (4.44)

1. La division par la distance au carré modélise la perte d’énergie associée à la propagation en ondes sphériques.

4.4. Modélisation du prior sur les sources 49

avec E{cc^H} =Ω_cde taille K ×K, et h(r^test)un vecteur de taille 1×K modélisant le transfert entre les K coefficients de base et le microphone virtuel. Selon l’équation 4.5, cette matrice de propagation est construite à partir des fonctions de base de taille N × K et du vecteur des fonctions de transfert g(r^test, r^S)de taille 1 × N entre le microphone virtuel et les points de calcul de l’objet d’intérêt. Le choix des fonctions de base s’avère primordial pour pouvoir forcer la directivité des sources. Il est possible d’utiliser la fonction de base initiale Φ_ini calcu-lée en équation4.40en considérant la position de l’antenne réelle (représentée par des points rouges sur la figure 4.3). Dans ce cas, les opérations de transformation de ces fonctions de base vers une base forçant le rayonnement omnidirectionnel (les harmoniques sphériques par exemple) seront très limitées. Nous proposons donc de construire des fonctions de base Φ_test à partir d’un nombre important de microphones virtuels positionnés de manière aléatoire au-tour de l’objet (représentée par des croix noires). Les dimensions de la base seront alors très grandes et la définition d’a priori sur le rayonnement des sources sera facilitée. Une fois que les fonctions de base omnidirectionnelles sont construites, leurs dimensions sont réduites aux dimensions du nombre de microphones.

La matrice de covariance des coefficients des fonctions de base qui satisfait la contrainte de l’équation4.44 est estimée par minimisation de la fonction coût :

J = Ntest ∑ i=1 ∣ Π ∣∣rtest i ^∣∣2 −h(r_i^test)Ω_ch^H(r^test_i )∣ 2 (4.45)

pour plusieurs positions N_test de microphones virtuels. Après quelques manipulations algé-briques détaillées en annexeB, la matrice de covariance des coefficients de base s’écrit :

˜ Ω_c=ivec^⎛ ⎝ [∑ i (h^T(r_i^test)h∗

(r_i^test)) ⊗ (h^H(r^test_i )h(r_i^test))] −1 Ntest ∑ i=1 1 ∣∣rtest i ^∣∣2 (h^T(r_i^test)h^H(r_i^test)) ⎞ ⎠ , (4.46) avec ivec l’opérateur inverse de vectorisation et l’opérateur ⊗ le produit de Kronecker. Fina-lement, les fonctions de bases favorisant le rayonnement omnidirectionnel s’écrivent :

˜

Φ = ˜Ω1/2

c Φ_test, (4.47)

avec Φ_test les fonctions de bases construites à partir des microphones virtuels. Ces nouvelles fonctions de base, de taille N × K, sont finalement tronquées aux dimensions de l’antenne. Pour résumer l’approche, l’algorithme permettant le calcul de ces fonctions de base est décrit ci-dessous.

Algorithme pour la construction des fonctions de base omnidirectionnelles :

50

Chapitre 4. Approche bayésienne pour la résolution du problème inverse acoustique centre géométrique de l’objet ;

2. Calculer les fonctions de bases entre ces microphones et les points de calcul de l’objet en utilisant la décomposition en valeurs singulières des fonctions de transfert entre ces microphones et le centre géométrique de l’objet ;

3. Calculer la matrice de covariance a priori des coefficients des fonctions de base par l’équation 4.46;

4. En déduire les fonctions de base favorisant le rayonnement omnidirectionnel (équation