Expression g´en´erale de l’erreur





R2( ˆσh) = _h¹

e(f−σˆhn) sur ∂Ωe∩ΓF

ou R2( ˆσh) = maxs∈∂Ωesup_{s 2h}¹

e[ ˆσhn] sur ∂Ωe

(II.10)

R₃( ˆσ_h) = |²_Nu_N −σˆ_{N h}| sur ∂Ω_e∩Γ_C (II.11) o`u F repr´esente les efforts volumiques dans Ω, f les efforts impos´es sur ΓF, he la taille caract´eristique d’un ´el´ement, [ ˆσhn] le saut de vecteur contrainte entre ´el´ements, ²N le pa-ram`etre de r´egularisation normal, uN le d´eplacement normal et ˆσN h l’effort normal calcul´e par projection de la contrainte ˆσh sur la zone de contact.

Le premier r´esidu mesure la non v´erification de l’´equation d’´equilibre locale, le second r´esidu mesure la non v´erification des conditions limites impos´ees en efforts et la disconti-nuit´e de la contrainte aux fronti`eres entre ´el´ements, le troisi`eme r´esidu mesure l’´ecart entre effort normal calcul´e par la relation de p´enalisation et par projection de la contrainte.

Disposant de r´esultats de convergence pour le probl`eme de contact p´enalis´e obtenus par Kikuchi et Oden [KO88], ce troisi`eme r´esidu permet d’ajuster le param`etre de p´enalisation normal de mani`ere `a diminuer l’erreur.

Remarque. — d´etermination des constantes Ck

L’inconv´enient majeur de ce type d’approche est l’introduction des constantes not´eesCkdans II.7 qui sont a priori inconnues. La d´etermination de ces constantes peut toutefois se faire lors d’un processus de raffinement de maillage en utilisant les r´esultats du dernier maillage g´en´er´e.

II.4 Estimateurs d’erreur bas´ es sur la dualit´ e

II.4.1 Expression g´ en´ erale de l’erreur

Cette famille d’estimateurs est bas´ee sur les notions de bornes de l’´energie de d´eformation introduites par Fraeijs de Veubeke [Fra01] puis ´etendues par Debongnie et al. dans [DZB95]

aux probl`emes `a conditions aux limites quelconques. Le principe est d’utiliser une solution approch´ee cin´ematiquement admissible uh et une solution approch´ee statiquement admis-sible σh pour le calcul d’une borne sup´erieure de l’erreur.

Nous pr´esentons ici l’estimateur d’erreur d´evelopp´e pour le probl`eme de m´ecanique ´elasto-statique avec contact unilat´eral et frottement, puis analysons les diff´erents cas d´erivables `a partir de cet estimateur.

Dans ce cadre, l’´energie de d´eformationU d’un solide ´elastique s’´ecrit : U = 1

2 Z

Ω

σεdΩ (II.12)

et peut ˆetre d´ecompos´ee en deux parties : Z

Une partie calcul´ee via le champ cin´ematiquement admissible uexact et une partie calcul´ee via le champ statiquement admissible σ exact.

Cette mˆeme ´energie peut ´egalement ˆetre d´ecompos´ee via la formule de Green : Z qui peut se r´e´ecrire

E_p^∗(u) +E_c^∗(σ) = Z

ΓC

(σn)u dΓ (II.16)

On notera que les ´energies E_p^∗(u) et E_c^∗(σ) correspondent respectivement aux ´energies po-tentielle et compl´ementaire dans lesquelles les termes dˆus au contact ont ´et´e retir´es.

Comme ´evoqu´e pr´ec´edemment, le principe de ces estimateurs est de relier les erreurs relatives aux solutions approch´ees cin´ematiquement et statiquement admissibles par l’in-term´ediaire de la relation fondamentale II.16.

II.4.1.1 Erreur en d´eplacement

L’erreur en d´eplacement ∆u est d´efinie comme la diff´erence entre le champ discret et le champ exact : ∆u=uh−u. L’´energie E_p^∗(u) a ´et´e d´efinie comme :

De mani`ere `a exprimer une norme de l’erreur, on ´evalue E_p^∗(uh) : La formulation primale du probl`eme de contact avec frottement peut s’´ecrire :

Z Il faut alors queu_h ∈K_C pour pouvoir ´evaluer les trois derniers termes de II.18, soit :

Z Nous d´efinissons la norme ´energ´etique de l’erreur en d´eplacement par :

||∆u||² = Z

Ω

ε(∆u)Kε(∆u)dΩ (II.21)

que l’on retrouve dans II.18, l’´equation II.20 se r´e´ecrit donc : 1

2||∆u||² =E_p^∗(uh)−E_p^∗(u)− Z

ΓC

(σn)∆u dΓ (II.22)

II.4.1.2 Erreur en contrainte

L’erreur en contrainte est d´efinie comme la diff´erence entre champ discret et champ exact :

∆σ=σh−σ. L’´energie E_c^∗(σ) a ´et´e d´efinie par :

on peut alors calculer E_c^∗(σ_h) =E_c^∗(σ) + 1 La formulation duale du probl`eme de contact avec frottement nous donne :

Z De la mˆeme mani`ere que pour la discr´etisation des d´eplacements, le champ discret doit v´erifier σh ∈Σ(σ) pour pouvoir ´ecrire :

Comme pr´ec´edemment, on introduit la norme ´energ´etique de l’erreur en contrainte :

||∆σ||² = Z

Ω

∆σS∆σ dΩ (II.27)

qui peut ˆetre calcul´ee `a partir de II.24 et II.26 : 1

2||∆σ||² =E_c^∗(σh)−E_c^∗(σ)− Z

ΓC

u∆σn dΓ (II.28)

II.4.1.3 Erreur globale

La sommation des erreurs en d´eplacement et en contraintes s’´ecrit : 1 la relation II.16 permet alors de supprimer les ´energies li´ees aux solutions exactes uet σ de cette ´equation et d’obtenir :

1 L’erreur globale exacte (ou r´eelle) est alors d´efinie par :

er =h

||∆u||²Ω+||∆σ||²Ω

i¹₂

(II.31) qui est un majorant pour les erreurs en d´eplacement et en contraintes.

Dans le cas sans contact, l’erreur peut ˆetre calcul´ee par la seule connaissance des solutions uh et σh :

er=√

2(E_p^∗(uh) +E_c^∗(σh))¹² (II.32) Dans le cas avec contact unilat´eral et frottement, on s’int´eresse aux termes entre pa-renth`ese de II.30 dans lesquels interviennent les champs exacts u etσ :

Z

Du fait de la pr´esence de contact (avec ou sans frottement) on trouve dans la premi`ere et derni`ere int´egrale de II.33 le terme σn qui est une fonction non lin´eaire de u, dans la deuxi`eme int´egraleuest une fonction non lin´eaire deσ, on se place dans le cas g´en´eral (c’est

`a dire sans r´egularisation du probl`eme de contact). Il est `a ce point n´ecessaire de pr´eciser le cas pris en compte.

II.4.1.4 Contact sans frottement

On consid`ere ici les efforts tangentiels nuls sur ΓC, l’expression de l’erreur globale se ram`ene donc `a : Les solutions cin´ematiquement et statiquement admissibles doivent v´erifier les conditions de Signorini, la solution exacte ´egalement, on a donc :



ce qui assure aux int´egrales sur ΓC pr´esentes dans II.34 d’ˆetre n´egatives ou nulles, on en d´eduit donc une majoration de l’erreur globale :

er ≤√

2(E_p^∗(uh) +E_c^∗(σh))¹² (II.36) II.4.1.5 Contact et frottement

Dans le cas avec frottement le terme II.33 se ram`ene `a : Z

Comme pr´ec´edemment, la partie normale des efforts et d´eplacements majore l’erreur, l’ex-pression de l’erreur globale se ram`ene donc `a :

1

2e²_r =E_p^∗(uh) +E_c^∗(σh) +Ppos+ Z

ΓC

(σTuT h+uTσT h−σTuT)dΓ (II.38) o`uPpos repr´esente la partie de II.33 positive du fait des conditions de contact. Dans le cadre g´en´eral, rien n’assure que les approches cin´ematiquement admissible et statiquement admis-sible aient converg´e vers une mˆeme solution ou mˆeme vers une mˆeme tendance (zones de glissement, adh´erence et d´ecollement identiques). On ne peut alors lier ces deux solutions et allez plus loin dans la d´emarche.

II.4.1.6 Ecriture locale de l’erreur

L’erreur exacte globale II.30 peut ´egalement ˆetre d´ecompos´ee en une somme de contribu-tions locales. En partant de l’´equation II.30, on peut ´ecrire :

1

que l’on peut ´ecrire, via la formule de Green : 1

et qui se simplifie en :

1

2||∆σ||²+ 1

2||∆u||² = 1 2

Z

Ω

(σ_h−Kε(u_h))S(σ_h−Kε(u_h)) dΩ + Z

ΓC

(∆σn)∆u dΓ (II.41) Le calcul de l’erreur `a partir des diff´erentes contributions ´el´ementaires peut alors s’´ecrire :

e²_r =

E

X

i=1

Z

Ωi

(σh −Kε(uh))S(σh−Kε(uh))dΩ + 2 Z

ΓC

(∆σn)∆u dΓ (II.42)

L’expression de l’erreur ´ecrite sous cette forme montre qu’elle peut ˆetre calcul´ee en me-surant l’´ecart entre solutions cin´ematiquement et statiquement admissibles. C’est le point de d´epart de l’estimateur introduit par Ladev`eze, baptis´e estimateur d’erreur en relation de comportement [LP01], [Lad75].

Nous allons maintenant pr´esenter deux estimateurs bas´es sur la dualit´e dans les cas avec et sans contact frottant.

Le premier est l’estimateur d’erreur en relation de comportement, introduit par Ladev`eze dans [Lad75] et enrichi par Coorevits et al. dans [CHH01] dans le cas du probl`eme de contact unilat´eral avec frottement. Cet estimateur diff´erant l´eg`erement de l’id´ee de base propos´ee par Fraeijs de Veubeke dans la mani`ere d’obtenir la solution statiquement admissible σh.

Le second est l’estimateur d’erreur par analyse duale, correspondant strictement au concept introduit par Fraeijs de Veubeke. La solution statiquement admissible ´etant obtenue par la m´ethode des ´el´ements finis ´equilibre.