Contact d’une dent

Le second exemple est similaire `a un des exemples trait´es dans la section V, il est pr´esent´e sur la figure VII.3 et traite du probl`eme de contact d’une dent en acier sur un obstacle rigide.

Le contact s’effectue sur Γ_C et un d´eplacement vertical est impos´e sur Γ_D. Le coefficient de frottement est pris ´egal `a 0,2. Notons que la g´eom´etrie est uniquement constitu´ee de droites dans le but d’obtenir une surface maill´ee ´equivalente quel que soit le niveau de raffinement du maillage.

Pour cet exemple, le maillage de r´ef´erence `a ´et´e obtenu par remaillage afin de pr´esenter une erreur globale estim´ee de moins de 5%, il est pr´esent´e sur la figure VII.4. Les diff´erents maillages ´evalu´es sont pr´esent´es sur la figure VII.5, chacun d’entre eux `a ´et´e obtenu `a l’aide de GMSH en imposant les longueurs caract´eristiques h not´ees sur la figure.

Fig. VII.3 – Probl`eme de contact d’une dent sur un obstacle rigide

Fig. VII.4 – Maillage de la dent utilis´e comme maillage de r´ef´erence pour la validation de l’estimateur d’erreur

Fig. VII.5 – Maillages de la dent utilis´es pour la validation de l’estimateur d’erreur

h ||∆u˜ ||^ref ||∆σ˜ ||^ref e˜ref ˜eestim ec˜ref ec˜estim noeuds ´el´ements

2 44.07 22.91 49.67 49.79 3.5 4.93 28 38

1 37.82 20.74 43.14 43.28 6.43 7.29 72 112

0.5 25.36 12.78 28.4 28.43 1.83 2.18 267 469

0.2 15.88 7.55 17.58 17.52 1.52 0.4 2025 3069

0.1 11.63 5.55 12.89 12.81 1.45 0.12 6410 12483

0.08 9.86 5.18 11.14 11.03 1.56 0.05 10186 19949

Tab. VII.2 – Probl`eme de contact d’une dent : Comparaison des valeurs de l’erreur estim´ee

`a une erreur de r´ef´erence (Valeurs exprim´ees en %)

Les r´esultats pr´esent´es dans le tableau VII.2 montrent que, pour cet exemple ´egalement, la valeur de l’erreur en contrainte est inf´erieure `a celle de l’erreur en d´eplacement. La valeur de l’estimateur d’erreur est ici aussi tr`es proche de celle de l’erreur de r´ef´erence, mais comme nous pouvions nous y attendre n’y est pas syst´ematiquement sup´erieure.

Afin d’illustrer l’apport de la m´ethode duale `a l’estimation d’erreur, nous avons sur cet exemple utilis´e les efforts de contact issus de la m´ethode primale afin de r´esoudre le syst`eme dual : les efforts de contact issus de la r´esolution du syst`eme dual condens´e ont ´et´e rem-plac´es par les efforts de contact issus de la m´ethode primale afin de calculer les valeurs des contraintes sur le maillage dual. Nous avons ensuite appliqu´e la mˆeme d´emarche d’´evaluation de l’estimateur d’erreur que pr´ec´edemment. Cette ´evaluation est pr´esent´ee dans le tableau VII.3.

h ||∆u˜ ||ref ||∆σ˜ ||ref e˜_ref e˜_estim ec˜_ref ec˜_estim

2 44,07 33,6 55,42 55,35 3,99 2,89

1 37,82 28,86 47,57 47,57 2,8 2,67

0.5 25,36 22,67 34,02 33,99 1,52 0,73 0.2 15,88 16,15 22,65 22,61 1,46 0,25 0.1 11,63 15,22 19,15 19,74 -4,77 0,1 0.08 9,86 11,61 15,23 15,15 1,6 0,07

Tab. VII.3 – Probl`eme de contact d’une dent : Comparaison des valeurs de l’erreur estim´ee

`a une erreur de r´ef´erence (Valeurs exprim´ees en %) valeurs efforts primal

Ces r´esultats montrent, qu’ici aussi, la valeur de l’estimateur d’erreur est proche de la valeur de r´ef´erence. La discr´etisation adopt´ee est la mˆeme que celle adopt´ee pour produire les r´esultats pr´esent´es sur le tableau VII.2, on voit donc, en se basant sur la valeur de l’erreur en contrainte sur ces deux tableaux, que la qualit´e des r´esultats issus de la m´ethode duale

ne provient pas uniquement de la discr´etisation mais ´egalement de la m´ethode elle mˆeme.

Un avantage est, qu’`a discr´etisation identique des probl`emes primal et dual, la m´ethode duale est certes plus coˆuteuse, mais ´egalement plus pr´ecise que la m´ethode primale. La valeur de l’erreur estim´ee est donc proche de l’erreur en d´eplacement, qui peut ˆetre l’erreur que l’on souhaite diminuer.

VII.2 Raffinement de maillage

Nous pr´esentons dans cette section l’application des proc´edures de raffinement de maillage et de remaillage pr´esent´ees pr´ec´edemment. Tout d’abord sur l’exemple de contact d’un lopin, dans la configuration f = 150 M P a, F = 50 M P a et µ = 1, en prenant comme maillage initial, le maillage num´ero 1 de la figure VII.6.

La proc´edure de raffinement de maillage a d’abord ´et´e appliqu´ee en raffinant, `a chaque

´etape, tous les ´el´ements dont l’erreur ´el´ementaire ´etait sup´erieure `a 10% de l’erreur ´el´ementaire maximale. Sur l’exemple propos´e, on arrive en trois ´etapes `a atteindre une erreur globale de 2.6%. Les d´etails de raffinement de chaque ´etape sont pr´esent´es dans le tableau VII.4 et sur la figure VII.6. Pour l’exemple trait´e, on arrive `a atteindre un niveau d’erreur acceptable en un nombre limit´e d’op´erations.

Etape Nb ´el´ements Nb noeuds Erreur

1 22 45 16.29

2 69 150 8.91

3 264 377 4.69

4 688 1213 2.6

Tab. VII.4 – Evolution de l’erreur au cours du raffinement de maillages : exemple de com-pression d’un lopin.

Fig. VII.6 – Maillages g´en´er´es successivement lors du raffinement de maillage : exemple de compression d’un lopin.

Si l’on s’int´eresse maintenant au probl`eme de contact d’une dent pr´esent´e dans la section pr´ec´edente, avec comme maillage initial le maillage num´ero 1 de la figure VII.7, la strat´egie de raffinement de maillage est alors moins efficace. D’une part car l’erreur sur la solution initiale est beaucoup plus ´elev´ee que pr´ec´edemment, de l’autre car le champ de contrainte pr´esente une singularit´e `a l’extr´emit´e gauche de la zone de contact, due au passage direct d’une zone de contact avec un obstacle rigide `a une zone libre d’efforts.

Etape Nb ´el´ements Nb noeuds Erreur

1 38 88 49.62

2 145 219 34.08

3 392 348 24.54

4 631 472 18.63

5 862 664 14.77

6 1229 926 11.98

7 1734 1414 9.89

8 2682 1784 7.97

9 3395 2432 6.91

Tab.VII.5 – Evolution de l’erreur au cours du raffinement de maillages : exemple de contact d’une dent.

Fig. VII.7 – Maillages g´en´er´es successivement lors du raffinement de maillage : exemple de contact d’une dent.

Comme le montrent les r´esultats pr´esent´es dans le tableau VII.5 et sur la figure VII.7, l’erreur diminue fortement au cours des deux premi`eres it´erations de raffinement, puis dimi-nue plus lentement du fait de la localisation des erreurs ´el´ementaires les plus importantes.

L’utilisation d’une strat´egie de raffinement de maillages, telle que propos´ee ici, est alors envisageable mais peut rapidement devenir coˆuteuse du fait des nombreuses it´erations n´ece-ssaires sur certains probl`emes.