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Ao refletirmos sobre algumas tecnologias disponíveis e seu uso em sala de aula, somos levados a ponderar sobre a natureza do conteúdo a ser ensinado e, consequentemente, sobre nossas expectativas com este ensino, sendo estas, portanto, desdobramentos da questão inicial que se refere à relevância das TDs na educação.

Atualmente é impossível ficar indiferente ao que nos é oferecido por softwares (com versões online) como o GeoGebra e o WolframAlpha (disponíveis em http://www.geogebra.org/ e http://www.wolframalpha.com/, respetivamente), denominados softwares de matemática dinâmica (SMD). Estes tornam obsoleto, ou sem sentido, o modo como tradicionalmente a matemática é ensinada nas escolas. Ao apresentarem diferentes soluções passo a passo (algébricas, geométricas etc.), em representações diversas, para exercícios comumente solicitados por professores nas aulas de matemática, em qualquer nível, evidenciam que a matemática não se resume a cálculos e seu ensino pode se ocupar prioritariamente de questões mais conceituais, uma vez que os procedimentos técnicos de realização de cálculos são realizados com mais eficiência pelo computador.

Os SMD evidenciam que restringir ou privilegiar o ensino de matemática aos cálculos e técnicas associadas é dar continuidade ao que vem sendo feito há décadas, com origem em uma época em que os cálculos limitavam os avanços tanto cognitivo quanto do desenvolvimento científico e tecnológico, nas diversas áreas. Tal abordagem norteia grande parte dos currículos, dos diversos níveis educacionais, de modo que estes se organizam, geralmente, por quão difícil é calcular (Wolfram, 2010). As implicações desta visão, centrada nos cálculos, no ensino de matemática são várias, entre elas, a de que os conteúdos são fixos, ideais, independentes do contexto e são ou não alcançados (aprendidos) pelos alunos, os quais devem percorrer uma

estrutura hierárquica de conteúdos para poder aprender o próximo. Tais implicações justificam o entendimento, de muitas pessoas, de que ou se acerta ou se erra em matemática e que na cabeça de diferentes matemáticos os conceitos são exatamente iguais. Esta visão favorece pensar o conhecimento como estático, condicionando os processos pedagógicos ao acúmulo de informações, que devem ser reproduzidas na forma ideal, como prova de aprendizado. Além disso, o erro geralmente não é aproveitado, mas, pior, é motivo de punição, o que, ao longo dos anos escolares, gera pessoas pouco criativas, pois é imprescindível errar para ser criativo.

Para além dos cálculos e dos procedimentos associados a eles, as TDs tornam mais evidente que a matemática também diz respeito a modelar problemas e a interpretar/verificar os resultados obtidos com os cálculos, o que requer muito mais conhecimento conceitual-relacional do que procedimental-técnico. Tal conhecimento é mais coerente e próximo dos problemas que enfrentamos no dia a dia, que não têm certo ou errado, mas que devem ser ponderados a partir dos aspectos escolhidos como os mais relevantes no momento. Assim, atualmente a organização curricular por quão difícil é calcular não se justifica, pois as TDs podem viabilizar um ensino de matemática, ao mesmo tempo, mais conceitual, relacional e prático (experiencial).

Conceitual porque oferecem a possibilidade de manipular/experimentar conceitos empiricamente, de modo sem precedentes (Maltempi, 2010). Por exemplo, usando um SMD pode-se criar uma circunferência e interagir com ela, verificando que ao se movimentar um ponto sobre ela, a distância do ponto ao centro permanece constante. Além disso, as TDs favorecem a exploração concomitante de conteúdos geralmente estudados de forma independente e estática no âmbito da aritmética, álgebra ou geometria (Faria e Maltempi, 2015).

E prático porque as TDs viabilizam a modelagem de problemas da realidade mundana que, geralmente, requerem cálculos complexos envolvendo conteúdos cujo estudo é postergado para um futuro, que quase sempre não chega, sob a alegação de serem limitados os conhecimentos dos aprendizes. Dessa forma, as TDs podem colocar a matemática escolar em outro patamar, no qual se busca uma aproximação dos alunos com conceitos matemáticos, privilegiando a experiência do fazer matemática. As implicações desta visão vão na direção de uma matemática que abarca possibilidades do certo e do errado, sem estrutura rígida de conteúdos pré- requisitos, que não nega a existência do conceito, mas o toma de forma dinâmica, em diferentes contextos, ao possibilitar diversas aproximações a ele.

3.1 Uma Experiência

Buscando explorar os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral por meio de TDs desenvolvemos um website que agrega algumas possibilidades oferecidas pelo GeoGebra e WolframAlpha, dentre outros recursos digitais. Tal website, disponível em http://matemabio.blogspot.com.br, foi desenvolvido como parte de uma pesquisa de doutorado em Educação Matemática e serviu como principal referência teórica na disciplina de Matemática Aplicada oferecida pelo curso de Ciências Biológicas da Universidade Estadual Paulista, campus de Rio Claro (Brasil), durante o segundo semestre letivo de 2014. Nesta disciplina os alunos, divididos em pequenos grupos, eram convidados a “navegar” por uma página do website, relacionado ao conteúdo a ser discutido na aula, conversar sobre o conteúdo explorado nos pequenos grupos e, em seguida, participar de uma discussão com toda a turma.

As páginas do website são constituídas por textos, applets do Geogebra, widgets do WolframAlpha, vídeos e links para outras páginas da Web. Elas foram construídas pensando em explorar os conceitos do Cálculo em detrimento de contas e técnicas que acabam tomando grande parte da carga horária das disciplinas de matemática. Por exemplo, há no site uma “calculadora”, widget do WolframApha, que, com apenas um clique fornece ao leitor várias informações acerca de uma dada função, tais como: gráfico, domínio, imagem, raízes, derivadas, máximos e mínimos locais, dentre outras informações (Figura 1). Isto é, realizar o procedimento algébrico que conduz a cada um dos dados obtidos com a “calculadora” se torna secundário, uma vez que estes podem ser facilmente obtidos por recursos oferecidos no site. O primordial, torna-se, assim, compreender o que cada elemento obtido significa e como ele pode ser útil no estudo de funções.

Deste modo, para falar sobre derivadas, por exemplo, não se exige do aluno o conhecimento de regras de derivação ou a capacidade de calcular limites. Em uma atividade, disponível em http://matemabio.blogspot.com.br/p/cultura-de-bacterias.html, realizada no primeiro dia de aula com conteúdo matemático, as derivadas (na forma de taxas de variação instantânea) já se tornaram objetos de discussão, juntamente com o conceito de função, reta tangente, taxa de variação média, noções de limites, etc. A atividade diz respeito a um experimento no qual foi introduzida uma toxina em uma determinada cultura de bactérias que, a partir deste evento, tem sua população modelada pela função , onde representa a população total da cultura, em milhões de bactérias, horas após a introdução da toxina. Nesta atividade os alunos exploraram um applet do GeoGebra a partir de um roteiro e registraram o resultado de uma primeira discussão com o pequeno grupo de colegas. No applet desta atividade os alunos tinham a possibilidade de controlar, dentro de alguns limites previamente estabelecidos, as variáveis e Δ , como mostra a Figura 2.

Figura 2: “gráfico-applet” para o estudo de taxa de variação.

Com esta atividade tivemos a oportunidade de produzir um rico debate acerca de praticamente todos os conceitos que seriam objetos de discussão ao longo da disciplina. Por exemplo, seguem comentários de dois dos pequenos grupos de discussão quando questionados sobre a relação de dependência entre as grandezas envolvidas, se a toxina teve uma ação imediata e o que aconteceria se o experimento não fosse interrompido.