Expérimentations

Les Figures 7.2 à 7.5 présentent la représentativité obtenue par les fonctions polynomiales et les modèles de krigeage sur les problèmes d’optimisation HYDROTEL 10 et HYDROTEL 19 pour le bassin versant Ceizur uniquement, bien que les expérimentations ont été conduites sur les trois bassins versants. Des résultats similaires sont obtenus sur les deux autres bassins versants et se trouvent à l’Annexe V. À l’exception du domaine global , deux scénarios d’échantillonnage pour les LHS sont illustrés pour chaque combinaison de et de : les croix bleues représentent les expérimentations pour lesquelles le sous-domaine est positionné de manière aléatoire dans le domaine global et les croix pourpres représentent le sous-domaine positionné autour de la meilleure solution connue (qui est un optimum local ou global). La comparaison s’effectue entre la fonction objectif 1 moins le critère objectif de Nash-Sutcliffe (1 − ) obtenu par les fonctions de surface et les problèmes hydrologiques originaux. Le coefficient de corrélation de rang de Spearman ( ) et le coefficient de détermination ( ) sont évalués pour chaque combinaison de et de . Toal (2015) a étudié l'utilisation de modèles de krigeage au sein d’un processus d’optimisation lorsqu’appliqué à certains problèmes analytiques et conceptuels. Cette étude conclut que les fonctions de surface dont le coefficient de détermination ( ) est supérieur à 0,9 sont suffisamment représentatives pour bénéficier au processus d’optimisation. Dans cette section,

la valeur de 0,9 est donc considérée comme une valeur de référence visant à atteindre un niveau de représentativité élevé pour les coefficients et .

Fonctions polynomiales

Tout d’abord, la Figure 7.2 montre que les fonctions polynomiales n’offrent pas une représentation très juste du domaine global ( - et - ) pour le problème original HYDROTEL 10 puisque les coefficients et sont tous deux éloignés de la valeur recommandée de 0,9. Sur ces mêmes tailles d’échantillons ( et ) pour HYDROTEL 19, des coefficients similaires ou moins représentatifs sont illustrés à la Figure 7.3 pour le domaine global . Cela signifie alors que l'utilisation de fonctions polynomiales pour représenter le domaine global dans un processus d’optimisation est difficilement envisageable compte tenu que même avec 200 points évalués, la représentativité reste tout de même assez faible.

Puis, les Figures 7.2 et 7.3 présentent une représentativité qui diffère entre les deux scénarios d’échantillonnage (zone aléatoire versus autour du meilleur point connu) pour les tailles d’échantillons et . Entre autres, les combinaisons - et - de la Figure 7.2 montrent des coefficients de représentativité très élevés pour les points échantillonnés dans une zone aléatoire, mais très faibles pour les points échantillonnés autour du meilleur point connu. La combinaison - de la Figure 7.3 présente plutôt des résultats opposés entre les deux scénarios d’échantillonnage. Cela peut être causé par à une distribution non optimisée du LHS dans le sous-domaine qui a servi à construire la fonction polynomiale et ainsi conduire à une mauvaise représentation. Cependant, la possibilité plus probable est celle que la fonction polynomiale soit incapable de représenter adéquatement (par un polynôme linéaire) une surface de réponse bruitée et/ou plus difficile à représenter qui pourrait être particulièrement le cas dans les zones autour du meilleur point connu.

Figure 7.2. Évaluation de la représentativité des fonctions polynomiales selon les valeurs de la fonction objectif 1 − obtenues sur HYDROTEL 10 pour le bassin

versant Ceizur. Les coefficients et sont présentés pour chacun des deux scénarios d’échantillonnage

La Figure 7.2 présente généralement de meilleurs coefficients de représentativité pour le scénario d’échantillonnage dans la zone aléatoire par rapport à celui autour du meilleur point connu. Cependant, les meilleurs coefficients de représentativité sont partagés entre les deux scénarios d’échantillonnage sur la Figure 7.3. Cela peut signifier que les fonctions polynomiales ne sont pas en mesure de représenter les problèmes originaux HYDROTEL 10 et HYDROTEL 19 de manière similaire. De plus, il est possible d’observer que les coefficients et ont tendance à diminuer plus le domaine de l’espace paramétrique

s'agrandit ; c'est-à-dire que les Figures 7.2 et 7.3 présentent de façon générale la meilleure performance sur le domaine et la moindre sur le domaine . Comme on pouvait s'y attendre, les sous-domaines de petite taille sont plus facilement représentés par des fonctions polynomiales que les domaines globaux. Enfin, toutes les combinaisons de ou avec ou semblent fournir les meilleurs coefficients de représentativité, quels que soient le problème HYDROTEL et le scénario d’échantillonnage ; c’est-à-dire que les coefficients

et sont supérieurs ou très près de la valeur recommandé de 0,9.

Figure 7.3. Évaluation de la représentativité des fonctions polynomiales selon les valeurs de la fonction objectif 1 − obtenues sur HYDROTEL 19 pour le bassin

versant Ceizur. Les coefficients et sont présentés pour chacun des deux scénarios d’échantillonnage

Modèles de krigeage

Les modèles de krigeage offrent un même niveau assez faible de représentativité pour le domaine global ( - et - ). Il est donc difficile de concevoir une exploitation efficace des modèles de krigeage dans un processus de calibration étant donné une lacune importante dans la représentation globale des problèmes originaux. Sur de plus petit sous- domaines, les modèles de krigeage représentant HYDROTEL 10 et HYDROTEL 19 obtiennent généralement les meilleurs coefficients de représentativité lorsque le nombre de points échantillonnés est élevé ( - , - , - et - ). De plus, la combinaison de - sur la Figure 7.4 montre des résultats extrêmement divergents entre les coefficients et obtenus sur le scénario aléatoire (dépassant la valeur de 0,9) et ceux obtenus sur le scénario autour du meilleur point connu (près d’une valeur nulle). Les raisons derrière ces résultats sont probablement les mêmes que celles énoncées pour les fonctions polynomiales. Aussi, les coefficients et des Figures 7.4 et 7.5 tendent à décroître légèrement au fur et à mesure que le sous-domaine paramétrique modélisé s’agrandit, et ce pour toutes les tailles d’échantillons. Toutefois, les valeurs de ces coefficients restent au- dessus ou près de la valeur de référence de 0,9. Plus le domaine paramétrique est de petite taille, plus les modèles de krigeage semblent être en capacité de bien représenter la surface de réponse des problèmes originaux. Il est important de mentionner que ces commentaires sont basés sur les comportements moyens et que des exceptions sont remarquées ici et là.