Expériences avec des images réelles

Après avoir validé la méthode sur des expériences jumelles nous avons réalisé des

ex-périences avec des images photographiques issues d’une expérimentation de la plate-forme

Coriolis similaire à celle décrite dans [Flór and Eames(2002)]. Nous avons utilisé la séquence

de photographies comme images observées et nous y avons appliqué l’assimilation directe de

séquences d’images décrite dans ce chapitre. Le modèle utilisé est le même que celui utilisé pour

les expériences jumelles. L’expertise des physiciens permet de savoir que l’ordre de grandeur

de la vitesse est plus élevé que celle que nous avons utilisée dans les expériences jumelles. Très

peu de paramètres physiques de l’expérience sont connus, en l’occurrence nous n’avons aucune

idée du vrai champ de vitesse. Ceci entraine une erreur modèle qui peut être très importante

et que nous ne pouvons pas quantifier. A cause de l’intensité trop élevée de la vitesse dans

l’expérience Coriolis, la fréquence d’acquisition nécessaire des images est beaucoup plus élevée

que dans le cas des expériences jumelles (une image tous les 25pas de temps) afin d’éviter les

phénomènes d’aliasing

14

. Elle correspond à une fréquence d’une image toutes les 6 minutes

dans l’atmosphère, ce qui correspond à peu près à la fréquence d’acquisition des satellites

METEOSAT seconde génération sur sa zone nominale de couverture divisé par deux : c’est le

mode de fonctionnement qui est prévu en cas de phénomène extrême tel qu’un ouragan. Les

expériences sur les tourbillons correspondent parfaitement à ce contexte.

Expérience avec images en pixels

L’opérateur d’observation correspond à l’identité, les images sont utilisées à l’état brut

(les redimensionnements ont introduit un peu de lissage). Le but de l’expérience est d’étudier

le comportement du terme d’écart aux observations dans l’espace des pixels. La figure 4.10

montre la variable de contrôle estimée à différentes dates :

– date 0, début de la fenêtre d’assimilation, c’est la variable de contrôle déterminée par

assimilation ;

– dateT (300 pas de temps), fin de la fenêtre d’assimilation ;

– date2T, date deux fois supérieure à la taille de la fenêtre d’assimilation : c’est la

prévi-sion.

La colonne de gauche (sous-figure (4.10a)) montre la superposition du champ de vitesse obtenu

à l’image réelle et celle de droite (sous-figure (4.10b)) l’élévation de la surface libre du fluide.

La fenêtre est limitée à 300 pas de temps, ce qui correspond à 1,2 heures en équivalent

temps dans l’atmosphère et un ensemble de 12 images au maximum (il est possible de ne pas

prendre toute les images en compte dans le processus d’assimilation de données). Pour ce qui

est de la condition initiale estimée, le tourbillon principal

15

est reconstruit au bon endroit.

L’ordre de grandeur des champs de vitesse correspond à celui qu’attendent les physiciens

mais les orientations des vecteurs de vitesse ne sont pas bonnes dans toutes les régions du

14. C’est un phénomène qui rend des signaux différents non distinguable après un certain échantillonnage.

Dans le cas présent, le mouvement de rotation du tourbillon pourrait être masqué.

4.4. RÉSULTATS DES EXPÉRIMENTATIONS NUMÉRIQUES 93

tourbillon (voir la figure (4.11) qui montre le champ de vitesse estimé avec plus de détails).

Le champ de vitesse montre un tourbillon avec des vitesses plus intenses sur le côté ouest (la

gauche) alors qu’on s’attendrait à un phénomène inversé notamment des vitesses plus intenses

sur le côté est (droite). La dynamique du modèle permet de corriger ces incohérences : on

retrouve à la date 2T une plus grande cohérence dans l’orientation des vecteurs du champ de

vitesse avec une légère perte d’énergie. Nous n’avons pas trouvé de réglages de paramètres

pour prendre en compte une fenêtre plus grande. En plus, il est nécessaire de commencer par

une première fenêtre d’assimilation prenant en compte une seule image (en plus de l’image

au temps0). Autrement dit, seul le mouvement de translation correspondant à la dérive du

tourbillon est reconstruit. L’estimation du champ de vitesse est essentiellement faite dans cette

première fenêtre, l’agrandissement de la fenêtre et les images suivantes n’apportent pas une

grande correction. L’algorithme de minimisation peine à trouver une bonne direction et un

bon pas de descente. Ceci est probablement dû à la non convexité de la fonction coût et à des

minima locaux. On note également une grande dépendance à la matrice de covariance d’erreurs

d’ébauche (qui est réduite dans nos expériences à un opérateur d’adimentionalisation)

Expérience avec seuillage brut sur les coefficients de curvelets

L’opérateur d’observation correspond à une composition de la transformation en curvelets

et d’un seuillage brut. La figure (4.12) montre la variable de contrôle estimée à différentes

dates :

– date 0, début de la fenêtre d’assimilation, c’est la variable de contrôle déterminée par

assimilation ;

– dateT (600 pas de temps), fin de la fenêtre d’assimilation ;

– date2T, date deux fois supérieure à la taille de la fenêtre d’assimilation : c’est la

prévi-sion.

Le tourbillon principal et le tourbillon secondaire sont reconstruits au bon endroit mais les

ordres de grandeur sont sous-estimés. La vitesse maximale est de2cm/s. La sous-estimation

de l’ordre de grandeur de l’intensité des vecteurs du champs de vitesse est probablement due

au lissage des discontinuités dans l’image. Rappelons que l’information de la dynamique est

localisée au niveau des discontinuités. Les vecteurs du champ de vitesse sont tracés à une échelle

appropriée pour mieux discerner les détails du tourbillon reconstruit. Les vecteurs du champ

de vitesse ont une bonne orientation dans presque toutes les régions du domaine physique

(voir la figure (4.13) pour les détails sur le champ de vitesse). Le champ de vitesse montre un

tourbillon avec des vitesses plus intenses sur le côté est (la droite) comme on s’y attendait.

La fenêtre d’assimilation peut être étendu jusqu’à 600 pas de temps, ce qui correspond à2.4

heures pour le phénomène équivalent dans l’atmosphère (voir la figure 4.12) ce qui permet de

prendre en compte jusqu’à24 images. Nous n’avons pas trouvé de réglages pour aller au delà.

Le nombre d’itérations requis pour converger est nettement inférieur à celui requis dans le cas

des images en pixels. De plus, il est possible de commencer avec une première fenêtre de plus

d’une image (en plus de l’image au temps 0). On note également une grande dépendance à la

matrice de covariance d’erreurs d’ébauche.

La figure (4.14) montre la variable de contrôle estimée tracée à la même échelle qu’avec

les images brutes (ce qui correspond à l’ordre de grandeur estimé par les physiciens). On note

une grande dissymétrie entre l’est et l’ouest du tourbillon. La dynamique du modèle permet

de corriger ce défaut au prix d’une perte d’énergie.

Expérience avec seuillage échelle par échelle sur les coefficients de curvelets

L’opérateur d’observation correspond à une composition de la transformation en curvelets

et d’un seuillage échelle par échelle (voir l’équation (4.29)). La figure (4.15) montre la variable

de contrôle estimée à différentes dates :

– date 0, début de la fenêtre d’assimilation, c’est la variable de contrôle déterminée par

assimilation ;

– dateT (600 pas de temps), fin de la fenêtre d’assimilation ;

– date2T, date deux fois supérieure à la taille de la fenêtre d’assimilation : c’est la

prévi-sion.

Le tourbillon principal et le tourbillon secondaire sont reconstruits au bon endroit avec de

bons ordres de grandeur et de bonnes orientations sur tout le domaine. La figure (4.16)

per-met de voir le niveau de détails sur le champ de vitesse reconstruit. Le tourbillon a des vitesses

légèrement plus intenses sur le côté est (la droite) comme on s’y attendait. La fenêtre

d’as-similation peut être étendue au delà de 600 pas de temps, soit plus de 2.4 heures pour le

phénomène équivalent dans l’atmosphère. Le nombre d’itérations requis pour converger est

nettement inférieur à celui requis dans le cas des deux cas précédents (pixel et seuillage brut

sur les coefficients des curvelets). De même que dans le cas du seuillage brut, il est possible de

commencer avec une première fenêtre de plus d’une image (en plus de l’image au temps 0).

On peut également prendre une fréquence d’acquisition d’images plus faible, notamment une

image toutes les 75pas de temps (l’écart entre deux images peut ainsi être supérieur à l’écart

en temps entre deux images successives des satellites METEOSAT de seconde génération). La

dépendance à la matrice de covariance d’erreurs d’ébauche est moins importante que dans les

deux cas précédents. Pour l’instant, nous n’avons pas toutes les explications à ce phénomène, il

est encore sous investigation. Cependant nous pensons que ce comportement est le résultat de

la considération de l’image à un niveau d’interprétation structuré. Si cette hypothèse se vérifie,

elle confirmera l’indépendance du niveau d’interprétation structuré de la quantité physique

observée et son adéquation pour l’étude de la dynamique dans les images. Rappelons que nous

avons introduit le niveau d’interprétation structuré de l’image parce qu’il nous semblait le

plus approprié pour l’étude de la dynamique dans les images. Rappelons également que nous

avons introduit le seuillage échelle par échelle dans le but de mieux extraire les structures de

l’image.

4.4. RÉSULTATS DES EXPÉRIMENTATIONS NUMÉRIQUES 95

(a) Champ de vitesse (b) Elévation de la surface

Figure 4.10 – Etat analysé par assimilation directe d’une séquence d’images réelles avec

représen-tation en pixel. La figure montre un zoom sur la région contenant le tourbillon avec en (a) le champ

de vitesse superposé à l’image à différentes dates et en (b) l’élévation de la surface libre à différentes

dates.

Figure 4.11 – Détails sur le champ de vitesse initial reconstruit par assimilation directe d’une

séquence d’images réelles avec représentation pixels. La figure montre un zoom sur la région contenant

le tourbillon

4.4. RÉSULTATS DES EXPÉRIMENTATIONS NUMÉRIQUES 97

(a) Champ de vitesse (b) Elévation de la surface

Figure 4.12 –Etat analysé par assimilation directe d’une séquence d’images réelles avec

décomposi-tion en curvelets et seuillage brut. La figure montre un zoom sur la région contenant le tourbillon avec

en (a) le champ de vitesse superposé à l’image à différentes dates et en (b) l’élévation de la surface

libre à différentes dates.

Figure 4.13 – Détails sur le champ de vitesse initial reconstruit par assimilation directe d’une

séquence d’images réelles avec décomposition en curvelets et seuillage brut. La figure montre un zoom

sur la région contenant le tourbillon

4.4. RÉSULTATS DES EXPÉRIMENTATIONS NUMÉRIQUES 99

(a) Champ de vitesse (b) Elévation de la surface

Figure 4.14 –Etat analysé par assimilation directe d’une séquence d’images réelles avec

décomposi-tion en curvelets et seuillage brut. La figure montre un zoom sur la région contenant le tourbillon avec

en (a) le champ de vitesse superposé à l’image à différentes dates et en (b) l’élévation de la surface

libre à différentes dates.

(a) Champ de vitesse (b) Elévation de la surface

Figure 4.15 –Etat analysé par assimilation directe d’une séquence d’images réelles avec

décompo-sition en curvelets et seuillage échelle par échelle. La figure montre un zoom sur la région contenant le

tourbillon avec : (a) champ de vitesse superposé à l’image à différentes dates et (b) l’élévation de la

surface libre à différentes dates.

4.4. RÉSULTATS DES EXPÉRIMENTATIONS NUMÉRIQUES 101

Figure 4.16 – Détails sur le champ de vitesse initial reconstruit par assimilation directe d’une

séquence d’images réelles avec décomposition en curvelets et seuillage échelle par échelle. La figure

montre un zoom sur la région contenant le tourbillon

Comparaison des opérateurs d’observation

La figure (4.17) montre le champ de vitesse estimé respectivement avec :

– des images représentées sous forme de pixels ;

– un seuillage brut sur les coefficients de curvelets ;

– un seuillage échelle par échelle sur les coefficients de curvelets ;

– un seuillage brut sur les coefficients de curvelets avec élimination de l’échelle la plus

grossière.

Les vecteurs sont tracés avec une échelle relative au résultat obtenu avec le seuillage brut.

Cette échelle permet notamment d’étudier ce qui se passe dans les régions un peu éloigné du

centre du tourbillon principal. Comme nous l’avons dit dans les trois paragraphes précédents,

les réalisateurs de l’expérience sont plus satisfaits par le résultat produit avec le seuillage

échelle par échelle (voir la sous-figure (4.17c) ) sur les coefficients de curvelets. Cet opérateur

d’observation permet de reconstruire le tourbillon principal et le tourbillon secondaire aux

bons endroits, de retrouver aussi bien les ordres de grandeur que la cohérence spatiale du

champ de vitesse sur tout le domaine. Les images sous forme de pixels (voir la sous-figure

(4.17a) ) permettent de reconstruire le tourbillon principal et d’obtenir de bons ordres de

grandeur pour le champ de vitesse mais les orientations des vecteurs du champ de vitesse

ne sont pas correctes sur tout le domaine. On note principalement l’absence du tourbillon

secondaire et des mouvements relativement importants dans les régions où la concentration

du traceur n’est pas élevée et où on ne prévoit pas trop de dynamique. On peut penser que ces

problèmes sont dus en partie au bruit dans l’image et donc qu’un lissage les corrigerait au moins

partiellement. Le seuillage brut sur les coefficients de curvelets a le même effet qu’un lissage

ou un débruitage [Starck et al.(2002)]. Si le seuillage brut sur les coefficients des curvelets

(voir la sous-figure (4.17b) ) permet de corriger les orientations des vecteurs du champ de

vitesse, les ordres de grandeur ne sont plus satisfaisants (on perd plus de 50% sur l’intensité

maximale) et le tourbillon principal est très déséquilibré. Le seuillage brut corrige en effet les

incohérences dues au bruit mais lisse également les discontinuités. Dans le cas particulier des

curvelets, un seuillage bruit élimine en effet plus de coefficients des échelles fines au profit des

coefficients des échelles grossières. Les fonctions des échelles grossières permettent d’obtenir

de l’information globale (la forme) et les coefficients des échelles fines l’information locale (le

détail). Les détails étant détruits par le seuillage, l’information la plus importante qui reste est

au niveau global, ce qui permet de reconstruire la dynamique globale de translation (beaucoup

plus faible) au détriment de la dynamique locale de rotation plus importante. Ceci peut être

la principale cause du déséquilibre du tourbillon principal. Pour vérifier cette hypothèse, nous

avons implémenté une version de seuillage brut qui élimine tous les coefficients de l’échelle la

plus grossière (voir la sous-figure (4.17d) ). Avec ce seuillage, nous obtenons de bons ordres de

grandeur sur les vecteur du champ de vitesse, les deux tourbillons sont reconstruits mais nous

avons également des mouvements importants dans les régions où la concentration du traceur

n’est pas élevée et où on ne prévoit pas une dynamique importante. Nous avons ainsi un résultat

intermédiaire entre la représentation brute en pixels et le seuillage brut sur les coefficients

des curvelets. De plus avec ce seuillage, la minimisation peut se faire sur des fenêtres plus

grandes qu’avec la représentation brute en pixels et des résultats comparables sont obtenus

avec peu d’itérations. Le seuillage échelle par échelle semble l’alternative la plus appropriée.

En procédant échelle par échelle, il ne traite ensemble que des fonctions comparables (des

fonctions de la même échelle). La discrimination peut être étendue aux orientations. Cette

extension pourra permettre de corriger certains problèmes induits par l’approximation de la

4.4. RÉSULTATS DES EXPÉRIMENTATIONS NUMÉRIQUES 103

rotation dans un domaine discret. On garde ainsi l’information pertinente à chaque échelle.

(a) image en pixels (b) Seuillage brut

(c) Seuillage échelle par échelle (d) Seuillage brut amélioré

Figure 4.17 –Champ de vitesse initial reconstruit par assimilation directe d’une séquence d’images

réelles avec différents opérateurs d’observation. Images sous forme de pixels (b) ; seuillage brut sur la

décomposition en curvelets (a) ; seuillage échelle par échelle sur la décomposition en curvelets (c) et

seuillage brut sur la décomposition en curvelets avec élimination de l’échelle grossière (b).

Comparaison des opérateurs d’observation (pixels et curvelets)

La figure (4.18) compare le terme d’écart aux observations avec les opérateurs d’observation

respectifs : images sous forme de pixel et seuillage échelle par échelle sur les coefficients de

curvelets. Ce terme d’écart aux observations est calculé selon la formule de l’équation (4.38)

pour une fenêtre d’assimilation de 300 pas de temps. Il correspond à l’écart en terme de la

norme L

²

. Son intégrale sur toute la fenêtre d’assimilation correspond à la fonction minimisée

lorsqu’on utilise directement l’espace des pixels pour l’écart aux observations. L’étude de cette

figure permet de dégager deux principales observations :

1. la minimisation n’améliore pas assez le terme d’écart aux observations contrairement à

ce qui a été observé avec les expériences jumelles ;

2. l’opérateur d’observation basé sur un seuillage des coefficients des curvelets produit un

meilleur résultat que le calcul dans l’espace des pixels.

La première observation peut avoir plusieurs sources d’explications parmi lesquelles :

– l’utilisation d’un terme d’écart aux observations non approprié (ce problème suggère

l’utilisation d’une distance autre que celle basée sur la norme L

2

) ;

– une erreur modèle très importante ;

– une erreur d’observation très importante (elle inclut la différence de luminosité entre les

différentes images de la séquence).

Ces sources ne sont pas exclusives. La deuxième observation quant à elle nous montre assez

clairement que le calcul de l’écart aux observations dans l’espace des pixels n’est pas adapté au

problème. La fonction de diagnostic utilisée pour la comparaison correspond au terme d’écart

aux observations utilisé dans l’espace des pixels. On se serait attendu à ce que l’opérateur

d’observation dans l’espace des pixels fournisse de meilleurs résultats selon ce diagnostic.

Figure 4.18 – Assimilation directe d’images, comparaison de l’écart aux observations avec

différents opérateurs d’observation. La première partie du graphique (300 premiers pas de

temps) correspond à l’assimilation de données et le reste à la prévision.

4.4. RÉSULTATS DES EXPÉRIMENTATIONS NUMÉRIQUES 105

Comparaison des différents seuillages sur les coefficients de curvelets

La figure (4.19) compare le résidu (terme d’écart aux observations) obtenu avec différents

seuillages sur les coefficients de curvelets. Ce terme d’écart aux observations est calculé pour

chaque image dans l’espace des pixels afin d’avoir quelque chose de comparable. Ce diagnostic

est calculé pour une fenêtre d’assimilation de 600 pas de temps qui représente la plus grande

fenêtre que nous avons pu traiter avec le seuillage brut. Si on ne considère que ce diagnostic

pour évaluer les opérateurs d’observation, on conclurait immédiatement que le seuillage brut

est le meilleur. Rappelons qu’avec le seuillage brut, on ne reconstitue que la dynamique

glo-bale. Laquelle dynamique globale est une approximation très grossière dans les écoulements

aussi complexes que la dérive d’un tourbillon qui combine une légère dynamique globale de

translation avec une dynamique locale intense de rotation. Si l’on prend en considération le

fait qu’un seuillage brut sur les coefficients des curvelets correspond à un lissage dans l’espace

des pixels, alors la figure (4.19) nous fait comprendre une fois de plus que le niveau

d’inter-prétation élémentaire est inadapté pour l’étude de la dynamique dans les images. Elle nous

fait aussi comprendre également que le terme d’écart aux observations donné par la distance

associée à la norme L

2

n’est pas un critère approprié pour les observations de type image.

Figure 4.19 – Assimilation directe d’images, comparaison de l’écart aux observations pour

différents seuillages sur les coefficients des curvelets. La première partie du graphique (600

4.5 Conclusion

La prévision des systèmes géophysiques nécessite l’utilisation de toutes les sources

d’in-formation disponibles sur ces systèmes. Ces sources d’ind’in-formation, hétérogènes en nature, en

qualité et en quantité incluent les modèles mathématiques, les mesures physiques qui

consti-tuent les observations, les statistiques d’erreurs, etc. L’assimilation de données permet

d’uti-liser toutes ces sources d’information de façon optimale pour réad’uti-liser la meilleure prévision.

Chaque nouvelle source d’observation nécessite la définition d’opérateurs adaptés (opérateur

d’observation et opérateur de distance). Les observations de type image constituent l’une des

sources d’observation dont l’utilisation quantitative est récente. Elles constituent pour

cer-tains systèmes la seule source d’observation. C’est notamment le cas de l’astrophysique où les

observations conventionnelles sont presque inexistantes. C’est aussi le cas de la médecine où

l’on ne peut pas se permettre n’importe quel type de mesure.

Dans le cas des systèmes géophysiques que sont l’atmosphère et la mer, les mesures par

satellite constituent une des sources les plus importantes actuellement. Elles produisent des

images (observations indirectes) qui ont une résolution inégalée par les modèles numériques de

Dans le document Assimilation d'images pour les fluides géophysiques (Page 99-115)