aléatoire gaussienne à partir de la loi double exponentielle de densité (λ/2) exp (−λ|x|).
3. Soit X et Y des variables aléatoires indépendantes et de même loi ex-ponentielle de paramètre 1.
(a) Trouver la loi conditionnelle deX sachant que {Y >(1−X)2/2} (b) Soit Z une variable aléatoire suivant la loi ci dessus et S une variable aléatoire indépendante de Z prenant les valeurs ±1 avec la probabilité 1/2. Trouver la loi de SZ.
(c) En déduire une méthode de simulation d’une loi N(0,1).
Exercice 1.5.3. On dit qu’un processus {X(t), t ≥ 0}, est un processus de Lévy s’il possède les deux propriétés :
P1 : Pour tout système (0 =t0 < t1 < t2 < . . . < tn) les variables aléatoires X(tk)−X(tk−1) (1≤k≤n)sont indépendantes (on dit alors que X(t) est un processus à accroissements indépendants).
P2 : La loi de X(t+h)−X(t)est indépendante de t (on dit alors que X(t) est un processus homogène) et de plus X(0) = 0.
Dans le cas d’un mouvement brownien c’est à dire dans le cas d’un processus de Lévy tel que X(t) suive une loiN(0, t), trouver la loi deX(t) sachant que X(t−h) = x et X(t +h) = y. En déduire une simulation récursive de ce processus.
Même question pour le processus de Cauchy c’est à dire dans le cas où X(t) suit une loi de Cauchy de densité π(x2t+t2). (on précisera la méthode de simu-lation de la loi conditionnelle ci dessus).
Exercice 1.5.4. Soit (X1, X2) un couple gaussien de coefficient de corréla-tion ρ et tel que pour i= 1,2la variable aléatoire Xi suive une loi N(µi, σi2).
1. Montrer que si (Y1, Y2) est un couple de variables aléatoires indépen-dantes de loi N(0,1)alors le coupleZ1 =µ1+σ1Y1, Z2 =µ2+σ2(ρY1+ p1−ρ2Y2) a même loi que (X1, X2). En déduire une méthode de si-mulation de la loi de ce couple.
2. Généraliser au cas d’une dimension quelconque.
Exercice 1.5.5. Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de réparti-tion F. On supposera cette fonction de répartition inversible et l’on noteF−1 son inverse.
1. Comment simuler la loi de X conditionnellement à X > m à l’aide d’une méthode de rejet ? Évaluer l’efficacité de la méthode ? Que se passe–t–il, en particulier, si m devient très grand ?
2. Si U est une variable aléatoire uniforme sur [0,1], on pose : Z =F−1(F(m) + (1−F(m))U).
Calculer la fonction de répartition de Z et en déduire une méthode de simulation deX conditionnellement àX > m. Comparer l’efficacité de cette méthode à la méthode du rejet.
3. Généraliser la méthode précédente au cas où l’on cherche à simuler X conditionnellement à a < X < b.
4. On cherche maintenant à simuler X, de loi normale N(µ, σ2), condi-tionnellement àX > m. Montrer que l’on peut se ramener au cas centré réduit, avec m arbitraire.
5. Proposer une méthode du rejet basée sur la loi exponentielle translatée de densité donnée par θe−θ(x−m)1{x>m}. Comment choisir le paramètre θ?
Exercice 1.5.6. Echantillonnage préférentiel : On veut calculer par une méthode de Monte-Carlo :
p` = IP(X ∈[`, `+ 1]),
X étant une variable aléatoire exponentielle de paramètre 1.
1. Donner l’estimateur classique de p` ainsi que sa variance.
2. Déterminer une fonction d’importance telle que les nouveaux tirages soient tous dans l’intervalle[`, `+ 1]. Calculer la variance de ce nouvel estimateur et conclure pour les grandes valeurs de `.
Exercice 1.5.7. Réduction de variance
1. Proposer une méthode d’échatillonage préférentiel pour le calcul de I = IE 1{ξ>0}expβξ
, siξ est une gaussienne centrée réduite et β = 5.
2. Proposer une méthode de variable de contrôle pour le même calcul.
1.5. EXERCICES 29 3. Améliorer votre estimateur à l’aide d’une technique de variables
anti-thétiques.
Exercice 1.5.8. Le but de cet exercice est de prouver que la méthode des va-riables antithétiques réduit bien la variance lorsque la fonction est monotone en chacune de ses variables.
1. On suppose que f et g sont deux fonctions croissantes bornées de IR dans IR. Montrer que, si X et Y sont deux variables aléatoires réelles, on a :
IE (f(X)g(X)) + IE (f(Y)g(Y))≥IE (f(X)g(Y)) + IE (f(Y)g(X)). En déduire que si X si est une variable aléatoire réelle :
IE (f(X)g(X))≥IE (f(X)) IE (g(X))⇔Cov(f(X), g(X))≥0 2. Montrez que, si X1, . . . , Xn sont n variables aléatoires indépendantes :
IE (f(X1, . . . , Xn)g(X1, . . . , Xn)|Xn) = Φ(Xn),
Φ étant une fonction que l’on explicitera sous forme d’une espérance.
En déduire que, si f etg sont deux fonctions croissantes en chacun de leur arguments :
IE (f(X1, .., Xn)g(X1, .., Xn))≥IE (f(X1, .., Xn)) IE (g(X1, .., Xn)). 3. Soit h une fonction de[0,1]n dans IRmonotone en chacun de ses
argu-ments, et U1, . . . , Un des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur [0,1]. Montrer que :
Cov(h(U1, . . . , Un)h(1−U1, . . . ,1−Un))≤0,
et en déduire que le méthode des variables antithétiques réduit la va-riance dans ce cas.
Exercice 1.5.9. Soit (U1, . . . , Un) un échantillon i.i.d. de loi uniforme sur [0,1] et (V1 ≤ V2. . . ≤ Vn) l’échantillon ordonné. On convient que Vn+1 = 1, V0 = 0 et pour i= 0, . . . , n on pose ∆i =Vi+1−Vi.
1. Trouver la loi du couple (Vi, Vi+1) pour i= 1, . . . , n−1 et la loi de ∆i
pour i= 0, . . . , n
2. Montrer que sup0≤i≤n∆i converge presque sûrement vers 0.
3. Soit h une fonction continue nulle en 0. Montrer que l’estimateur : Zn =
Xn
i=0
∆ih(Vi) converge presque sûrement vers I =R1
0 h(u)du.
4. Montrer que :
IE(Zn) = Z 1
0
(1−vn)f(v)dv
En déduire que Zn est un estimateur asymptotiquement sans biais de I. Pouvait-on prévoir ce résultat sans calcul ?
5. On suppose de plus que h est de classe C1. Montrer quil existe une constanteK avec :
|Zn−I| ≤K Xn
i=0
∆2i
En déduire la vitesse de convergence de Zn vers I dans L1.
Exercice 1.5.10. Programmation On reprend les formule (1.1) pour le prix d’une option d’achat (call) et (1.3) pour le prix d’une option de vente (put). On déduit de l’identité x=x+−(−x)+ la formule de parité call–put
C−P = IEeσZ −K,
où l’espérance IEeσZ se calcule explicitement, et vaut exp(σ2/2), d’où une méthode de variable de contrôle, dont il est clair (pourquoi ?) qu’elle réduit la variance.
Par ailleurs, puisqueZ et−Z ont la même loi, on peut appliquer au calcul par Monte Carlo du call comme du put la méthode de réduction de variance par variable antithétique.
Dans l’expérimentation numérique on choisira σ = 1.5 ainsi que K = 1.
On fera tous les calculs de Monte Carlo avec des tailles d’échantillon N= 1 000, 10 000 et 100 000. Pour chaque résultat, on donnera l’estimateur de Monte Carlo, et un intervalle de confiance à 95 %, basé sur le TCL et une estimation de la variance.
1. Calculer la valeur donnée par la formule de Black–Scholes (1.2).
1.5. EXERCICES 31 2. Calculer la valeur deC par Monte Carlo, en utilisant la formule (1.1), puis en utilisant la formule de parité call–put et (1.3) pour le calcul de P par Monte carlo.
3. Effectuer les deux mêmes calculs, en utilisant une méthode de variable antithétique.