18. Utiliser le th´eor`eme d’Abel pour montrer que si
nan,
nbn et
ncn sont trois s´eries num´eriques convergeant respectivement vers a,b,c et sicn =
0jnajbn−j pour tout entier n0, alors c=ab.
19. Th´eor`eme de Tauber (1897). On se propose ici d’´etablir la r´eciproque suivante du th´eor`eme d’Abel : sif(z) =
n0anznconverge pour|z|<1, sif(z) tend vers une limite finie lorsquez→1−et si
1nNnan=o(N) lorsqueN → ∞, alors
n0an =. On pose
G(x) := (e−x−1)/x, g(x) :=−G(x) ={(1 +x)e−x−1}/x2 (x >0), H(x) := e−x/x, h(x) :=−H(x) = (1 +x)e−x/x2 (x >0),
εN(x) := 1 N
nxN
nan (x >0, N 1).
(a) Montrer que pour tout entier N 1 on a f
e−1/N)−
0nN
an =−εN(1) + 1
0
g(x)εN(x) dx+ ∞
1
h(x)εN(x) dx.
(b) Montrer que supN|εN(x)|=O(x) pourx >0. Conclure en appliquant le th´eor`eme de la convergence domin´ee.
20. Sous groupes additifs de R.
SoitGun sous groupe additif deR. Montrer l’´equivalence des trois propri´et´es suivantes.
(i) Tout point de Gest point d’accumulation.
(ii) 0 est un point d’accumulation deG.
(iii)G est partout dense dansR.
21. Sous groupes discrets deR. SoitG un sous-groupe additif deRqui n’est pas partout dense. Montrer qu’il existe un ´el´ementadeGtel queG=aZ, et donc queGest discret.(1) 22.Pas de Rolle surC.Montrer que le th´eor`eme de Rolle ne s’applique pas aux fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs complexes en donnant l’exemple d’une fonction d´erivable de R dans C qui prend la mˆeme valeur en 0 et en 1, mais dont la d´eriv´ee ne s’annule jamais.
1. On rappelle qu’une partie d’un espace m´etrique est dite discr`ete si chacun de ses points est isol´e.
Exercices sur les s´eries enti`eres et les fonctions exponentielle et logarithme 75 23. R´esoudre dansCl’´equation cosz= 12.
24. En employant la formule du binˆome, montrer que ez = limn→∞(1 +z/n)n pour tout z∈C, la convergence ´etant uniforme sur tout compact.
25. D´eterminer et repr´esenter graphiquement chacun des trois ensembles suivants : A:=
z∈C:
n11/sinnzconverge . B:=
z∈C:|shz|<|chz|
. C :=
z∈C: limn→∞e−nz2 = 0 .
26. La fonction d´efinie par f(0) = 0 et f(z) = exp{−1/z8} si z= 0 est-elle holomorphe sur C?
27. Distinguer le vrai du faux en justifiant votre r´eponse par un raisonnement ou un contre-exemple.
(i) Les seuls z´eros de sinz sur Csont les multiples entiers deπ.
(ii) La fonctionz→chz ne s’annule pas surC. (iii) Tous les points fixes dez→tgz sont r´eels.
(iv) La s´erie
n1(sinnz)/2n converge pour tout nombre complexe z.
28.D´erangements.On noted(n) le nombre ded´erangementsd’un ensemble `an´el´ements, i.e. le nombre des permutations de cet ensemble qui sont sans point fixe.
(a) Montrer quen! =
0knd(k)n
k
.
(b) En multipliant les deux membres de l’´egalit´e pr´ec´edente par zn/n!, trouver une identit´e concernant le produit de deux s´eries enti`eres.
(c) En d´eduire la valeur def(z) :=
n0d(n)zn/n! puis celle ded(n).
29. On d´esigne par log la d´etermination principale du logarithme complexe. Sur quel ouvertU deCla fonctionz→f(z) := log(z2+ 1)−log(z+i)−log(z−i) est-elle d´efinie ? Donner la valeur de f sur chaque composante connexe de U. On pourra consid´erer les points zt :=te3iπ/4 etwt:=te−3iπ/4 lorsque t→ ∞.
30. Une condition n´ecessaire pour l’existence d’une racine carr´ee. Soit U un ouvert non vide deC∗. On poseϕ(z) =z2 pour z∈C∗ et
V :=ϕ−1(U) ={z∈C∗:z2∈U}.
Montrer que siV est connexe, alors il n’existe pas de fonction continuef surU telle que f(z)2 =z pour z ∈ U. On pourra raisonner par l’absurde en supposant l’existence def et en introduisant g(z) :=f(z2)/z.
Remarque.LorsqueU :=CR−, on sait qu’il existe une fonction racine carr´ee. On v´erifie alors queV =C iRest non connexe.
31. Une condition n´ecessaire pour l’existence d’un logarithme.SoitU un ouvert non vide deC∗. On pose
V :={z∈C: ez ∈U}.
Montrer que siV est connexe, alors il n’existe pas de fonction continuef surU telle que ef(z) =z pourz∈U. On pourra raisonner par l’absurde en supposant l’existence def et en introduisant g(z) :=f(ez)−z.
32. Soit U un domaine de C∗. On suppose qu’il existe une fonction f ∈ H(U) telle que e f(z) = ln|z| pour tout z de U. Peut-on en d´eduire que f est une d´etermination du logarithme surU? Quef(z) = 1/z surU? Qu’il existe une d´etermination du logarithme sur U?
33. Soit U :=C R−. On consid`ere la d´etermination principale du logarithme complexe sur U.
(a) Calculer log(1−e2πiϑ) pour 0< ϑ <1.
(b) ´Ecrire le d´eveloppement en s´erie enti`ere de log(1−z) autour de 0.
(c) En appliquant le th´eor`eme d’Abel `a log(1−re2πiϑ) lorsque r→1−, calculer
n1
cos 2πnϑ
n et
n1
sin 2πnϑ πn pour 0< ϑ <1.
34. La s´erie enti`ere de la d´etermination principale de √1 +z `a l’origine converge-t-elle normalement dans le disque unit´e ferm´e ?
35. D´eterminer l’ensemble U des nombres complexesz pour lesquels l’expression log
z+
1 +z2 est bien d´efinie lorsque log et √
·d´esignent les d´eterminations principales du logarithme et de la racine carr´ee dans C R−. On note cette fonction argshz.
(a) Calculer la d´eriv´ee de argsh sur U. (b) Montrer que sh(argshz) =z pour z∈U.
(c) ´Ecrire le d´eveloppement en s´erie enti`ere de argshz autour dez= 0.
36. D´eterminer un ouvert U deC, que l’on choisira aussi grand que possible, sur lequel on peut d´efinir une fonction holomorphef telle que cosf(z) =z etf([−1,1])⊂R. 37. SoientU un ouvert deCetf ∈H(U,C∗). Montrer que sig∈C(U,C∗) v´erifieg2=f, alors g∈H(U).
38. A quelle condition sur le nombre complexe` z a-t-on log ez =z lorsque log d´esigne la d´etermination principale du logarithme complexe ?
39. Montrer que |log(1 +z)|ln{1/(1− |z|)} pour |z|< 1. En d´eduire que, pour tous α, β ∈C, il existeR=R(α, β)>0 tel que (1+z)αβ =
(1+z)αβ pour toutz∈D(0;R).
40. Pourquoi la notation zα (z∈C, α /∈Z) est dangereuse. Expliquer pr´ecis´ement o`u est l’erreur dans la suite d’´egalit´es
2 = elog 2= e2iπlog 22iπ = (e2iπ)log 22iπ = 1log 22iπ = 1.
Exercices sur les s´eries enti`eres et les fonctions exponentielle et logarithme 77 41. D´evelopper la d´etermination principale logz en s´erie enti`ere autour du point z0=−1 +i. D´eterminer le rayon de convergenceRde cette s´erie. Est-il vrai que sa somme vaut logz dans D(z0;R) tout entier ?
42. (a) D´eterminer l’image de U :=C [−1,1] par l’applicationf :z→(z−1)/(z+ 1).
En d´eduire l’existence d’une d´etermination holomorphe de logf sur U. (b) Montrer que la fonction g :U →C d´efinie par g(z) := (z+ 1) exp1
2logf(z) est une d´etermination holomorphe de la racine carr´ee dez2−1 surU. Y a-t-il plusieurs telles d´eterminations ? Si oui, combien ?