Sujet d’examen
Aucun document n’est autoris´e. L’usage d’une calculatrice est interdit. Sauf mention contraire, les notations sont celles du cours.
Les quatre parties sont ind´ependantes.
Il sera tenu le plus grand compte de la r´edaction et de la pr´esentation. Seules les explications claires et pr´ecises seront prises en compte `a la correction.
I. ´Enoncer le principe des z´eros isol´es (l’une ou l’autre des formulations pr´esent´ees en cours est accept´ee).
II.Soient U un domaine deCet f ∈A(U). Pourn∈N, on pose Fn:={z∈U :f(n)(z) = 0}.
(a) Est-il vrai queFn est ferm´e dans U pour tout entier n?
(b) Montrer que, siFn poss`ede un int´erieur non vide pour au moins un entiern, alorsf est un polynˆome.
(c) On dit quez∈U est un point sp´ecial def si au moins un des coefficients de la s´erie de Taylor def enzest nul. Exprimer l’ensembleGdes points sp´eciaux def en fonction desFn. Montrer que, siGcontient un disque ouvert non vide, alorsf est un polynˆome. (On rappelle le principe de Baire, selon lequel, dans un espace m´etrique, une r´eunion d´enombrable de ferm´es d’int´erieurs vides est ´egalement d’int´erieur vide.)
III.Soient a, b∈C,a=b,etU :=C [a, b].
(a) Montrer que la fonction
f(z) := 1 (z−a)(z−b) poss`ede une primitive surU.
(b) En d´eduire que
γ
f(z) dz= 0 pour tout lacet deU.
(c) Soit γ un lacet de U. Montrer que l’application J : [0,1] → C d´efinie par J(s) :=I(a+s(b−a);γ) (0s1) est continue. En d´eduire queI(a;γ) =I(b;γ).
(d) Retrouver le r´esultat ´etabli en (b) en appliquant la formule de Cauchy.
IV.Soient U un ouvert de Cet f ∈H(U).
(a) D´eduire des in´egalit´es de Cauchy que si D(a;R) ⊂ U alors le rayon de convergence de la s´erie de Taylor def enaest au moins ´egal `a R.
(b) Application. Calculer le rayon de convergence de la s´erie de Taylor `a l’origine de f(z) :=z/sinz.
(c) Mˆeme question pour le rayon de convergence enz= 2π de la s´erie de Taylor de la fonctionf(z) = (sinz)2/{2(cosz)2−cosz−1}.
Universit´e Henri Poincar´e–Nancy 1 Vendredi 11 juin 2010 Licence de Math´ematiques 2009/2010 Dur´ee : 2h Analyse complexe (LCMA6.33)
Sujet d’examen
Aucun document n’est autoris´e. L’usage d’une calculatrice est interdit. Sauf mention contraire, les notations sont celles du cours.
Les quatre parties peuvent ˆetre trait´ees ind´ependamment.
Il sera tenu le plus grand compte de la r´edaction et de la pr´esentation. Seules les explications claires et pr´ecises seront prises en compte `a la correction.
I. ´Enoncer le lemme de Schwarz en pr´ecisant bien les cas d’´egalit´e.
II.(a) Montrer que 3n
n
= 1 2πi
|z|=R
(1 +z)3n
zn+1 dz (n∈N, R >0).
(b) Montrer que |(1 + z)3| 274|z| pour |z| = 12. En d´eduire une majoration de3n
n
(n1) impliquant la convergence de la s´erie
S :=
n0
3n n
1 8n· (c) SoitP(z) :=z3+ 3z2−5z+ 1. Montrer que
S = −4 iπ
|z|=1/2
dz P(z)· (d) Montrer queP(1) = 0 et calculer la valeur deS.
III.Soient U un domaine deCetf ∈H(U) une fonction non identiquement nulle.
(a) Dans cette question, on suppose qu’il existe a∈U tel que f(a) = 0. On se propose de montrer qu’alorsf n’est pas injective.
(i) Montrer que, dans un voisinage convenable dea, on peut ´ecrire f(z)−f(a) = (z−a)mH(z)
o`umest un nombre entier>1 etHest une fonction holomorphe telle queH(a)= 0.
(ii) Montrer que, pourr >0 assez petit, il existe dansD(a;r) une d´etermination holomorpheh(z) de H(z)1/m.
(iii) Montrer que, pour r > 0 assez petit et v ∈ C tel que |v| < 12r|h(a)|, l’´equation (z−a)h(z) =v poss`ede une unique solution dans D(a;r).
(iv) Conclure.
(b) On suppose `a pr´esent quef est injective.
(i) Montrer quefest une bijection deU surV:=f(U) et queg:=f−1∈C(V, U).
(ii) En d´eduire que g ∈ H(V) et que, pour tout b = f(a) ∈ V, on a g(b) = 1/f(a). On pourra consid´erer, pourh→0, la quantit´eh=f(a+η(h))−f(a), o`u η(h) :=g(b+h)−g(b) =g(b+h)−a.
(Voir suite au verso.)
IV. ´Etant donn´e des ouverts U, V de C, on dit qu’une fonction holomorphe f :U →V est unisomorphismesi elle est bijective et si sa fonction r´eciproque est holomorphe. On note Iso(U, V) l’ensemble des isomorphismes deU surV. Ainsi, il d´ecoule de la question III(b) qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’une fonction f de H(U) soit un isomorphisme de U sur V := f(U) est qu’elle soit injective.(1)
(a) Soient D := D(0; 1) et f ∈ Iso(D, D) telle que f(0) = 0. Montrer que
|f(z)| |z| pour tout z ∈ D et que, si g := f−1, alors |g(z)| |z| pour tout z deD. En d´eduire qu’il existe un nombre r´eel ϑtel quef(z) =zeiϑ (z∈D).
(b) Soita∈Detϕa l’application de H(D) d´efinie parϕa(z) := (z−a)/(1−az).
Montrer queϕa ∈Iso(D, ϕa(D)) et calculerψa :=ϕ−1a .
(c) En utilisant l’identit´e |u+v|2 = |u|2+ 2e(uv) +|v|2 (u, v ∈ C), montrer que |z−a|2− |1−az|2= (1− |a|2)(|z|2−1) pour tousa,z deC. En d´eduire que ϕa(D)⊂D, puis, en appliquant cette derni`ere identit´e `a −a, que ϕa(D) =D. .
(d) En consid´erant f ◦ϕ−a1 pour a∈ D convenable, montrer que f ∈Iso(D, D) si, et seulement si, il existea∈D etϑ∈Rtels que f(z) = eiϑϕa(z) (z∈D).
1. On ne demande pas de d´emontrer cette cette assertion.
Universit´e Henri Poincar´e–Nancy 1 Vendredi 1er avril 2011 Licence de Math´ematiques 2010/2011 Dur´ee : 2h Analyse complexe (LMI 6.33)
Sujet d’examen partiel
Aucun document n’est autoris´e. L’usage d’une calculatrice est interdit. Sauf mention contraire, les notations sont celles du cours.
Les quatre parties sont ind´ependantes.
Il sera tenu le plus grand compte de la r´edaction et de la pr´esentation. Seules les explications claires et pr´ecises seront prises en compte `a la correction.
I. Calculer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere
n1
1 + (−1)n n
n2
zn.
II.(a) ´Enoncer le th´eor`eme de l’application ouverte.
(b) Application. SoientU un domaine deC, etf ∈H(U),g∈H(U,C∗). Montrer que sif(z)g(z) est r´eel pour toutzdeU, alors il existe une constante r´eelle ctelle quef =cg.
III.Soient a∈C∗ et r∈]0,|a|[.
(a) Montrer que l’int´egrale
I(a) := 2π 0
ln|reiϑ−a|dϑ est bien d´efinie.
(b) Montrer que l’on peut d´efinir une d´etermination holomorphe de g(z) := log(1−z/a)
sur un ouvertU, que l’on pr´ecisera, contenant le disque D(0;r).
(c) Calculer I(a) en appliquant la formule de Cauchy `a g pour un point convenable.
(d) Retrouver le r´esultat pr´ec´edent en montrant que la fonction f d´efinie par f(z) :=g(z)/z est holomorphe sur U.
IV.Soient U un domaine de Ccontenant l’origine etf ∈H(U).
(a) ´Enoncer le principe des z´eros isol´es.
(b) Montrer que, sif(1/n) =f(1/2n) pour tout entier nassez grand, alorsf est constante surU.
(c) Soit g : [0,1] → [0,12] d´efinie par g(x) := x/(1 +x). Calculer gn(x) = g◦ · · · ◦g(x) pour tout x ∈ [0,1]. En d´eduire que, si f(z) = f
z/(1 +z) pour toutz deU alorsf est constante sur U.
(d) Montrer que, sif(1/n) = 1/(n+ 1) =g(1/n) pour tout entiernassez grand, alors−1∈/ U etf(z) =z/(z+ 1) surU.
(e) Est possible d’avoirf(1/n) = 1/2n pour tout entier nassez grand ?
Index
Abel, Niels Henrik, 7, 10, 11 affixe, 2
Alembert, Jean Le Rond d’, 29 analytique
cotangente (formule de la —), 47 couronne, 34 de la valeur moyenne, 27 de Legendre, 57
du produit de Weierstrass, 54 Fresnel, Augustin, 82, 93 Gauss, Carl Friedrich, 1, 2 Goldbach, Christian, 52 int´egrales de Fresnel, 82, 93 isomorphisme holomorphe, 67 Jensen, Johan Ludwig, 88 Jordan, Camille, 42 lacet, 21
Lagrange, Joseph Louis, 40, 86 Laurent, Pierre Alphonse, 34
m´eromorphe de sym´etrie de Schwarz, 29 des z´eros isol´es, 19
suite exhaustive de compacts, 62 support d’un chemin, 21
d´eriv´ees partielles de —, 5 z´ero
isol´e, 19 multiple, 19 simple, 19