III.4 Approximation num´erique de la fronti`ere d’exercice
III.4.3 Exemples num´eriques
Nous illustrons ci-dessous notre m´ethode d’approximation de la fronti`ere par diff´e- rents exemples num´eriques. Les deux premi`eres figures III.4 et III.5 correspondent `a des maturit´es tr`es petites (T1 = 0.05 et T2 = 0.01). La premi`ere repr´esente le vec-
teur {m.bjh; j = 0, . . . , N} comme une fonction de la maturit´e restante T − t = j.h
et le compare `a l’approximation asymptotique de la fronti`ere Am´ericaine donn´ee par (III.19) : s∗(jh) = m1− σ r jh ln 1 jh . (III.21)
Fig. III.4 – Repr´esentation de mbT−t comme une fonction de T − t et compa- raison avec l’approximation analytique (III.21), pour r = 0.08, σ = 0.25, T1 =
0.05, Nombre de pas = 30.
La deuxi`eme figure compare plutˆot notre m´ethode num´erique `a l’approximation analytique de Chen-Chadam-Stamicar donn´ee par (III.20) :
s∗(jh) = m exp(−p2σ2jh) exp p−0.5 ln(2πk2σ2jh), avec k = 2r
σ2. (III.22)
Fig. III.5 – Repr´esentation de mbT−t comme une fonction de T − t et compa- raison avec l’approximation analytique (III.22), pour r = 0.08, σ = 0.20, T2 =
0.01, Nombre de pas = 40.
Nous pouvons noter `a travers ces deux exemples que la fronti`ere mbT−t que nous
construisons approche bien les solutions analytiques (III.21) et (III.22).
Quant aux deux derni`eres figures III.6 et III.7, elles comparent notre fronti`ere mbT−t = {m.bjh ; j = 0, . . . , N} `a celle d’Elliott et de ses co-auteurs (voir l’an-
nexe A), pour des maturit´es plus grandes : T3 = 5 et T4 = 10. Ici aussi, notre
approximation num´erique donne des r´esultats satisfaisants.
Fig. III.6 – Repr´esentation de mbT−t comme une fonction de T − t et com- paraison avec l’approximation d’Elliott et al., pour r = 0.08, σ = 0.25, T3 =
5, Nombre de pas = 40.
Approximation num´erique de la fronti`ere d’exercice Section III.4
Fig. III.7 – Repr´esentation de mbT
−t comme une fonction de T − t et com-
paraison avec l’approximation d’Elliott et al., pour r = 0.08, σ = 0.25, T4 =
10, Nombre de pas = 50.
Signalons enfin que notre approximation num´erique pourra ˆetre compar´ee `a d’autres m´ethodes num´eriques de calcul de la fronti`ere Am´ericaine et am´elior´ee en cons´e- quence.
Le but de cette section n’est pas vraiment de trouver une solution aboutie en toute g´en´eralit´e, mais plutˆot d’amorcer la r´eflexion sur la possibilit´e d’approcher la fron- ti`ere via la d´ecomposition Max-Plus.
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Chapitre III
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Chapitre IV
Existence de la
d´ecomposition Max-Plus
des surmartingales
R´esum´e
Ce chapitre a pour objectif d’´etablir l’existence de la d´ecomposition des surmartin- gales dans l’alg`ebre Max-Plus, en utilisant essentiellement des techniques simples de dualit´e convexe.
Pour cela, nous introduisons une famille convexe d’enveloppes de Snell index´ee par un param`etre r´eel m et nous ´etudions ses propri´et´es en tant que fonction de m. Puis, nous consid´erons des probl`emes d’arrˆet optimal associ´es `a cette famille d’enveloppes de Snell et nous montrons que la d´ecomposition des surmartingales (D)-r´eguli`eres (quasi-continues `a gauche, de la classe (D)) est ´etroitement li´ee `a la r´esolution de tels probl`emes.
L’´etape suivante est d’utiliser notre th´eor`eme de d´ecomposition Max-Plus pour g´e- n´eraliser les r´esultats du chapitre III sur les Calls Am´ericains. Les sous-jacents consi- d´er´es ne sont plus forc´ement des surmartingales mais des processus g´en´eraux (D)- r´eguliers.
Enfin, nous reconsid´erons les diff´erentes ´etapes de la d´ecomposition Max-Plus dans un cadre Markovien, afin de mettre en ´evidence l’aspect Markovien des processus impliqu´es.
IV.1
Introduction
Ce chapitre a pour objectif d’´etablir l’existence de la d´ecomposition des surmartin- gales dans l’alg`ebre Max-Plus. Pour cela, nous allons utiliser des m´ethodes de dualit´e convexe qui s’av`erent tr`es efficaces pour ce genre de probl`eme.
Dans notre contexte, Whittle ´etait le premier `a introduire dans son papier [Whi80] une famille convexe de probl`emes d’arrˆets optimaux, en vue de r´esoudre le probl`eme du bandit. Depuis, la mˆeme id´ee a ´et´e exploit´ee par d’autres auteurs, comme El Karoui-Karatzas [KK95] pour le probl`eme du bandit, Bank-El Karoui [BK04] ou encore El Karoui-F¨ollmer [Kl05] pour obtenir une repr´esentation non-lin´eaire de processus g´en´eraux (voir la remarque III.10 et la section IV.6).