Ce chapitre propose une nouvelle approche au probl`eme classique de maximisation d’utilit´e sous des contraintes de type Am´ericain, en se basant sur la notion d’ordre stochastique convexe. Comme il a d´ej`a ´et´e soulign´e, l’attrait principal de la domi- nance stochastique r´eside dans le fait qu’elle ´evite toute hypoth`ese arbitraire concer- nant la forme de la fonction d’utilit´e. Elle n’impose aucune sp´ecification explicite de la fonction d’utilit´e de l’agent.
Il est `a noter que les crit`eres de l’ordre convexe ont pu ˆetre employ´es ici parce que nous avons consid´er´e un nouvel environnement dans lequel les portefeuilles auto- finan¸cants sont des martingales.
Le probl`eme pos´e admet une solution optimale dans le cadre d’un march´e complet, puisque tous les actifs contingents sont r´eplicables. De ce fait, le portefeuille optimal ne d´efinit pas seulement une martingale locale mais une vraie martingale.
Signalons enfin que l’optimisation est essentiellement bas´ee sur la d´ecomposition des surmartingales dans l’alg`ebre Max-Plus, qui permet d’exprimer toute martingale de la classe (D) sous forme d’esp´erance conditionnelle d’un certain processus de running supremum.
R´ef´erences bibliographiques
Chapitre VI
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Chapitre VII
Martingales d’Az´ema-Yor
et D´ecomposition
Max-Plus
R´esum´e
Les martingales d’Az´ema-Yor ont initialement servi `a r´esoudre le probl`eme de Sko- rohod, et grˆace `a leurs propri´et´es remarquables, elles ont suffi dans de nombreux cas `a obtenir des r´esultats d’acc`es difficile (cf. [Obl05]).
Nous d´efinirons donc tout d’abord les martingales d’Az´ema-Yor. Ensuite, nous iden- tifierons ces martingales aux martingales Max-Plus et nous montrerons notamment comment elles permettent de repr´esenter toute surmartingale, fonction concave d’une martingale de r´ef´erence, sous forme d’esp´erance conditionnelle d’un certain running supremum.
Cette repr´esentation est extrˆemement utile en finance puisqu’elle permet entre autres de d´ecrire de mani`ere pr´ecise la fronti`ere d’arrˆet optimal pour des Calls Am´ericains ´ecrits sur de tels sous-jacents et de d´eterminer des formules ferm´ees pour les prix. Nous donnerons dans ce chapitre quelques exemples bas´es sur des processus de dif- fusion uni-dimensionnels et grˆace `a la sym´etrie Call-Put, nous d´eriverons une r`egle universelle de pricing (en fonction du strike) pour des Puts Am´ericains “classiques” dans le cadre d’un mod`ele de diffusion `a volatilit´e locale.
Nous nous tournerons enfin vers les applications des martingales d’Az´ema-Yor en op- timisation de portefeuille. Nous verrons par exemple qu’elles permettent de r´esoudre les probl`emes suivants :
– trouver la meilleure martingale dominant un plancher donn´e par rapport `a l’ordre
convexe sur les valeurs terminales,
– trouver des martingales optimales v´erifiant certaines contraintes de drawdown.
Introduction Section VII.1
VII.1
Introduction
Les martingales d’Az´ema-Yor ont ´et´e introduites par les auteurs pour r´esoudre le probl`eme de Skorohod, qui consiste `a trouver un temps d’arrˆet int´egrable pour lequel le mouvement Brownien arrˆet´e `a cet instant a une distribution donn´ee.
Plus pr´ecis´ement, soient (Bt) un mouvement Brownien `a une dimension issu de
l’origine et µ une loi de probabilit´e sur R, centr´ee et admettant un moment du second ordre. Appelons Ψµ(x) le barycentre de la restriction de µ `a [x,∞), et posons
B∗
t = sups6tBs. L’objet principal de l’article [AY79] par J. Az´ema et M. Yor, ´etait
de montrer que le temps d’arrˆet
T = inf{t ; Bt∗ >Ψµ(Bt)}
r´esout le probl`eme de Skorohod relatif `a µ. Autrement dit, il satisfait aux conditions suivantes :
(a) La loi de BT est µ.
(b) E[T ] = RRx2dµ(x).
Pour cela, les auteurs ont utilis´e de mani`ere intensive le r´esultat suivant : si f est de classe C1, le processus
f (Bt∗) + (Bt − Bt∗)f0(Bt∗)
est une martingale locale, appel´ee martingale locale d’Az´ema-Yor. Ce point de vue s’est r´ev´el´e tr`es efficace dans les probl`emes de calibration implicite, et les options sur variance.
Plusieurs solutions ont ´et´e propos´ees. Citons par exemple les articles de Dubins [Dub68], Root [Roo69], Chacon-Walsh [CW76], Lehoczky [Leh77], Bass [Bas83], Val- lois [Val83]...
R´ecemment, Cox et Hobson ont propos´e dans [CH05] un point de vue unifi´e pour ces diff´erentes repr´esentations. Mais le plus important pour nous est la caract´erisation de Obloj [Obl05] des martingales d’Az´ema-Yor comme ´etant les seules martingales qui s’´ecrivent comme une fonction du mouvement Brownien et de son processus du maximum. Plus g´en´eralement, toute martingale c`adl`ag d´ependant uniquement d’une martingale donn´ee N et de son running supremum N∗
t = sup06s6tNs est une
martingale d’Az´ema-Yor qui s’´ecrit sous la forme f (Nt∗) + (Nt− Nt∗)f0(Nt∗).
En d´epit de leur simplicit´e, ces martingales locales ont servi `a r´esoudre des probl`emes particuli`erement ´epineux.
En ce qui nous concerne, les martingales d’Az´ema-Yor s’av`erent tr`es utiles pour repr´esenter toute surmartingale, fonction concave d’une martingale de r´ef´erence, sous forme d’esp´erance conditionnelle du running supremum d’un certain indice. Ceci permet de d´eduire des formules ferm´ees pour les Calls Am´ericains ´ecrits sur de tels sous-jacents, et donne une description pr´ecise de la fronti`ere d’arrˆet optimal. Des exemples utiles reposant sur des diffusions unidimensionnelles sont propos´es dans ce chapitre.
D’autres probl`emes d’optimisation peuvent se r´esoudre par les martingales d’Az´ema- Yor, comme par exemple :
– trouver la meilleure martingale dominant un plancher donn´e par rapport `a l’ordre convexe sur les valeurs terminales. Nous avons vu au chapitre VI que les martin- gales “Max-Plus” sont des solutions optimales. Nous montrons dans ce chapitre que les martingales d’Az´ema-Yor fournissent des exemples de d´ecompositions Max- Plus, o`u nous pouvons faire des calculs explicites sans aucune hypoth`ese de type accroissements ind´ependants et stationnaires.
– trouver des martingales optimales v´erifiant des contraintes de type “drawdown”. En effet, un fonds garanti (avec des contraintes de type “drawdown”) est sens´e offrir la possibilit´e de tirer le meilleur parti des hausses des march´es actions sans aucun risque pour le capital investi. Dans la plupart des cas, il permet, au terme du fonds, de b´en´eficier d’une valeur liquidative au moins ´egale `a un certain pour- centage (70 % par exemple) de la plus haute valeur liquidative ou la plus haute performance observ´ee quotidiennement d`es la fin de la p´eriode de souscription et jusqu’`a l’´ech´eance du fonds, et ce quelle que soit l’´evolution des march´es financiers.