Exemples de changement d’observateur

Ψ ΨΨ (t) · (xxx_t⁽²⁾−xxx⁽¹⁾_t )^ ⇔ ∀ {P⁽¹⁾, P⁽²⁾}, ΨΨΨ (t) · Qe QQ_t· (xxx⁽²⁾_t −xxx⁽¹⁾_t ) =RQQQt(ΨΨΨ (t)) ·RQQQt(xxx_t⁽²⁾−xxx⁽¹⁾_t ) ⇔ ∀ {P⁽¹⁾, P⁽²⁾}, ΨΨ (t) · QΨe QQ_t· (xxx⁽²⁾_t −xxx⁽¹⁾_t ) =RQQQt(ΨΨΨ (t)) · QQQ_t· (xxx⁽²⁾_t −xxx⁽¹⁾_t ) ⇔ ΨΨΨ (t) =e RQQQt(ΨΨΨ (t))

On laisse le soin au lecteur de vérifier que la caractérisation [th.3.11] est bien valable dans les cas particuliers p = 0, p = 1 et p = 2 envisagés précédemment. Elle est donc valable pour tout tenseur d’ordre 0 ou plus si pour les tenseurs d’ordre 0 (scalaires ou invariants) on pose :

RQQQ_t(x) = x

Rappels d’algèbre – La rotation par QQQtd’un tenseur TTTd’ordre p> 1 s’écrit avec le produit tensoriel de Kronecker : RQQQt(TTT) = (QQQ_t · · · QQQ_t | {z } ptermes ) ⊗^pTTT où (QQQ_t · · · QQQ_t)ⁱ1···i_p j₁··· j_p= Q_tⁱ1 j₁· · · Q_tip jp

Pour p = 2, on vérifie aisément queRQQQt(TTT) = (QQQ_tQQQ_t) : TTT = QQQ·TTT·QQQ^>_t

3.5 Exemples de changement d’observateur

3.5.1 Changement d’observateur du gradient de la transformation

 Théorème 3.12 – Non objectivité du gradient de la transformation. Le gradient de la trans-formation est un champ matériel tensoriel du second ordre non objectif. Sa formule de change-ment d’observateur est :

e F F

Démonstration – Considérons une biparticule {P, P⁰} quelconque. La formule de changement d’ob-servateur de sa position actuelle est :

e

xxx_t^P0−_exxx_t^P= QQQt· (xxxP⁰ t −xxxP

t) [éq. (1.6) p.17] (3.11)

En particulier, pour t = t₀il vient : e

xxx^P₀⁰−_exxx^P₀= QQQ₀· (xxx^P₀⁰−xxx^P₀) (3.12) où QQQ₀est la valeur du tenseur de changement d’observateur à l’instant t₀.

La définition du gradient de la transformation en_exxx₀pour un observateur eR est : e xxx_t^P0−_exxx_t^P= eFFF· (_exxx^P₀⁰−_exxx^P₀) + k_exxx^P₀⁰−_exxx^P₀kOOO(exxx^P₀⁰−_exxx^P₀) QQQ_t· (xxx_t^P0−xxx^P_t) = eFFF·QQQ₀· (xxx^P₀⁰−xxx^P₀) + kQQQ₀· (xxx^P₀⁰−xxx^P₀)kOOO(QQQ₀· (xxx^P₀⁰−xxx^P₀)) [éq. (3.11) et (3.12)] = eFFF·QQQ₀· (xxx₀^P0−xxx^P₀) + kxxx^P₀⁰−xxx^P₀kOOO0(xxx₀^P0−xxx^P₀) (QQQ0orthogonal) xxx_t^P0−xxx_t^P= QQQ^>_t · eFFF·QQQ₀· (xxx^P₀⁰−xxx₀^P) + kxxx^P₀⁰−xxx^P₀kQQQ^>_t ·OOO0(xxx^P₀⁰−xxx^P₀) xxx_t^P0−xxx_t^P= QQQ^>_t · eFFF·QQQ₀· (xxx^P₀⁰−xxx^P₀) + kxxx^P₀⁰−xxx^P₀kOOO00(xxx^P₀⁰−xxx^P₀) (3.13) Or la définition du gradient de la transformation pour l’observateurR est :

xxx_t^P0−xxxP t = FFF· (xxxP⁰ 0 −xxxP 0) + kxxx^P₀⁰−xxxP 0kOOO(xxxP⁰ 0 −xxxP 0) (3.14)

En comparant les équations (3.13) et (3.14) [p.44], on trouve la relation : FFF= QQQ^>_t · eFFF·QQQ₀ ⇔ FFFe= QQQ_t·FFF·QQQ^>₀

qui est la formule de changement d’observateur du gradient de la transformation. Cette formule est différente de la caractérisation d’une grandeur tensorielle du second ordre objective [th.3.7p.42].

3.5.2 Opérateurs différentiels eulériens sur des champs objectifs

 Théorème 3.13 – Objectivité du gradient eulérien d’un champ objectif. Le gradient eulé-rien d’un champ matériel tensoriel d’ordre p> 0 objectif est un champ matériel tensoriel d’ordre p+ 1 objectif :

Ψ Ψ

Ψ (P, t) objectif ⇒ grad_EΨΨΨ (P, t) objectif

Démonstration – Soit ΨΨΨ (P, t) un champ matériel objectif. Sa formule de changement d’observateur est donc :

e Ψ

ΨΨ (P, t) =RQQQt(ΨΨΨ (P, t)) [th.3.11p.43] (3.15) La variation de ΨΨΨ pour deux particules P et P⁰est :

e Ψ

ΨΨ (P⁰,t) − eΨΨΨ (P, t) =RQQQt ΨΨΨ (P⁰,t)
−RQQQt ΨΨΨ (P, t)
[éq. (3.15)]

=RQQQt ΨΨΨ (P⁰,t) −ΨΨΨ (P, t)
(propriété des rotations)

grad_EΨΨΨ · (e _exxx⁰_t−_exxx_t) =RQQQt grad_EΨΨΨ · (xxx_t⁰−xxx_t)

(déf. du gradient eulérien)

=RQQQt grad_EΨΨΨ
·RQQQt(xxx_t⁰−xxx_t) (propriété des rotations)

grad_EΨΨΨ · (e _exxx⁰_t−_exxx_t) =RQQQt grad_EΨΨΨ
· (_exxx_t⁰−_exxx_t) [éq. (1.6) p.17]

Cette égalité étant vraie quelle que soit la biparticule {P, P⁰}, et donc ∀ (_exxx_t⁰−_exxx_t), il vient : grad_EΨΨΨ =e RQQQt grad_EΨΨΨ

ce qui est la formule de changement d’observateur d’une grandeur objective [éq. (3.9) p.43].

La version eulérienne des opérateurs différentiels divergence, rotationnel et laplacien a été définie dans les équations (2.25) [p.29]. À partir de l’objectivité du gradient eulérien de tout champ matériel objectif [th.3.13p.44], on en déduit facilement l’objectivité des opérateurs différentiels qui en dérivent :

3.5 Exemples de changement d’observateur 45

 Théorème 3.14 – Objectivité des opérateurs différentiels eulériens de champs objectifs. L’application des opérateurs différentiels eulériens à des champs matériels objectifs engendre des champs matériels objectifs.

Démonstration –

div_EΨΨΨ = grade _EΨΨ : GΨe GG=RQQQt(grad_EΨΨΨ ) : GGG= div_EΨΨΨ (carRQQQt(GGG) = GGG)

On procède de même pour le rotationnel eulérien carRQQQt(HHH) = HHH.

L’objectivité du laplacien eulérien ∆∆∆_EΨΨΨ = div_Egrad_EΨΨΨ se déduit de l’objectivité de la divergence eulérienne d’un champ objectif.

3.5.3 Opérateurs différentiels eulériens sur des champs matériels non objectifs

Contrairement aux grandeurs objectives, la formule de changement d’observateur des grandeurs non objectives n’est pas connue a priori : elle est spécifique à chaque grandeur non objective. Il faut donc établir la formule de changement d’observateur au cas par cas en appliquant la définition universelle de la grandeur non objective pour chaque observateur. On peut alors vérifier si la formule de changement d’observateur du gradient eulérien de ces champs est conforme ou non à celle d’une grandeur objective. Il se peut que l’application d’opérateurs eulériens à des champs matériels non objectifs conduise à un champ matériel objectif. Par exemple, on montrera plus loin que, bien que le champ des vitesses ne soit pas objectif, sa divergence eulérienne [th.5.9p.86] et son laplacien eulérien [th.5.24p.96] sont néanmoins des champs matériels respectivement scalaire et vectoriel objectifs⁽²⁾.

3.5.4 Opérateurs différentiels lagrangiens sur des champs matériels objectifs

 Théorème 3.15 – Non objectivité du gradient lagrangien d’un champ objectif. Le gradient lagrangien d’un champ matériel tensoriel d’ordre p objectif est un champ matériel tensoriel d’ordre p + 1 non objectif :

Ψ Ψ

Ψ (P, t) objectif ⇒ grad_EΨ (P, t) non objectif

Démonstration – Soit ΨΨΨ (P, t) un champ matériel objectif. Sa formule de changement d’observateur est :

e Ψ

ΨΨ (P, t) =RQQQt(ΨΨΨ (P, t)) [th.3.11p.43] (3.16) La variation de ΨΨΨ pour deux particules P et P⁰est :

e

ΨΨΨ (P⁰,t) − eΨΨΨ (P, t) =RQQQt Ψ (PΨΨ ⁰,t)
−RQQQt ΨΨΨ (P, t)
[éq. (3.16)]

=RQQQt ΨΨΨ (P⁰,t) −ΨΨΨ (P, t)
(propriété des rotations)

grad_LΨΨΨ · (e _exxx₀⁰−_exxx0) =RQQQt grad_LΨΨΨ · (xxx⁰₀−xxx₀)

(déf. du gradient lagrangien)

=RQQQt grad_LΨΨΨ
·RQQQt (xxx⁰₀−xxx₀)

(propriété des rotations)

grad_LΨΨΨ · (e _exxx⁰₀−_exxx₀) =RQQQt grad_LΨΨΨ
·RQQQt R_QQQ>

0(_exxx⁰₀−_exxx₀)
(ch. obs. à l’instant de référence)

6=RQQQt grad_LΨΨΨ
·RQQQt (_exxx⁰₀−_exxx₀)

 Théorème 3.16 – L’application des opérateurs différentiels lagrangiens à des champs matériels objectifs engendre des champs matériels non objectifs.

Démonstration – La non objectivité du gradient lagrangien d’un champ objectif entraîne celle des versions lagrangiennes de la divergence, du rotationnel et du laplacien qui en découlent [éq.(2.24) p.29].

Exemple – La divergence lagrangienne d’un champ objectif ΨΨΨ (scalaire, vectoriel ou tensoriel) s’écrit : div_LΨΨΨ = grad_EΨΨΨ : FFF^>[éq. (2.26) p.30]. Pour un observateur eR, elle s’écrit :

div_LΨΨΨ = grade _EΨΨΨ : ee FFF^> (définition de la divergence lagrangienne pour eR)

= (QQQ_t· grad_EΨΨΨ · QQQ^>_t ) : eFFF^> (ΨΨΨ objectif ⇒ grad_EΨΨΨ objectif)

= (QQQ_t· grad_EΨΨΨ · QQQ^>_t ) : (QQQ_t·FFF·QQQ^>₀)^> (changement d’observateur de FFF)

= (QQQ_t· grad_EΨΨΨ · QQQ^>_t ) : (QQQ0·FFF^>·QQQ^>_t )

6= grad_EΨΨΨ : FFF^>= divLΨΨΨ (à cause de la présence de QQQ₀dans la ligne précédente)

3.5.5 Opérateurs lagrangiens appliqués à des champs non objectifs

On ne peut rien dire de général sur les opérateurs lagrangiens appliqués à des champs (scalaires, vectoriel ou tensoriels) non objectifs, car contrairement aux champs objectifs, la formule de changement d’observateur des champs non objectifs n’est pas connue a priori. Il faut donc vérifier au cas par cas.

3.5.6 Changement d’observateur de la dérivée particulaire d’un champ objectif

Rappel – La définition de la dérivée particulaire d’un champ matériel ΨΨΨ (P, t) est [déf.2.16p.30] : ˙

Ψ ΨΨ = ^∂∂∂

∂ t^{ΨΨΨ (P, t)} (dérivée à P constant)

 Théorème 3.17 – Objectivité de la dérivée particulaire d’un champ scalaire objectif. La dérivée particulaire d’un champ matériel scalaire objectif est un champ matériel scalaire objectif.

Démonstration – Soit Ψ (P,t) un champ matériel scalaire objectif. Sa formule de changement d’ob-servateur est donc : eΨ (P, t) = Ψ (P, t) [déf.3.2p.40]. La dérivée particulaire pour un observateur eR s’écrit : ˙ e Ψ (P, t) = ^∂ ∂ t^{Ψ (P, t) =e} ∂ ∂ t^{Ψ (P, t) = ˙Ψ (P, t)} (3.17) ce qui est la formule de changement d’observateur d’une grandeur scalaire objective [déf.3.2p.40].

 Théorème 3.18 – Non objectivité de la dérivée particulaire d’un champ objectif non sca-laire . La dérivée particusca-laire d’un champ matériel objectif non scasca-laire est un champ matériel non objectif.

Démonstration – La formule de changement d’observateur d’une grandeur vectorielle objective est : e

Ψ

ΨΨ (P, t) = QQQ_t·ΨΨΨ (P, t) [th.3.11p.43]

La dérivée particulaire du champ ΨΨΨ (P, t) pour un observateur eR s’écrit : ˙ e Ψ ΨΨ = ^∂∂∂ ∂ t e ΨΨΨ (P, t) = ^∂∂∂ ∂ t(QQQ_t·ΨΨΨ ) =dQQQ_t dt ·ΨΨΨ + QQQ_t·^{∂∂∂ΨΨΨ} ∂ t =^dQQQt dt ·ΨΨΨ + QQQ_t· ˙ΨΨΨ 6= QQQ_t· ˙ΨΨΨ

La dérivée particulaire d’un champ matériel vectoriel objectif est donc un champ vectoriel non objectif.

Il en est de même pour la dérivée particulaire de tout champ matériel objectif ΨΨΨ non scalaire, car la formule de changement d’observateur des champs non scalaires objectifs contient toujours la rotation QQQ_t. Il s’ensuit que la relation entre les dérivées particulaires du champ non scalaire pour deux observateurs contient nécessairement des dérivées _dt^dQQQ_t du tenseur de changement d’observateur.

3.6 En bref ... 47 Remarque réservée aux lecteurs initiés à la MMC – La non objectivité de la dérivée particulaire de grandeurs vectorielles ou tensorielles objectives a troublé certains auteurs, qui pensaient (à tort) que cette dérivée particulaire devait l’être pour que les « lois tangentes » ou « lois incrémentales » de la forme ˙σσσ = fff ( ˙XXX) où XXXest un tenseur de déformation, soient universelles⁽³⁾. On peut écrire sans inconvénient des relations universelles entre grandeurs non objectives. Un exemple de loi incrémentale universellequi est une relation entre dérivées particulaires (donc non objectives) de tenseurs objectifs est donné dans le cours Comportement élastique(4), du même auteur.

3.6 En bref ...

L’objectivité est une propriété de certaines grandeurs physiques scalaires vectorielles ou ten-sorielles. La valeur actuelle des grandeurs objectives non scalaires a la même orientation par rapport à la position actuelle de la matière pour tous les observateurs.

Si QQQt est le tenseur de changement d’observateur actuel entre deux observateurs quelconquesR et eR en mouvement relatif quelconque, la formule de changement d’observateur des valeurs actuelles de toute grandeur objective est :

e Ψ Ψ

Ψ (t) =RQQQt(ΨΨΨ (t)) où RQQQt(ΨΨΨ (t)) est la rotation par QQQt du tenseur ΨΨΨ (t). Si la grandeur est un tenseur d’ordre zéro (un scalaire) alorsRQQQ_t(Ψ (t)) = Ψ (t).

Le changement d’observateur de la valeur actuelle d’une grandeur physique objective, revient donc à la faire tourner par la même rotation que les positions actuelles des biparticules. Les « positions relatives » de la grandeur physique actuelle et de la matière actuelle sont donc les

mêmes.

On a donné quelques exemples de grandeurs objectives et non objectives :

– les opérateurs différentiels eulériens appliqués à des champs matériels objectifs engendrent des champs matériels objectifs ;

– il se peut aussi que des opérateurs eulériens appliqués à certains champs matériels non objectifs engendrent des champs objectifs ;

– en revanche, les opérateurs différentiels lagrangiens appliqués à des champs matériels objectifs n’engendrent pas des champs matériels objectifs ;

– seules les dérivées particulaires de champs matériels scalaires sont des champs matériels scalaires objectifs.

(3)Ces auteurs disent « lois objectives » à la place de « lois universelles » [remarque Confusion courante p.15]. Cette confusion amène certains auteurs à inventer des « dérivées objectives » qui sont bien des quantités objectives mais qui ne sont en aucun cas des dérivées particulaires de tenseurs.

(4)Disponible àhttp://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00827790, ou bien http://jean.garrigues.perso.centrale-marseille.fr/elas.html