gradient eulérien est objectif [sec.3.5.3p.45].
Théorème 5.26 – Objectivité de rotErotEvvv. Le double rotationnel eulérien du champ des vitesses est un champ vectoriel objectif.
Démonstration – Par définition du rotationnel eulérien [éq. (2.25) p.29], rotErotEvvv= − gradE(gradErotEvvv) : HHH
où gradErotEvvvest objectif [th.5.25p.96]. Or un opérateur différentiel eulérien appliqué à un champ objectif est objectif [th.3.14p.45]. Le résulat est donc objectif.
Remarque – Bien que le rotationnel eulérien des vitesses ne soit pas objectif [th.5.22p.95], son rotationnel eulérien est un champ vectoriel objectif [sec.3.5.3p.45].
Écoulements « irrotationnels » – En mécanique des fluides, on considère parfois des écoulements particuliers dits « irrotationnels » tels que rotEvvv= 000. La formule de changement d’observateur de rotEvvv[éq. (5.36) p.95] montre que si un écoulement est irrotationnel pour un observateur, il n’est pas irrotationnel pour un autre observateur. Cette caractéristique d’un écoulement n’est donc pas une caractéristique universelle.
En revanche, le gradient eulérien du rotationnel eulérien des vitesses (gradErotEvvv) est un champ tensoriel d’ordre 2 objectif [th.5.25p.96]. Ce gradient, ses opérateurs différentiels dérivés ainsi que leurs parties symétriques ou antisymétriques, sphériques ou de trace nulle voire leur décomposition polaire pourraient éventuellement servir à la définition universelle d’une « vorticité », pourvu que cette définition soit cinématiquement motivée.
Enfin, il se trouve que les deux grandeurs objectives construites à partir du tenseur tourbillon WWW (non objectif) [th.5.25p.96] et [th.5.26p.97] peuvent s’exprimer avec des opérateurs différentiels eulériens appliqués au seul tenseur des taux de déformation objectif DDDavec les identités suivantes :
gradErotEvvv= rot>EDDD ; rotErotEvvv= 2HHH: asym rotEDDD
Ces identités prouvent à nouveau que ces quantités sont bien objectives car rotEDDDest un tenseur du second ordre objectif [th.3.14p.45]. Il semble donc à l’auteur que la « définition » du tenseur tourbillon [déf.5.19p.94], non cinématiquement motivée, ne soit pas indispensable.
5.9 En bref...
Le tenseur des taux de déformation DDD= sym gradEvvvest un champ tensoriel du second ordre objectif qui permet de calculer :
– le taux de dilatation linéique actuel d’une direction matérielle, – le taux de dilatation surfacique actuel d’une facette matérielle, – le taux de dilatation volumique actuel,
– le taux de distorsion angulaire actuel, – le taux de distorsion stérique actuel.
Toutes ces grandeurs scalaires sont objectives.
En revanche, le vecteur vitesse de rotation d’une direction matérielle est une grandeur vectorielle non objective. De même, le tenseur tourbillon WWW = asym gradEvvv et son vecteur adjoint le vecteur tourbillon www=12rotEvvvsont des grandeurs non objectives.
Bien que le champ des vitesses ne soit pas objectif, sa divergence eulérienne et son laplacien eulérien sont des champs respectivement scalaire et vectoriel objectifs.
6
Synthèse de la cinématique des
milieux continus
La cinématique des milieux continus est l’analyse les mouvements d’un milieu continu par rapport à un observateur. On y a défini des grandeurs cinématiques scalaires vectorielles ou tensorielles dont on a pu analyser les changements lorsque l’on change d’observateur. Les grandeurs vectorielles ou tensorielles objectives sont celles dont la valeur actuelle a la même disposition par rapport à la position actuelle de la matière pour tous les observateurs ; leur formule de changement d’observateur est la même que celle de la position actuelle de toute biparticule, c’est-à-dire la rotation par QQQt (valeur actuelle du tenseur de changement d’observateur) :
e ψ ψ
ψ (t) =RQQQt ψψψ (t) (si Ψ est scalaire,RQQQt ψ (t) = Ψ (t) ⇒Ψ (t) = Ψ (t))e
La position actuelle d’une particule, la vitesse actuelle d’une particule, l’accélération actuelle d’une particule sont des champs vectoriels non objectifs. Les trajectoires, lignes de courant, lignes d’émission sont donc des courbes différentes d’un observateur à l’autre.
L’analyse des déformationsentre un instant de référence et un instant actuel, qui n’intéresse a priorique les mécaniciens des solides déformables, a conduit à la définition de tenseurs de déformations (certains objectifs et d’autres non) permettant de calculer en une particule (chacun avec des formules différentes) les grandeurs cinématiques scalaires suivantes :
– la dilatation linéique actuelle dans une direction matérielle, – la dilatation surfacique actuelle dans une facette matérielle, – la dilatation volumique actuelle en une particule,
– la distorsion stérique actuelle de trois directions matérielles initialement orthogonales, – la distorsion angulaire actuelle de deux directions matérielles initialement orthogonales. Toutes ces grandeurs scalaires sont objectives.
À chaque instant il existe en toute particule P des directions matérielles orthonormées qui sont principales. Les dilatations linéiques dans ces directions matérielles sont dites principales : elles sont des extrémums des dilatations linéiques actuelles dans toutes les directions matérielles issues de la particule P.
Dans le cas de petites déformations, il est possible d’écrire des expressions simplifiées, mais approximatives, pour les dilatations linéique, surfacique et volumique actuelles.
L’analyse des vitesses de déformationa conduit à la définition d’un tenseur des taux de défor-mation objectif qui permet d’évaluer en une particule les grandeurs cinématiques scalaires suivantes(1):
– le taux de dilatation linéique actuel dans une direction matérielle, – le taux de dilatation surfacique actuel dans une facette matérielle, – le taux de dilatation volumique actuel en une particule,
– le taux de distorsion angulaire actuel de deux directions matérielles initialement orthogonales, – la dérivée temporelle de l’angle actuel de deux directions matérielles,
– le taux de distorsion stérique actuel de trois directions matérielles initialement orthogonales, – la dérivée temporelle actuelle du produit mixte de trois directions matérielles actuelles. Toutes ces grandeurs scalaires sont objectives.
En revanche, la vitesse de rotation des directions matérielles n’est pas une grandeur objective. La cinématique des milieux continus ne fait que décrire les mouvements, les déformations et les vitesses de déformation, sans se préoccuper des causes qui les provoquent. La relation entre le mouvement et les sollicitations extérieures fait l’objet du cours suivant : Équations générales des milieux continus(2), du même auteur.
(2)Disponible àhttp://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00696063, ou bien http://jean.garrigues.perso.centrale-marseille.fr/mmc.html