Exemples d’analyse et de synthèse VSH

F_θ0= ¹₂PN n=0 br⁽⁰⁾n (f ) ¯Vn⁽⁰⁾(θ) + ci⁽⁰⁾n (f ) ¯Wn⁽⁰⁾(θ) F_φ0 = ¹₂PN n=0−cr_n⁽⁰⁾(f ) ¯V_n⁽⁰⁾(θ) + bi⁽⁰⁾_n (f ) ¯W_n⁽⁰⁾(θ) ^(3.34) Les relations de synthèse permettent de déterminer rapidement F(f, θ, φ) pour des directions particulières (θ_k, φ_k). Le choix de l’ordre de la décomposition N est lié aux dimensions de l’antenne et à la fréquence étudiée [88]. Plus les variations angulaires du diagramme de rayonnement de l’antenne sont importantes, plus N est élevé. Plus la valeur de N est grande, plus l’erreur de reconstruction sera petite.

Contrairement à l’analyse VSH, la synthèse fait appel uniquement à des opérations simples et est donc peu gourmande en temps de calcul.

3.4.4 Exemples d’analyse et de synthèse VSH

Dans les parties précédentes, on a présenté le formalisme adopté pour la description complète des fonctions vectorielles d’antennes pour les outils de modélisation déterministes du canal. Afin de valider ce formalisme sur des antennes réelles, des décompositions VSH sont réalisées sur plusieurs antennes, vues dans 3.3 :

• l’antenne dipôle filaire inclinée d’un angle de 45^◦ par rapport à l’axe Oz de son repère local, simulée sur N EC^{T M}

• l’antenne monocône développée au CEA-Leti, simulée sur HF SST M

• l’antenne “thomson filtrante”, mesurée à l’IETR • l’antenne “taiyoyuden”, mesurée à l’IETR

En complément, l’annexe E montre les résultats obtenus dans le cas des antennes “thom-son” et “taiyoyudenA”.

Ceci permet de vérifier la similitude entre les fonctions d’antennes initiales et recons-truites.

Les diagrammes de rayonnement des antennes dipôle et monocône sont obtenus à 4GHz par simulation, avec une résolution spatiale de 5^◦ sur 4π stéradians, correspondant à 72 points en azimut et 37 points en élévation (figure 3.47). Au total, pour une fréquence don-née, 2664 vecteurs complexes (5328 données complexes) sont nécessaires pour la description complète des fonctions vectorielles d’antennes simulées.

Le rayonnement des antennes “thomson filtrante” et “taiyoyuden” est obtenu par me-sure à 4GHz avec une résolution spatiale de 3^◦ sur 4π stéradians, soit 128 points en azimut et 65 points en élévation. Au total, 1497600 vecteurs complexes (2995200 données complexes) sont nécessaires pour la description complète des fonctions vectorielles de ces antennes. Les diagrammes de rayonnement correspondants sont donnés sur la figure 3.48.

Fig. 3.47: Diagrammes de rayonnement en puissance simulés à 4GHz des antennes dipôle à gauche et monocône à droite

Fig. 3.48: Diagrammes de rayonnement en puissance mesurés à 4GHz pour les antennes “thomson filtrante” à gauche et “taiyoyuden” à droite

La figure 3.49 montre le module normalisé (en dB) des coefficients VSH en fonction de l’ordre n et du mode m de la décomposition jusqu’à l’ordre 20 pour les antennes simulées. Sur la figure 3.49, on remarque que les coefficients significatifs sont limités à b_r pour le dipôle. Parmi ceux-ci, le degré et le mode sont limités à n = 4 et m = 3. Ce faible nombre de coefficients s’explique par la simplicité et la symétrie du diagramme de rayonnement de l’antenne dipôle (figure 3.47). Pour l’antenne monocône, les coefficients significatifs sont limités à br et à ci, et la majorité de ceux-ci ont pour mode m = 0, ce qui correspond à un comportement omnidirectionnel en azimut. L’ordre n est par contre élevé (n = 15), ce qui traduit des variations significatives en élévation.

Fig. 3.49: Module des coefficients VSH à 4GHz en fonction de l’ordre n et du mode m pour les deux antennes ULB simulées : le dipôle à gauche, le monocône à droite De façon analogue, la figure 3.50 montre le module normalisé (en dB) des coefficients VSH en fonction de l’ordre n et du mode m de la décomposition pour les antennes mesu-rées. Par rapport aux antennes simulées, on remarque une augmentation significative du nombre de coefficients. On constate des valeurs importantes sur l’ensemble des coefficients br, bi, cr, ci générés par l’analyse VSH. Cela s’explique par les variations importantes des diagrammes de rayonnement des antennes mesurées. De plus, les coefficients observés sont plus nombreux pour l’antenne “taiyoyuden” que pour l’antenne “thomson filtrante”. Ceci peut être justifié au vu des fonctions d’antennes. Le diagramme de rayonnement de l’an-tenne “thomson filtrante” est symétrique alors que celui de l’anl’an-tenne “taiyoyuden” présente des asymmétries, ce qui entraîne une augmentation du nombre des coefficients significatifs pour la synthèse VSH. Enfin, pour l’antenne “thomson filtrante”, les coefficients observés sont négligeables, en particulier pour des modes m > 3 et des ordres n > 25. Pour l’an-tenne “taiyoyuden” les coefficients deviennent négligeables pour des modes et des ordres plus élevés m > 5 et n > 65, respectivement.

Les figures 3.51 à 3.54 présentent les fonctions vectorielles d’antennes d’origine et les fonctions d’antenne après l’analyse et la synthèse VSH. On remarque que ces fonctions semblent correctement reconstruites par cette méthode, à la fois en amplitude et en phase. Afin de quantifier un peu mieux la qualité de ces reconstructions, le tableau 3.3 donne les erreurs quadratiques relatives (en pourcentage) entre les fonctions d’antennes synthétisées et d’origine. Ces erreurs sont calculées en utilisant les formules (3.35). Pour avoir une vue d’ensemble, ce tableau inclut aussi les résultats montrés en annexe E pour les autres an-tennes. On remarque que la reconstruction par synthèse VSH conserve parfaitement les

Fig. 3.50: Module des coefficients VSH à 4GHz en fonction de l’ordre n et du mode m pour les antennes ULB mesurées : “thomson filtrante’ à gauche’, “taiyoyuden” à droite

caractéristiques de toutes les antennes étudiées, avec des erreurs sur la fonction vecto-rielle globale d’antenne variant de 0.004% (pour l’antenne dipôle) à 1.89% (pour l’antenne “taiyoyudenA”). Les résultats montrent des erreurs de reconstruction plus importantes pour les fonctions vectorielles d’antennes mesurées. On peut raisonnablement expliquer cet écart par deux constatations :

• les diagrammes d’antennes mesurés présentent des variations plus importantes que ceux simulés

• les fonctions d’antennes mesurées ne sont pas parfaitement continues aux pôles (voir 3.2.3)

Fig. 3.51: Evaluation de la reconstruction de la fonction vectorielle de rayonnement à 4GHz pour l’antenne dipôle sur : le module à gauche, la phase à droite

     M SE_θ= √ P |F_θr(f,θ,φ)−F_θo(f,θ,φ)|2 √ P |F_θo(f,θ,φ)|2+|F_φo(f,θ,φ)|2100 (%) M SE_φ= √ P |F_φr(f,θ,φ)−F_φo(f,θ,φ)|2 √ P |F_θo(f,θ,φ)|2+|F_φo(f,θ,φ)|2100 (%) (3.35)

En conclusion, les erreurs de reconstruction obtenues par la synthèse VSH restent très faibles. Dans l’étude qui vient d’être présentée, l’ensemble des coefficients VSH obtenus

Fig. 3.52: Evaluation de la reconstruction de la fonction vectorielle de rayonnement à 4GHz pour l’antenne monocône sur : le module à gauche, la phase à droite

Fig. 3.53: Evaluation de la reconstruction de la fonction vectorielle de rayonnement à 4GHz pour l’antenne “thomson filtrante” sur : le module à gauche, la phase à droite

Fig. 3.54: Evaluation de la reconstruction de la fonction vectorielle de rayonnement à 4GHz pour l’antenne “taiyoyuden” sur : le module à gauche, la phase à droite

Type d’antenne Erreur de reconstruction (en %)

Vecteur global Composante en θ Composante en φ

antenne dipôle 0.004 0.003 0.002

antenne monocône 0.02 0.02 0.01

antenne “thomson” 1.25 0.88 0.89

antenne “thomson filtrante” 1.22 0.86 0.87

antenne “taiyoyuden” 1.77 1.24 1.27

antenne “taiyoyudenA” 1.89 1.30 1.37

Tab. 3.3: Erreurs quadratiques relatives entre les fonctions d’antennes d’origine et celles reconstruites par synthèse VSH

par analyse est utilisé pour la synthèse. Ainsi, d’un point de vue volume de données, la description de l’antenne par ses coefficients VSH nécessite autant de données que la description 3D sur tous les points (θ, φ).