Exemple de R.S. Wilson - Analyse Numérique I Sup'Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM F

.Des calculs exacts donnent

461600 , 31504261

461600 ,´3741501

230800,5235241 461600

« p´39.61,68.25,´16.21,11.34q

Soient APM_npKq inversible et bbbPKⁿ. Axxx “bbb

De petites erreurs sur les données engendrent-elles de petites erreurs sur la solution?

Non, pas forcément!

Le système linéaire prédédent est mal conditionné.

On dit qu'un système linéaire est bien conditionné ou qu'il a un bon conditionnement si de petites perturbations des données n'entrainent qu'une variation raisonnable de la solution.

Est-il possible de "mesurer" le conditionnement d'une matrice?

Denition 12.1

Soit }.} une norme matricielle subordonnée, le conditionnement d'une matrice régulièreA, associé à cette norme, est le nombre

condpAq “ }A}›

›A^-1›

›. Nous noterons cond_ppAq “ }A}_p›

›A^-1›

›p.

Proposition:

SoitA une matrice régulière. On a les propriétés suivantes

1 @αPK^˚,condpαAq “condpAq.

2 condppAq ě1,@p P v1,`8w.

3 cond2pAq “1 si et seulement si A“αQavecα PK^˚ etQ matrice unitaire

Théorème 13:

SoitAune matrice inversible. Soient xxx et xxx```∆x∆∆x les solutions respec-x tives de

Axxx “bbb et Apxxx```∆∆∆xxxq “bbb```∆∆∆bbb. Supposons bbb ‰000,alors l'inégalité

}∆∆∆xxx}

}xxx} ďcondpAq}∆∆∆bbb}

}bbb}

est satisfaite, et c'est la meilleure possible : pour une matriceAdonnée, on peut trouver des vecteurs bbb ‰000 et∆∆∆bbb ‰000 tels qu'elle devienne une égalité.

Théorème:

Soient A etA`∆A deux matrices inversibles. Soient xxx et xxx```∆∆∆xxx les solutions respectives de

Axxx “bbb et pA`∆Aq pxxx```∆∆∆xxxq “bbb. Supposons bbb ‰000,alors on a

}∆x∆∆xx}

}xxx```∆∆∆xxx} ďcondpAq}∆A}

}A} .

Remarque 13.1

Une matrice est donc bien conditionnée si son conditionnement est proche de 1.

Plan

1 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

FactorisationLU

Résultats théoriques Utilisation pratique

FactorisationLDL^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d'un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

2 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

3 Conditionnement d'un système linéaire

4 Méthodes itératives Principe

Notations

Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Méthode de relaxation Etude de la convergence Algorithmes

Principe de base Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel

Méthodes itératives Principe 2017/09/21 74 / 103

Méthodes itératives pour la résolution du système linéaire Axxx “bbb.

Trouver une matrice d'itérationB et d'un vecteur ccc telles que xxx^r^k^`¹^s “Bxxx^r^k^s`ccc, k ě0, xxx^r⁰^s arbitraire vérie

klimÑ8xxx^r^k^s“xxx avec˜ xxx˜“A^-1bbb

Plan

1 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

FactorisationLU

Résultats théoriques Utilisation pratique

FactorisationLDL^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d'un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

2 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

3 Conditionnement d'un système linéaire

4 Méthodes itératives Principe

Notations

Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Méthode de relaxation Etude de la convergence Algorithmes

Principe de base Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel

Méthodes itératives Notations 2017/09/21 76 / 103

Soit APM_npKq une matrice régulière, avec@i P v1,nw, ai,i ‰0

Plan

1 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

FactorisationLU

Résultats théoriques Utilisation pratique

FactorisationLDL^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d'un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

2 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

3 Conditionnement d'un système linéaire

4 Méthodes itératives Principe

Notations

Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Méthode de relaxation Etude de la convergence Algorithmes

Principe de base Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel

Méthodes itératives Méthode de Jacobi 2017/09/21 78 / 103

Axxx “bbb ðñ @i, b_i “ ÿn

j“1

a_i,jx_j “

i´1

j“1

a_i,jx_j `a_i,ix_i` ÿn

j“i`1

a_i,jx_j

La méthode itérative de Jacobi : b_i “

i´1

j“1

a_i,jx_j^r^k^s`a_i,ix_i^r^k^`¹^s` ÿn

j“i`1

a_i,jx_j^r^k^s @i P v1,nw

bbb“Dxxx^r^k^`¹^s´Exxx^r^k^s´Fxxx^r^k^s

ou encore

x_i^r^k^`¹^s“ 1 a_ii

˜ b_i ´

ÿn

j“1,j‰i

a_ijx_j^r^k^s

@i P v1,nw

xxx^r^k^`¹^s“D^-1pE`Fqxxx^r^k^s`D^-1bbb

Axxx “bbb ðñ @i, b_i “ ÿn

j“1

a_i,jx_j “

i´1

j“1

a_i,jx_j `a_i,ix_i` ÿn

j“i`1

a_i,jx_j

La méthode itérative de Jacobi : b_i “

i´1

j“1

a_i,jx_j^r^k^s`a_i,ix_i^r^k^`¹^s` ÿn

j“i`1

a_i,jx_j^r^k^s @i P v1,nw

bbb“Dxxx^r^k^`¹^s´Exxx^r^k^s´Fxxx^r^k^s ou encore

x_i^r^k^`¹^s“ 1 a_ii

˜ b_i ´

ÿn

j“1,j‰i

a_ijx_j^r^k^s

@i P v1,nw

xxx^r^k^`¹^s“D^-1pE`Fqxxx^r^k^s`D^-1bbb

Plan

1 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

FactorisationLU

Résultats théoriques Utilisation pratique

FactorisationLDL^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d'un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

FactorisationQR

2 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

3 Conditionnement d'un système linéaire

4 Méthodes itératives Principe

Notations

Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Méthode de relaxation Etude de la convergence Algorithmes

Principe de base Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Jeux algorithmiques

Méthodes itératives Méthode de Gauss-Seidel 2017/09/21 80 / 103

Axxx “bbb ðñ @i, b_i “ ÿn

j“1

a_i,jx_j “

i´1

j“1

a_i,jx_j `a_i,ix_i` ÿn

j“i`1

a_i,jx_j

La méthode itérative de Gauss-Seidel : bi “ai,ix_i^r^k^`¹^s`

i´1

j“1

ai,jx_j^r^k^`¹^s` ÿn

j“i`1

ai,jx_j^r^k^s @i P v1,nw

bbb“Dxxx^r^k^`¹^s´Exxx^r^k^`¹^s´Fxxx^r^k^s

ou encore

x_i^p^k^`¹^q“ 1 a_ii

˜ b_i ´

i´1

j“1

a_ijx_j^r^k^`¹^s´ ÿn

j“i`1

a_ijx_j^r^k^s

@i P v1,nw

xxx^r^k^`¹^s “ pD´Eq^-1Fxxx^r^k^s` pD´Eq^-1bbb

Axxx “bbb ðñ @i, b_i “ ÿn

j“1

a_i,jx_j “

i´1

j“1

a_i,jx_j `a_i,ix_i` ÿn

j“i`1

a_i,jx_j

La méthode itérative de Gauss-Seidel : bi “ai,ix_i^r^k^`¹^s`

i´1

j“1

ai,jx_j^r^k^`¹^s` ÿn

j“i`1

ai,jx_j^r^k^s @i P v1,nw

bbb“Dxxx^r^k^`¹^s´Exxx^r^k^`¹^s´Fxxx^r^k^s ou encore

x_i^p^k^`¹^q“ 1 a_ii

˜ b_i ´

i´1

j“1

a_ijx_j^r^k^`¹^s´ ÿn

j“i`1

a_ijx_j^r^k^s

@i P v1,nw

xxx^r^k^`¹^s “ pD´Eq^-1Fxxx^r^k^s` pD´Eq^-1bbb

Plan

1 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

FactorisationLU

Résultats théoriques Utilisation pratique

FactorisationLDL^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d'un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

2 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

3 Conditionnement d'un système linéaire

4 Méthodes itératives Principe

Notations

Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Méthode de relaxation Etude de la convergence Algorithmes

Principe de base Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel

Méthodes itératives Méthode de relaxation 2017/09/21 82 / 103

Soit w PR^˚.

x_i^r^k^`¹^s “wˆx_i^r^k^`¹^s` p1´wqx_i^r^k^s

où xˆ_i^r^k^`¹^s est obtenu à partir de l'une des deux méthodes précédentes.

Avec la méthode de Gauss-Seidel : méthode S.O.R. (successive over relaxation)

x_i^r^k^`¹^s “ w a_ii

˜ bi´

i´1

j“1

aijx_j^r^k^`¹^s´ ÿn

j“i`1

aijx_j^r^k^s

` p1´wqx_i^r^k^s @i P v1,nw

Exercice 14.1:

Déterminer la matrice d'itération Bet le vecteur ccc tels que xxx^r^k^`¹^s“Bxxx^r^k^s`ccc

en fonction deD,E,F,et bbb.

Proposition:

On pose L“D^-1E etU“D^-1F.

La matrice d'itération de la méthode de Jacobi, notée J, est donnée par

J“D^-1pE`Fq “L`U, (31) La matrice d'itération de la méthode S.O.R., notéeL_w,est donnée par

L_w “ ˆD

w ´E

˙_-1ˆ 1´w

w D`F

“ pI´wLq^-1pp1´wqI`wUq. et elle vérie (32)

ρpL_wq ě |w ´1|. (33) La matrice d'itération de Gauss-Seidel estL₁ et elle correspond à

L₁“ pD´Eq^-1F“ pI´Lq^-1U. (34)

Plan

1 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

FactorisationLU

Résultats théoriques Utilisation pratique

FactorisationLDL^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d'un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

FactorisationQR

2 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

3 Conditionnement d'un système linéaire

4 Méthodes itératives Principe

Notations

Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Méthode de relaxation Etude de la convergence Algorithmes

Principe de base Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Jeux algorithmiques

Méthodes itératives Etude de la convergence 2017/09/21 85 / 103

Théorème:

SoitAune matrice régulière décomposée sous la formeA“M´Navec Mrégulière. On pose

B“M^-1N et ccc “M^-1bbb. Alors la suite dénie par

xxx^r⁰^s PKⁿ et xxx^r^k^`¹^s “Bxxx^r^k^s`ccc

converge versxxx¯“A^-1bbb quelque soit xxx^r⁰^s si et seulement siρpBq ă1.

Corollaire:

Soit A une matrice vériant a_i,i ‰ 0 @i. Une condition nécessaire de convergence pour la méthode S.O.R. est que 0ăw ă2.

Théorème: voir Lascaux-Théodor, vol.2, Théorème 19 et 20, pages 346 à 349

Soit Aune matrice à diagonale strictement dominante ou une matrice inversible à diagonale fortement dominante alors

‚ la méthode de Jacobi est convergente,

‚ si w Ps0,1sla méthode de Relaxation est convergente.

Théorème

SoitAune matrice hermitienne inversible en décomposée enA“M´N où M est inversible. Soit B “ I´ M^-1A, la matrice de l'itération.

Supposons queM^˚`N(qui est hermitienne) soit dénie positive. Alors ρpBq ă1 si et seulement siA est dénie positive.

Théorème

Soit A une matrice hermitienne dénie positive, alors la méthode de relaxation converge si et seulement si w Ps0,2r.

Plan

1 Méthodes directes Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Exercices et résultats préliminaires

Méthode de Gauss-Jordan

Ecriture algébrique

FactorisationLU

Résultats théoriques Utilisation pratique

FactorisationLDL^˚ Factorisation de Cholesky

Résultats théoriques

Résolution d'un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky

FactorisationQR

2 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

3 Conditionnement d'un système linéaire

4 Méthodes itératives Principe

Notations

Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Méthode de relaxation Etude de la convergence Algorithmes

Principe de base Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Jeux algorithmiques

Méthodes itératives Algorithmes 2017/09/21 89 / 103

Dans le document Analyse Numérique I Sup'Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM François Cuvelier (Page 94-118)