Algorithme 8 Fonction RSLFactLU permettant de résoudre, par une fac-torisationLU, le système linéaire
Axxx “bbb
oùAune matrice deMnpRqdénie positive et bbbPRn. Données : A : matrice deMnpRqdont les sous-matrices
principales sont inversibles dénie positive, bbb : vecteur de Rn.
Résultat : xxx : vecteur deRn.
1: Fonction xxx Ð RSLFactLU ( A,bbb )
2: rL,Us ÐFactLUpAq Ź FactorisationLU
3: yyy ÐRSLTriInfpL,bbbq Ź Résolution du systèmeLyyy “bbb
4: xxx ÐRSLTriSuppU,yyyq Ź Résolution du systèmeUxxx “yyy
5: Fin Fonction
Il nous faut donc écrire la fonction FactLU
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait la première ligne deLùñon peut calculer la première ligne deU
§ On connait la première colonne deUùñon peut calculer la première colonne deU
‚ Etape 2 :
§ On connait la deuxième ligne deL ùñon peut calculer la deuxième ligne deUcar on connait la première ligne deU
§ On connait la deuxième colonne deUùñon peut calculer la deuxième colonne deL car on connait la première colonne deL
‚ ...
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait la première ligne deLùñon peut calculer la première ligne deU
§ On connait la première colonne deUùñon peut calculer la première colonne deU
‚ Etape 2 :
§ On connait la deuxième ligne deL ùñon peut calculer la deuxième ligne deUcar on connait la première ligne deU
§ On connait la deuxième colonne deUùñon peut calculer la deuxième colonne deL car on connait la première colonne deL
‚ ...
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait la première ligne deLùñon peut calculer la première ligne deU
§ On connait la première colonne deUùñon peut calculer la première colonne deU
‚ Etape 2 :
§ On connait la deuxième ligne deL ùñon peut calculer la deuxième ligne deUcar on connait la première ligne deU
§ On connait la deuxième colonne deUùñon peut calculer la deuxième colonne deL car on connait la première colonne deL
‚ ...
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait la première ligne deLùñon peut calculer la première ligne deU
§ On connait la première colonne deUùñon peut calculer la première colonne deU
‚ Etape 2 :
§ On connait la deuxième ligne deL ùñon peut calculer la deuxième ligne deUcar on connait la première ligne deU
§ On connait la deuxième colonne deUùñon peut calculer la deuxième colonne deL car on connait la première colonne deL
‚ ...
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait la première ligne deLùñon peut calculer la première ligne deU
§ On connait la première colonne deUùñon peut calculer la première colonne deU
‚ Etape 2 :
§ On connait la deuxième ligne deL ùñon peut calculer la deuxième ligne deUcar on connait la première ligne deU
§ On connait la deuxième colonne deUùñon peut calculer la deuxième colonne deLcar on connait la première colonne de L
‚ ...
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
§ On connait la première ligne deLùñon peut calculer la première ligne deU
§ On connait la première colonne deUùñon peut calculer la première colonne deU
‚ Etape 2 :
§ On connait la deuxième ligne deL ùñon peut calculer la deuxième ligne deUcar on connait la première ligne deU
§ On connait la deuxième colonne deUùñon peut calculer la deuxième colonne deLcar on connait la première colonne de L
‚ ...
Soit APMnpKq admettant une factorisation LU.
On connait les i ´1 premières colonnes deL et les i´1 premières lignes deU.
Peut-on calculer la colonne i de Let la ligne i deU?
Par récurrence, en supposant les i ´1 premières colonnes deL et les i´1 premières lignes deU.
A“
Par récurrence, en supposant les i ´1 premières colonnes deL et les i´1 premières lignes deU.
A“
A“
Par récurrence, on suppose connues les i ´1 premières colonnes deLet les i´1 premières lignes deU.
Peut-on calculer la colonne i de Let la ligne i de U?
A“
A“
A“
A“
Algorithme9 R
0
1: CalulerlesmatriesLetU
Algorithme9 R
1
1: Pouri Ð1ànfaire
2: Calulerlalignei deU.
3: Calulerlaolonnei deL.
4: FinPour
Algorithme9 R
Algorithme9 R
2
10: FinPour
11: L
14: FinPour
15: FinPour
Algorithme9 R
10: FinPour
11: Li
14: FinPour
15:FinPour
Algorithme9 R
3
11: FinPour
12: L
16: FinPour
17:FinPour
Algorithme9 R
11: FinPour
12: Li
16: FinPour
17: FinPour
Algorithme9 R
4
11: FinPour
12: PourjÐ1ài´1faire
13: Lj
,iÐ0
14: FinPour
15: Li 20: FinPour
21: Lj
,iÐ 1
U
i,i
pAj,i´S2q.
22: FinPour
23:FinPour
Algorithme 9 FonctionFactLU permet de calculer les matricesLetUdites matrice de factorisationLUassociée à la matriceA,telle que
A“LU
Données : A : matrice deMnpKqdont les sous-matrices principales sont inversibles.
Résultat : L : matrice deMnpKqtriangulaire inférieure avec Li,i“1,@iP v1,nw
U : matrice deMnpKqtriangulaire supérieure.
1:FonctionrL,Us ÐFactLU(A)
2: UÐOn Ź Onmatrice nulle nˆn
3: LÐIn Ź Inmatrice identitée nˆn
4: Pour iÐ1 à n faire
5: Pour jÐi à n faire ŹCalcul de la ligne i deU
6: S1Ð0
7: Pour kÐ1 à i´1 faire 8: S1ÐS1`Lpi,kq ˚Upk,jq
9: Fin Pour
10: Upi,jq ÐApi,jq ´S1 11: Fin Pour
12: Pour jÐi`1 à n faire ŹCalcul de la colonne i deL
13: S2Ð0
14: Pour kÐ1 à i´1 faire 15: S2ÐS2`Lpj,kq ˚Upk,iq
16: Fin Pour
17: Lpj,iq Ð pAj,i´S2q {Upi,iq.
18: Fin Pour 19: Fin Pour
Plan
1 Méthodes directes Matrices particulières
Matrices diagonales
Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures
Exercices et résultats préliminaires
Méthode de Gauss-Jordan
Ecriture algébrique
FactorisationLU
Résultats théoriques Utilisation pratique
FactorisationLDL˚ Factorisation de Cholesky
Résultats théoriques
Résolution d'un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky
FactorisationQR
2 Normes vectorielles et normes matricielles
Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices
3 Conditionnement d'un système linéaire
4 Méthodes itératives Principe
Notations
Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Méthode de relaxation Etude de la convergence Algorithmes
Principe de base Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Jeux algorithmiques
Méthodes directes Factorisation LDL˚ 2017/09/21 33 / 103
Soit APMnpCqhermitienne inversible admettant une factorisation LU.
On pose
D“diagUetR“D-1U.
R est alors triangulaire supérieure à diagonale unité. On a alors A“LU“LDD-1U“LDR.
A hermitienneA˚“A ùñ A“R˚pD˚L˚q “LpDRq Par unicité de la factorisationLU:
R˚“L etD˚L˚ “DR ùñ R˚“Let D˚ “D
Théorème 6: Factorisation LDL˚
Soit A P MnpCq une matrice hermitienne inversible admettant une factorisation LU.AlorsAs'écrit sous la forme
A“LDL˚ (9)
où D“diagUest une matrice à coecients réels.
Corollaire 6.1:
Une matrice A P MnpCq admet une factorisation LDL˚ avec L P MnpCqmatrice triangulaire inférieure à diagonale unité etDPMnpRq matrice diagonale à coecients diagonaux strictement positifs si et seulement si la matrice Aest hermitienne dénie positive.
Plan
1 Méthodes directes Matrices particulières
Matrices diagonales
Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures
Exercices et résultats préliminaires
Méthode de Gauss-Jordan
Ecriture algébrique
FactorisationLU
Résultats théoriques Utilisation pratique
FactorisationLDL˚ Factorisation de Cholesky
Résultats théoriques
Résolution d'un système linéaire Algorithme : Factorisation positive de Cholesky
2 Normes vectorielles et normes matricielles
Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices
3 Conditionnement d'un système linéaire
4 Méthodes itératives Principe
Notations
Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Méthode de relaxation Etude de la convergence Algorithmes
Principe de base Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel
Méthodes directes Factorisation de Cholesky 2017/09/21 36 / 103
Denition
Une factorisation régulière de Cholesky d'une matrice APMnpCq est une factorisation A “ BB˚ où B est une matrice triangulaire in-férieure inversible.
Si les coecients diagonaux de B sont positifs, on parle alors d'une factorisation positive de Cholesky.
Théorème: Factorisation de Cholesky
La matrice APMnpCq admet une factorisation régulière de Cholesky si et seulement si la matrice Aest hermitienne dénie positive. Dans ce cas, elle admet une unique factorisation positive.
Soit APMnpCqhermitienne dénie positive et bbbPCn.On note Bla matrice de factorisation positive de Cholesky deA.
Trouver xxxPCn tel que
Axxx “bbb pðñ BB˚xxx “bbbq (10) est équivalent à
Trouver xxxPCn solution de
B˚xxx “yyy (11) avec yyyPCn solution de
Byyy “bbb. (12)
Soit APMnpCqhermitienne dénie positive et bbbPCn.On note Bla matrice de factorisation positive de Cholesky deA.
Trouver xxxPCn tel que
Axxx “bbb pðñ BB˚xxx “bbbq (10) est équivalent à
Trouver xxxPCn solution de
B˚xxx “yyy (11) avec yyyPCn solution de
Byyy “bbb. (12)