A.2 Mod`eles de r´eactions chimiques
B.2.2 Exemple : instabilit´es interfaciales de Kelvin-Helmholtz
L’´etude d’une couche de m´elange du type de celle pr´esent´ee figure B.1 s’av`ere compliqu´ee `a la fois du point de vue exp´erimental, puisqu’il est tr`es difficile d’imposer `a l’´ecoulement de base de rester strictement unidi- rectionnel sans ´evolution aucune dans la direction x, et du point de vue th´eorique, puisque, mˆeme dans la configuration id´ealis´ee unidirectionnelle, des calculs num´eriques sont n´ecessaires pour calculer les modes nor- maux de l’´equation de Rayleigh (B.22). Les choses sont plus simples pour un syst`eme comportant une interface plane entre un fluide lourd se d´epla¸cant lentement et un fluide l´eger se d´epla¸cant plus rapidement, syst`eme que l’on peut consid´erer heuristiquement comme une couche de m´elange d’´epaisseur nulle. Une r´ealisation ex- p´erimentale de ce syst`eme est pr´esent´e sur la figure B.2 ; on peut aussi penser, plus po´etiquement, au vent au dessus de la surface de la mer.
C’est un exercice classique d’hydrodynamique de niveau M1 que de consid´erer justement le cas id´eal non confin´e d’une mer infinie non visqueuse, de densit´e ρ et de vitesse U ˆx, surmont´ee d’une atmosph`ere infinie non vis- queuse, de densit´e ρget de vitesse Ugˆx. En tenant compte d’une tension superficielle de coefficient γ `a l’interface
92 Annexe B. Exemples compl´ementaires en hydrodynamique : ´ecoulements cisaill´es
Fig. B.3 – Diagramme de r´eponse de l’exp´erience de Meignin et al. (2003) `a des perturbations localis´ees d’amplitude A0 `a l’entr´ee du syst`eme. L’axe des abscisses indique les valeurs du param`etre de contrˆole principal, `a savoir la vitesse
d´ebitante de gaz Ug.
situ´ee dans la configuration de base en y = 0, ainsi que des effets de l’acc´el´eration de la pesanteur −gˆy, on obtient5 les valeurs propres du probl`eme ou plutˆot les « vitesses de phase » complexes du probl`eme6
c = ρU + ρgUg ρ + ρg ± i s ρρg (ρ + ρg)2(U − U g)2+g q ρg− ρ ρ + ρg − γ ρ + ρg q . (B.30)
On a instabilit´e si l’expression sous la racine est positive, avec alors deux modes de vitesses de phase complexes conjugu´ees7. Comme bien sˆur ρ
g < ρ, le second terme, de pesanteur, sous la racine, est naturellement stabili-
sant8. De mˆeme la tension superficielle s’oppose `a toute d´eformation de l’interface, comme le montre le dernier
terme toujours n´egatif. Par contre le terme de cisaillement en (U − Ug)2, toujours positif, est toujours d´estabili-
sant. Par optimisation vis-`a-vis du nombre d’onde q, on montre qu’une instabilit´e structurante oscillante se d´eveloppe lorsque le cisaillement |U − Ug| est suffisamment grand. Si l’application de cette th´eorie aux vagues
qui se forment `a la surface de la mer (la faire !) n’est pas totalement satisfaisante, notamment `a cause d’effets de turbulence non pris en compte ici, ce mod`ele simple est n´eanmoins int´eressant.
On peut aussi se poser la question du d´eveloppement non lin´eaire de ces « instabilit´es de Kelvin-Helmholtz ». L’´etude th´eorique correspondant au mod`ele id´ealis´e d´ecrit ci-dessus a ´et´e men´ee par Weissman (1979) ; on peut noter qu’elle sort du cadre strict pos´e section 1.1 puisque deux milieux continus s´epar´es par une interface doivent ˆetre consid´er´es. Weissman (1979) a montr´e que la bifurcation associ´ee aux instabilit´es de Kelvin-Helmholtz est typiquement sous-critique.
Dans la configuration exp´erimentale mise au point par Meignin et al. (2003), une bifurcation sous-critique a aussi ´et´e mise en ´evidence, de fa¸con particuli`erement propre puisque la r´eponse `a des perturbations localis´ees d’amplitude bien contrˆol´ee A0a ´et´e mesur´ee. Le diagramme de la figure B.3 montre les r´esultats de cette ´etude.
Il repr´esente une r´ealisation concr`ete et exp´erimentale du diagramme pr´edit th´eoriquement figure 2.5 ; d’ailleurs la courbe continue de la figure B.3 repr´esente un ajustement `a une ´equation de Landau strictement identique `a l’´equation (2.53). On peut aussi signaler que Meignin et al. (2003) ont pouss´e l’´etude jusqu’`a celles d’ondes modul´ees et non seulement pures, et ont montr´e qu’une ´equation de Ginzburg-Landau d’ordre 5 d´ecrit bien leurs observations.
5A l’aide d’un mod`` ele d’´ecoulements irrotationnels potentiels.
6Les hydrodynamiciens d´esignent l’´equation (B.30) comme une « relation de dispersion ». 7Cette situation est typique d’un syst`eme conservatif.
8Lorsque l’on met un fluide lourd au dessus d’un fluide l´eger, on a par contre un effet d´estabilisant de la pesanteur ; mais il
B.3. ´Ecoulement sujet `a des instabilit´es « visqueuses » : ´ecoulement de Poiseuille plan 93
B.3
Ecoulement sujet `´
a des instabilit´es « visqueuses » :
´ecoulement de Poiseuille plan
L’´ecoulement de Poiseuille plan (figure B.1) est en quelque sorte le mod`ele d’´ecoulement visqueux le plus simple. On peut le consid´erer comme se r´ealisant « au milieu » d’une conduite de section rectangulaire de grand rapport d’aspect, loin des bords les plus petits. En n´egligeant ces effets de bords, on consid`ere donc une configuration de base du syst`eme o`u le champ de vitesse
v = U0(y)ˆx = (1 − y2)ˆx (B.31)
est impos´e par un gradient de pression contrˆol´e −Gˆx constant. Les unit´es adimensionnelles utilis´ees sont la demi-´epaisseur de la conduite h pour les longueurs et la vitesse maximale du fluide U pour les vitesses ; un calcul hydrodynamique ´el´ementaire montre que U = Gh2/(2µ). Cette ´etude rentre bien sˆur dans le cadre
d´evelopp´e section B.1. Ainsi au stade lin´eaire les modes les plus dangereux, bidimensionnels, d´erivent d’une fonction courant (B.11), et peuvent ˆetre recherch´es sous la forme de modes normaux (B.20). Ils v´erifient donc l’´equation d’Orr-Sommerfeld (B.22) qui doit ˆetre munie des conditions limites (B.23) et (B.24).