2.5 Conclusion . . . 61
Dans ce chapitre, je présente le calcul des forces optiques puis les paramètres qui permettent de caractériser l’efficacité du piégeage. La structure que j’ai étudiée est détaillée et les méthodes numériques utilisées sont expliquées. Je présente ensuite les mécanismes de couplage ayant lieu entre particules métalliques mais aussi entre un guide d’onde SOI et un guide d’onde plasmo-nique. Enfin, le cas d’une grande chaîne plasmonique au-dessus d’un guide d’onde est exploré.
2.1 Modélisation mathématique du piégeage optique
Dans cette section, nous verrons qu’il est possible, selon certaines conditions, de séparer les forces optiques en deux contributions en fonction du régime dans lequel on se trouve. Deux paramètres permettant de caractériser les pièges entre eux sont également présentés.
2.1.1 Les forces optiques
Il existe plusieurs façons de déterminer les forces optiques. L’une d’elle consiste à calculer le tenseur de contrainte de Maxwell qui représente la densité de flux de la quantité de mouve-ment issu de l’interaction objet-champ électromagnétique. Ce tenseur peut s’écrire sous la forme suivante [75] : T = ε0ε−→ E−→E + µ0µ−→ H−→H −1 2(ε0εE 2+ µ0µH2)I (2.1)
où ε et µ représentent respectivement la constante diélectrique et la perméabilité magnétique du milieu environnant tandis que ε0 et µ0 correspondent à ces constantes prisent dans le vide. E et H sont respectivement les champs électrique et magnétique et I introduit la matrice unitaire. A partir de ce tenseur, le flux de la quantité de mouvement à travers une surface dans laquelle se situe l’objet à piéger est intégré pour calculer les forces optiques totales. L’équation suivante est alors obtenue [76] :
<−−→ Fopt>= 1 2ℜ Z S T −→n dS (2.2)
où S est la surface, n le vecteur normal à la surface et dirigé vers l’extérieur et ℜ la partie réelle du nombre complexe. Les brackets <...> correspondent à la moyenne temporelle sur une oscillation de la force optique totale.
Bien que cette technique de calcul des forces optiques soit courante et bien connue, ce n’est pas la meilleure approche dans notre cas. Nous préférerons calculer les forces optiques en consi-dérant la taille de la particule à piéger en fonction de la longueur d’onde de piégeage. Avec cette méthode, il faut calculer l’intégrale de la densité de force totale sur tout le volume de l’objet à piéger. Le principal avantage de cette nouvelle méthode est qu’elle ne nécessite pas un maillage très fin de la structure de calcul pour obtenir des résultats rapides et robustes. Trois comportements se distinguent :
• Lorsque le rayon de la particule à piéger est au moins dix fois plus grand que la longueur d’onde, la force totale est obtenue en sommant chaque contribution de rayon lumineux arrivant sur l’objet. L’illustration schématique est représentée sur la figure 2.1. Le rayon bleu possède une quantité de mouvement pin lorsqu’il arrive sur la bille et une quantité de mouvement pout lorsqu’il ressort de la bille. Pour connaître la quantité de mouvement transférée à l’objet, il faut sommer chaque contribution. La résultante est représentée par la flèche rouge. La force optique totale, pour le cas présenté ici, est donc dirigée parallèlement au rayon rouge.
• Lorsque le rayon de la particule à piéger est au moins dix fois plus petit que la longueur d’onde de piégeage, c’est le régime de Rayleigh aussi appelé approximation dipolaire. La force optique totale peut alors être vue comme la somme de deux forces. D’un côté une composante
2.1. MODÉLISATION MATHÉMATIQUE DU PIÉGEAGE OPTIQUE
Figure 2.1 – Illustration de l’interaction entre des rayons lumineux et la particule à piéger. appelée force de diffusion qui est une force dissipative liée à la pression de radiation. Cette force, dont l’expression est donnée ci-dessous, est reliée à l’intensité optique et plus particulièrement au vecteur de Poynting−→P [77] : <−−−→ Fdif f >= 8 3πa 6 k4n c m2− 1 m2+ 2 !2 |−→P| = 4 3πa 6 k4ε0n2 m 2 − 1 m2+ 2 !2 |−→E|2 (2.3) où a représente le rayon de la particule à piéger, k le nombre d’onde, n l’indice du milieu envi-ronnant et m le rapport entre l’indice de la particule à piéger et l’indice du milieu envienvi-ronnant. La transformation entre le vecteur de Poynting et le module carré du champ électrique ne peut prendre la forme présentée dans l’équation ci-dessus que dans le cas d’une onde plane. La force de diffusion est orientée parallèlement au faisceau du laser induisant une force de poussée de la particule dans la direction de propagation.
D’un autre côté, la composante dénommée force de gradient est liée au gradient d’intensité −
→
∇−→|E|2 et est toujours dirigée vers le point chaud du champ électromagnétique. Cette force conservative ramène la sphère dans la zone où −→|E|2 est maximale et s’écrit, dans ce cas, sous la forme suivante [77] : <−−−→ Fgrad>= πa3 ε0n2 m 2 − 1 m2+ 2 ! − → ∇|−→E|2 (2.4)
• Lorsque la particule à piéger a une taille similaire à la longueur d’onde, aucune séparation entre les forces n’est possible puisque les termes sont couplés entre eux. Sauf cas particulier comme considérer un objet sphérique à piéger, il n’est, en général, pas possible de déterminer une expression analytique simple et explicite de la force totale en fonction du champ électroma-gnétique.
A la vue de la taille des particules que nous souhaitons piéger (typiquement de la centaine de nanomètres) et de la longueur d’onde laser considérée (entre 1200 et 1700 nm), le calcul des
forces optiques est effectué en utilisant le régime intermédiaire.
2.1.2 Caractérisation d’un piège optique
Pour piéger un objet, il faut que ΣF = 0 ce qui signifie également que la dérivée de l’énergie potentielle doit être nulle soit ∇U = 0. Cette dernière expression indique qu’un objet est piégé lorsqu’il se situe sur un point d’équilibre de l’énergie potentielle. Or, chaque piège est différent selon la structure et la particule à piéger. Pour comparer les pièges entre eux, les paramètres définissant les performances des pinces optiques doivent être isolés. Un de ces paramètres est la constante de raideur k. Nous avons vu dans le chapitre précédent qu’elle modélisait la faculté du piège à faire revenir l’objet dans sa position piégée. En considérant un piège optique comme un ressort, la loi de Hooke peut être utilisée pour modéliser la constante de raideur. Selon la direction x il vient :
F = kx· x (2.5)
Pour déterminer la constante de raideur, il suffit de dériver la force totale, soit : kx = dF
dx (2.6)
La quantification des performances d’un piège doit également être effectuée en fonction de l’agi-tation thermique de l’environnement que subissent les objets dans un milieu liquide. Ashkin et al. [5] considèrent que le mouvement brownien est compensé lorsque le module de l’énergie potentielle optomécanique induite par le système est au moins 10 fois plus grande que l’énergie thermique kBT. En satisfaisant cette condition, l’objet est piégé de manière stable, indépen-damment de l’agitation thermique qu’il subit. Pour déterminer cette grandeur, il faut calculer la distribution de l’énergie potentielle U le long d’une direction en cherchant ses minima et en évaluant la profondeur pour chaque point où un minimum apparait. Dans notre cas, à partir de la force totale F, nous déterminerons une approximation de U aux endroits que la bille occupe. Puisque :
F = −∇U (2.7)
En considérant seulement la direction x et après intégration, il vient :
U = −Z Fxdx (2.8)
La relation entre l’énergie potentielle et la constante de raideur s’obtient en injectant l’équation 2.7 dans l’équation2.6, soit :
2.1. MODÉLISATION MATHÉMATIQUE DU PIÉGEAGE OPTIQUE
kx = −d 2U
dx2 (2.9)
Ou encore, après intégration :
U = −1
2kxx2+ cste (2.10)
La constante obtenue après intégration correspond à la position au centre du piège. Ces équa-tions ont été présentées en considérant seulement la direction x. Dans un cas 3D, pour obtenir l’ensemble des contributions, il suffit de sommer les composantes dans les 3 directions. Pour calculer ces deux paramètres, le cas d’un faisceau gaussien est considéré.
Grâce à l’équation 2.9, il est facile de comprendre la contribution de chaque paramètre. Si la constante de raideur est positive lorsque la force est nulle, l’objet est repoussé du centre du piège. La dérivée seconde de l’énergie potentielle est alors négative et forme une cloche comme représenté sur la figure2.2a. Lorsqu’une structure montre un tel comportement, elle ne peut pas piéger d’objet. En revanche, une constante de raideur négative attire l’objet. La dérivée seconde de l’énergie potentielle est positive et forme un puits qui retient l’objet dans le piège (figure 2.2b). Si la profondeur de ce puits satisfait, en plus, le critère d’Ashkin, alors l’objet reste piégé de façon stable même en présence d’une agitation thermique. Lorsque l’énergie potentielle est à son minimum, son rayon de courbure correspond à la constante de raideur. Ainsi, plus le puits d’énergie potentielle est étroit, plus la constante de raideur est grande et inversement.
(a) (b)
Figure 2.2 – Représentation schématique d’un piège optique dont la constante de raideur est (a) positive - (b) négative.
Notre objectif est double, obtenir une constante de raideur négative et un module de l’énergie potentielle supérieure à 10kBT. La section suivante présente les calculs théoriques pour obtenir ces deux grandeurs.
2.2 Calculs théoriques des forces optiques et des paramètres des pinces
op-tiques
2.2.1 Présentation de la structure
La structure étudiée lors de ma thèse, représentée sur la figure2.3, est constituée d’un guide d’onde SOI (silicon on insulator). Le guide d’onde est composé d’un substrat de silicium (non pris en compte lors des simulations), d’une couche de 2 µm de silice (HSiO21) et de 220 nm de silicium (HSi) qui constitue la partie guidante. La largeur de cette couche est de 500 nm (LSi) pour que le guide d’onde soit monomode TE (transverse électrique). Au-dessus du silicium, une fine couche de silice de 2 nm (HSiO22) est considérée pour tenir compte de l’oxydation naturelle du silicium.
Une chaîne linéaire de particules d’or de forme elliptique est positionnée au-dessus de ce guide d’onde. Le nombre de particules N est successivement pris entre 2 et 20 et chaque ellipse a une épaisseur de 30 nm. Les rayons rx et ry des ellipses mesurent respectivement 40 et 100 nm et l’espacement g entre deux ellipses adjacentes est testé entre 2,5 et 70 nm. L’espacement entre les deux ellipses n’est pas testé pour des valeurs plus petites que 2,5 nm afin de négliger les effets quantiques [78].
(a) (b)
Figure 2.3 – Représentation schématique de la structure étudiée composée d’un guide SOI couplé à une chaîne d’ellipses d’or (a) Vue en perspective - (b) Vue de dessus.
L’excitation plasmonique des particules d’or est effectuée par couplage évanescent avec le mode TE qui se propage dans le guide d’onde silicium. La longueur d’onde de résonance est celle où l’excitation de la chaîne de particules d’or est à son maximum. J’ai dimensionné les particules de manière à obtenir des résonances dans une gamme de longueur d’onde entre 1200 et 1700 nm. Nous verrons plus tard que chaque paramètre géométrique de la structure a une incidence sur cette longueur d’onde de résonance.
2.2. CALCULS THÉORIQUES DES FORCES OPTIQUES ET DES PARAMÈTRES DES PINCES OPTIQUES
Cette structure, initialement à l’air (n = 1), peut être immergée dans l’eau (n = 1,33) pour pouvoir disperser des billes de polystyrène (nb = 1,59) au-dessus. Plusieurs tailles de rayons r sont testées.
La structure constitue le point de départ du calcul théorique des forces optiques. Quelle que soit la méthode de simulation utilisée, les caractéristiques présentées demeurent inchangées si aucune indication n’est donnée.
2.2.2 Paramètres calculés par simulation FDTD
Pour déterminer les grandeurs des forces optiques, je me suis basée sur la méthode FDTD qui signifie Finite Difference Time Domain (ou en français Différences Finies dans le Domaine Temporel) qui est utilisée, entre autre, par le logiciel commercial 3D Lumerical. Cette méthode a été introduite par Yee [79] en 1966 pour la résolution dans le domaine temporel des équations de Maxwell sur une très large gamme spectrale. En 1980, Taflove [80], introduit l’acronyme FDTD et présente le 1er résultat validé par cette méthode pour un matériau diélectrique et une structure métallique.
Dans notre cas, la méthode FDTD est utilisée pour déterminer la réponse d’une excitation sur notre structure en calculant le champ total électromagnétique dans le domaine temporel et, par transformée de Fourier, dans le domaine spectral. Plus précisément, ce sont toutes les compo-santes du champ électromagnétique liées à l’interaction entre l’objet à piéger et notre structure qui sont calculées. A partir de ces résultats, les valeurs des forces optiques sont extraites.
Lors de nos simulations, les matériaux sont utilisés en considérant un modèle dispersif et à perte [81]. Pour coïncider avec les données réelles des matériaux, la permittivité de l’or a été déterminée par des mesures ellipsométriques et ensuite ajustée à l’aide d’un modèle de Drude [82]. Ainsi, la fréquence plasma est fixée à ωp = 1,29.1016 rad/s et la fréquence de collision à γ = 6,478.1013 rad/s.
La région de calcul est entourée d’une couche parfaitement absorbante (PML en anglais pour Perfectly Matched Layer). A l’intérieur de cette région de calcul, un maillage variable est utilisé avec au moins 34 mailles par longueur d’onde. Un maillage plus fin avec une résolution de 3×3×3 nm3 autour des ellipses est utilisé. Du fait de la proximité des nanoparticules d’or entre elles, un second maillage est ajouté au niveau de l’espacement et est fixé de manière à avoir toujours 15 points entre deux ellipses consécutives. Enfin un dernier maillage ayant une résolution de 1 nm est placé au niveau de la couche d’oxyde de silicium située sous les ellipses.
afin de caractériser les structures et de les comparer entre elles.
• L’étude de la transmission, la réflexion et l’absorption de la structure après la propagation de la lumière dans le guide d’onde SOI renseigne sur la longueur d’onde de résonance ainsi que l’efficacité du couplage.
• Le calcul du module carré du champ électrique informe sur la distribution modale et l’efficacité d’excitation des particules d’or.
• La constante de raideur indique l’efficacité avec laquelle l’objet est piégé. • Le puits de potentiel montre la stabilité du piège.
Pour déterminer les deux premiers paramètres, la structure ne possède pas d’objet à piéger contrairement au troisième et quatrième paramètre où une bille de polystyrène est considérée. Pour obtenir le comportement du piégeage, la bille est positionnée juste au-dessus de la structure et est déplacée selon la direction x en fixant l’axe y.
Lors de chaque calcul, nous ferons l’hypothèse que les forces électrostatiques répulsives et de Van der Waals sont absentes. Ces deux forces correspondent respectivement à des forces répulsives et attractives entre les objets à piéger et la surface d’interaction du piège. Dans le premier cas, la formation de charges à la surface de chaque élément génère une force de répulsion électrostatique. Dans le deuxième cas, les dipôles induits naturellement sur l’interface de chaque élément entraînent une force attractive très intense à courte distance [83].
Transmission/Réflexion/Extinction
L’étude de la transmission/réflexion est réalisée en plaçant des moniteurs de part et d’autre de la structure guidée comme représenté sur la figure 2.4. Ces moniteurs enregistrent, respecti-vement, la puissance transmise dans la structure après propagation du mode TE et celle qui est réfléchie dans l’autre direction. Lorsqu’il y a couplage entre le guide d’onde SOI et la chaîne plas-monique, une partie de la puissance est absorbée par cette dernière. L’extinction A est définie dans notre cas comme A = 1 - T - R avec T et R les puissances transmises et réfléchies.
Figure 2.4 – Représentation schématique de la structure simulée avec les moniteurs de trans-mission T et de réflexion R.
2.2. CALCULS THÉORIQUES DES FORCES OPTIQUES ET DES PARAMÈTRES DES PINCES OPTIQUES réflexion (courbe rouge) et d’extinction (courbe orange) en fonction de la longueur d’onde d’une chaîne de trois ellipses d’or ayant un espacement de 5 nm. La structure est plongée dans l’eau. La courbe bleue, correspondant à la courbe de transmission, met en évidence que la résonance de la structure plasmonique est à λres = 1,55 µm et possède une largeur à mi-hauteur de 136 nm. La courbe de réflexion étant très faible, il y a peu de réflexion. Quant à la courbe orange, elle indique que l’extinction des particules d’or à la longueur d’onde de résonance est égale à 59 %. Cette valeur démontre le fort couplage existant entre le guide d’onde SOI et la chaîne de trois ellipses d’or.
Figure 2.5 – Courbes de transmission (courbe bleue), réflexion (courbe rouge) et extinction (courbe orange) en fonction de la longueur d’onde pour une chaîne de trois ellipses au-dessus d’un guide d’onde SOI. La structure est placée dans l’eau.
Champ électrique
Le calcul du champ électrique est réalisé à partir d’un moniteur parallèle au plan (Oxy) et placé juste au-dessus de la structure plasmonique. Ce moniteur enregistre la variation du champ électrique en fonction de la longueur d’onde.
Une représentation typique du module carré du champ électrique |E|2 en fonction des axes x et y pris à la longueur d’onde de résonance λres = 1,55 µm et pour la même structure que précédemment est visible sur la figure 2.6. Le champ électrique est très concentré autour de chaque ellipse. Un couplage existe également entre la deuxième et la troisième ellipse puisqu’un champ électrique très intense est localisé entre ces dernières. L’échelle de couleurs située à côté de la figure est une indication de l’efficacité d’excitation de la structure et facilite la comparaison. Le calcul de |E|2 identifie la particule d’or qui résonne plus intensément en fonction de la longueur d’onde.
Constante de raideur
Pour le calcul de la constante de raideur, une bille de polystyrène est positionnée juste au-dessus de la structure. Tout autour de la bille, un moniteur 3D enregistre les forces optiques
Figure 2.6 – |E|2 à la longueur d’onde de résonance. La structure est composée d’un guide d’onde SOI couplé à une chaîne de trois ellipses espacées entre elles de 5 nm.
volumiques liées à l’interaction entre la bille et la structure étudiée. Ce moniteur fait partie des fonctions d’analyses présentent au sein du logiciel numérique 3D Lumerical. Pour calculer les forces optiques volumiques −−→Fvol, la formule utilisée est :
−−→
Fvol= εε0(−→∇ ·−→E)−→E + iωε0(εr− ε)−→E ×−→B (2.11) où εr correspond à la constante diélectrique du milieu environnant à travers le volume. Afin d’avoir l’évolution des forces optiques en fonction de la position de la bille, un balayage est effectué. La bille de polystyrène est déplacée selon l’axe de propagation du guide d’onde comme représenté sur la figure2.7en fixant les deux autres axes. La position de la bille selon l’axe y est choisie pour que la bille soit centrée par rapport au guide d’onde et aux ellipses d’or tandis que selon l’axe z, la bille est en contact avec les ellipses d’or. A chaque position de bille, les forces optiques sont calculées pour toute la gamme spectrale considérée préalablement.
Figure 2.7 – Schéma de principe du déplacement de la bille le long de l’axe de propagation du guide d’onde.
A partir de la force optique totale obtenue pour chaque emplacement de la bille, il est possible d’en extraire la constante de raideur en utilisant la formule2.6. Pour exemple, la figure
2.2. CALCULS THÉORIQUES DES FORCES OPTIQUES ET DES PARAMÈTRES DES PINCES OPTIQUES 2.8a représente la cartographie de la constante de raideur en fonction de la direction x et de la longueur d’onde pour une chaîne de 3 NPs d’espacement g = 30 nm. La bille de polystyrène à piéger a pour rayon r = 250 nm.
L’échelle de couleurs indique les zones où la constante de raideur est positive ou négative dans notre structure. Pour obtenir un piégeage, il a été démontré précédemment que la constante de raideur doit être négative. Cette condition correspond aux couleurs bleues/vertes sur cette figure. Pour faciliter la compréhension de cette cartographie, des lignes ont été ajoutées. Les lignes blanches correspondent au centre des ellipses d’or les plus à l’extrémité de la chaîne soit la 1ère et la 3ème ellipse pour une chaîne de 3 NPs. Les lignes en pointillé blanches signalent