Dans ce paragraphe, nous allons évaluer le conditionnement du système d’inversion en fonction du nombre de mesures utilisées pour résoudre le système et également en fonction de l’angle de prise de vue. Cette évaluation se fera sur des trajectoires synthétiques parfaites de cibles mobiles. Après avoir synthétisé une trajectoire circulaire parfaite pour le capteur RSO, nous présenterons les scénarios de cibles mobiles qui seront étudiés et nous évaluerons le conditionnement du système pour ces différents scénarios.
IV.2.4.1) Génération d’une trajectoire circulaire parfaite du capteur
Afin de ne pas prendre en compte les turbulences d’une trajectoire réelle d’un capteur aéroporté, nous avons généré une trajectoire circulaire parfaite du capteur pour la validation de la méthode développée (Figure 4.5). Les caractéristiques de cette trajectoire sont proches de celles des trajectoires réelles ayant servi pour l’acquisition des données étudiées pendant cette thèse, mais nous considérons par exemple que l’altitude du capteur est constante durant la trajectoire complète, ou encore que l’altitude du sol est égale à zéro. Les caractéristiques principales de cette trajectoire sont résumées par le Tableau 4.1.
A noter que nous générons des données indépendantes afin de simplifier l’analyse mathématique du système (les matrices de covariances, qui seront calculées dans les prochains chapitres, seront diagonales dans ce cas). Comme nous souhaitons que les données simulées aient une résolution azimut proche de celle de nos données réelles, il faut fixer l’intervalle entre deux images consécutives en conséquence. En effet, cet intervalle, noté ߂ߠ, vaut :
߂ߠ ؆ʹߩl
(4. 38)
Pour obtenir une résolution azimutaleߩ ൌ ͷͲܿ݉, nous devons prendre ߂ߠ environ égal à ʹι. Ceci justifie donc la valeur choisie et donnée dans le Tableau 4.1.
Figure 4.5 - Trajectoire synthétique parfaite pour le capteur RSO aéroporté. A gauche : vue de dessus. A droite : vue de côté.
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Symbole Description Valeur
ܦ Distance moyenne sol-capteur ͷͷͲͲ݉
ߩ Résolution distance ͵Ͳܿ݉
ߩ Résolution azimut ͷͲܿ݉
ܸௌ Vitesse du capteur ͳʹͲ݉Ǥ ݏିଵ
l Longueur d’onde d’émission ͲǤͲ͵݉
݅݊ܿ Incidence Ͳι
q Angle de squint Ͳι
߂ߠ Angle entre deux images ʹι
߂ܶ Intervalle de temps entre deux images ؆ ͳǤͶݏ
Tableau 4.1 - Paramètres de la trajectoire synthétique parfaite du capteur.
IV.2.4.2) Description des scénarios de cibles utilisés
Pour l’ensemble de notre étude théorique, nous utiliserons trois scénarios de cibles différents, mais ayant des comportements pouvant parfaitement correspondre au modèle utilisé lors de la reconstruction des trajectoires. En d’autres termes, les trajectoires que nous utiliserons seront donc soit à vitesse constante, soit à accélération constante, mais sans aucune perturbation extérieure. Ce choix vient du fait que les analyses mathématiques des performances de la méthode de reconstruction sont basées sur des estimations de gradients et de matices Hessiennes, et que ces matrices sont évaluées pour une solution exacte du système considéré.
Nous utiliserons donc deux trajectoires à vitesse constante (notées ܥଵ et ܥଶ) et une trajectoire à accélération constante (notée ܥଷ). Les caractéristiques de ces trajectoires sont données par le Tableau 4.2. Toutes ces trajectoires sont synthétisées de manière à passer par le centre du cercle au milieu de leur parcours. A cet instant, c’est-à-dire au temps correspondant à la moitié du parcours des cibles mobiles, le capteur sera au point ܯ (voir
Figure 4.6). Les matrices de covariance ainsi que les matrices de dérivées partielles seront
évaluées pour cette position de capteur et la cible mobile passant par le centre du cercle. La durée de parcours totale des cibles mobiles correspond à nouveau au temps que met le capteur pour parcourir ͳͺͲι.
Figure 4.6 - Scénarios de cible mobiles qui seront utilisés lors de l’analyse théorique des performances de la méthode de reconstruction des cibles mobiles.
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Nom ܸ ܣ
Angle entre la cible et le capteur (milieu de parcours)
ܥଵ ͷ݉Ǥ ݏିଵ Ͳ ͻͲι
ܥଶ ͷ݉Ǥ ݏିଵ Ͳ Ͳι
ܥଷ ͳͲ݉Ǥ ݏିଵ ͲǤͳ݉Ǥ ݏିଶ ͻͲι
Tableau 4.2 - Ensemble des caractéristiques des trajectoires étudiées.
IV.2.4.3) Evaluation de ࡴ
࢞Dans un premier temps, nous avons donc cherché à observer la valeur du conditionnement de la matrice ࡴ࢞ du système d’inversion permettant de reconstruire la trajectoire de cibles mobiles. Ce conditionnement est donc calculé pour différentes plages angulaires, le maximum étant deͳͺͲι. La courbe est obtenue par interpolation pour des excursions angulaires de ͳʹι, ʹͶι, ͵ι… jusqu’à ͳͺͲι, ce qui permet de limiter les temps de calculs. On présentera des résultats obtenus soit avec le modèle de cible mobile à accélération constante (voir Figure 4.7), soit avec le modèle de cible à vitesse constante (voir Figure 4.8). Les résultats sont représentés sous forme de courbes, l’axe des ordonnées étant une échelle logarithmique. Le conditionnement de ࡴ࢞ est représenté en fonction de l’excursion angulaire totale, allant de Ͳι à ͳͺͲι.
Figure 4.7 - Étude du conditionnement de ࡴ࢞ (courbe verte) en fonction de l’excursion angulaire utilisée pour l’inversion. Résultats obtenus avec la trajectoire C3 (configuration
radiale, avec accélération), et le modèle de cible mobile à accélération constante. La limite pointillée rouge représente la valeur de CHx,lim (voir expression (4. 37)).
1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1E+09 1E+10 1E+11 0 50 100 150 200 Co n d ition n e m e n t d e Hx
Excursion angulaire totale (°)
C_Hx C_Hx,lim
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Figure 4.8 - Étude du conditionnement de ࡴ࢞ (courbe cyan) en fonction de l’excursion angulaire utilisée pour l’inversion. Résultats obtenus avec la trajectoire C1 (configuration
radiale, à vitesse constante), et le modèle de cible mobile à vitesse constante. La limite pointillée rouge représente la valeur de CHx,lim (voir expression (4. 37)).
On constate alors que les valeurs de conditionnement sont trop élevées, que ce soit pour les résultats obtenus avec le modèle à accélération constante ou pour les résultats obtenus avec le modèle à vitesse constante. En effet, quelle que soit l’excursion angulaire utilisée, la valeur de ܥࡴ࢞ǡ (pointillés rouges) n’est jamais atteinte, ce qui témoigne d’une faible robustesse de la méthode d’inversion face au bruit de mesure ou aux perturbations de mouvements de la cible mobile. Il faut donc améliorer le conditionnement de la matrice ࡴ࢞ afin de garantir une stabilité numérique de la méthode.