Evaluation du modèle selon le critère de log-vraisemblance

A habilidade de controlar a clássica instabilidade de Saffman-Taylor é essencial tanto no âmbito científico quanto no tecnológico. A versão convencional do problema, estudada por Saffman e Taylor mais de meio século atrás, nos diz que o deslocamento de um fluido por outro de menor viscosidade leva a uma interface instável entre eles, ou seja, apresentando de- formações. Por outro lado, a situação de fluxo reverso, quando um fluido é deslocado por outro mais viscoso, é classicamente estável e tais deformações não são mais observadas. O surgi- mento destas paradigmáticas instabilidades resultando na formação de padrões diversos, tem influência, entre outras coisas, na eficiência de várias técnicas de engenharia. De fato, depen- dendo da situação em questão, a aparição de deformações na interface pode ser desejada ou não. Devido a este duplo papel assumido pela instabilidade, desenvolver e compreender técni- cas tanto capazes de estimular o surgimento de perturbações na interface, quanto de controlar estas instabilidades, é um tópico de grande interesse atual [30–32, 86, 87].

Ao longo desta dissertação, usamos o método originalmente proposto por Guo, Hong e Kurtze [36, 37] para ententer como uma tensão superficial não constante pode mudar dras- ticamente cenários clássicos. Especificamente no Cap. 2, mostramos que a consideração de uma tensão superficial dependente da curvatura da interface fluido-fluido pode levar o sistema a comportamentos interfaciais fundamentalmente diferentes do problema de Saffman-Taylor original. Em contraponto aos estudos feitos anteriormente [36, 37], onde simulações numéri- cas foram usadas para examinar o efeito da tensão interfacial variável na formação de padrões para o problema da injeção numa célula de Hele-Shaw retangular, aqui, aplicamos uma teo- ria perturbativa de modos acoplados relativamente simples, analisando como o acoplamento entre esta tensão superficial variável e efeitos tridimensionais relacionados ao ângulo de con- tato. Tal acoplamento permite uma manipulação direta da instabilidade clássica. Apesar de sua simplicidade, nosso modelo teórico [44] é capaz de estabilizar (desestabilizar) situações convencionalmente instáveis (estáveis). Este fato foi verificado tanto para estágios bem pri- mordiais da dinâmica, via uma teoria linear, quanto para tempos um pouco mais avançados, pela introdução de termos fracamente não lineares à equação que rege a dinâmica interfacial.

Neste sentido, nosso estudo acerca da manipulação da instabilidade de Saffman-Taylor convencional, contribui relevantemente para o crescimento do material já existente na literatura no que diz respeito à controlabilidade de instabilidades interfaciais. Fornecemos assim um método alternativo capaz de estimular ou inibir o crescimento de protuberâncias interfaciais provenientes da interação viscosa entre fluidos confinados numa estreita célula de Hele-Shaw radial.

Já no Cap. 3, revisitamos o problema de fluxos em célula de Hele-Shaw girante, focando nossa atenção no controle de instabilidades induzidas por rotação [17,58–63]. Como discutido

CAPÍTULO 4 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS 57

na seção 3.1, a crescente busca por entender a física por trás deste novo sistema, está relaci- onada com sua grande aplicabilidade tecnológica [82, 83], bem como sua destreza em servir como protótipo para modelagem de sistemas biológicos [60, 80, 81]. Em ambos os casos, o surgimento de deformações interfaciais é indesejado, como discutido previamente. Por este motivo, deixamos de lado a possibilidade de estimular as instabilidades, analisando apenas a possibilidade de inibição da mesma. Novamente, investigamos o efeito da tensão interfacial dependente da curvatura nas propriedades de estabilidade da interface fluido-fluido através de uma abordagem perturbativa fracamente não linear da situação de fluxo girante, igualmente simples quando comparada à desenvolvida no Cap. 2.

Nossa análise [45], possibilita o leitor verificar a eficácia do modelo da tensão super- ficial variável em controlar deformações interfaciais estimuladas por rotação, tanto em es- tágios puramente lineares da dinâmica, como para tempos iniciais de estágios não lineares. Em particular, mostramos que o fenômeno intrinsecamente não linear da competição entre os dedos pode ser sistematicamente reprimido, levando porteriormente à estabilização total da interface que divide os fluidos. Analogamente, esta segunda etapa do trabalho oferece con- tribuições adicionais para o crescente corpo literário de estudos recentes sobre diferentes es- tratégias que visam o controle de instabilidades hidrodinâmicas em geometrias confinadas de Hele-Shaw [13, 26, 30–32, 45, 87–90].

Como já foi discutido no Cap. 2, ainda é uma questão em aberto a direta correspondên- cia entre o modelo teórico proposto por Guo et al. [36, 37] e os experimentos realizados com surfactantes em [38–41] numa célula de Hele-Shaw retangular, uma vez que o modelo teórico prevê um sentido de movimento dos dedos pontiagudos oposto ao observado nos experimen- tos. Neste contexto, uma extensão natural deste trabalho seria a investigação da influência do nosso modelo de tensão superficial dependente da curvatura da interface fluido-fluido (in- cluindo efeitos 3D associados ao ângulo de contato) na geometria confinada da célula de Hele- Shaw retangular. Esta futura análise, pode nos levar à reinterpretação dos resutados teóricos obtidos anteriormente para o sistema [36,37], dando-nos uma luz sobre as possíveis proprieda- des morfológicas dos padrões formados, bem como a possibilidade de controlar ou estimular tais instabilidades no ambiente da célula retangular.

Finalmente, chegamos ao fim deste trabalho na esperança de que nosso estudo, bem como os resultados aqui obtidos, motivem investigadores experimentais a checar nossas previsões teóricas em relação à eficácia do protocolo de controle de instabilidades hidrodinâmicas via tensão superficial variando com a curvatura da interface fluido-fluido, tanto no caso da célula de Hele-Shaw radial induzida por injeção, quanto no sistema envolvendo fluxo girante.