Evaluation de la robustesse des solutions ´

Les m´ethodes d’optimisation ont la tendance d’exploiter `a tort les failles de la mod´elisation. Il faut donc toujours contrˆoler la viabilit´e et la robustesse des solutions obtenues par optimisation.

Le code d’analyse de l’´ecoulement peut par exemple faire une erreur sous telle ou telle condition pr´ecise et l’optimiseur peut alors utiliser cette faille. Il est donc im- portant de v´erifier les r´esultats a´erodynamiques obtenus. Le contrˆole de la robustesse de la solution consiste `a v´erifier que l’optimiseur ne s’est pas engouffr´e dans un min- imum tr`es local. C’est-`a-dire que la forme est tellement optimis´ee qu’une d´eviation infime de la g´eom´etrie an´eantirait les gains que l’optimisation est all´ee chercher. La solution doit ˆetre robuste devant des changements mineurs de la g´eom´etrie ou des conditions a´erodynamiques. Ces d´eviations peuvent provenir de tol´erances de fab- rication trop larges, de dommages, du givrage, de salet´es ou d’impacts d’insectes. Les conditions environnementales sont aussi sujettes `a des variations de vitesse, de turbulence, de densit´e et de temp´erature de l’´ecoulement entrant. Pour v´erifier la robustesse, plusieurs calculs peuvent ˆetre faits en modifiant la g´eom´etrie `a l’int´erieur de l’intervalle de tol´erance de fabrication et relever la variation de la performance. La sensibilit´e aux faibles variations d’angle d’attaque ou de vitesse peut ´egalement ˆetre v´erifi´ee. Si la variation de performance est faible alors la solution est robuste. La sensibilit´e aux variations de g´eom´etrie et de vitesse est tr`es marqu´ee en condition transsonique `a cause des ondes de choc. Le lecteur int´eress´e par plus de d´etails sur la conception en pr´esence d’incertitude pourra se r´ef´erer `a Keane et al. (2005). Pour ce projet de contrˆole de la couche limite laminaire en condition subsonique, la ro- bustesse se d´efinit plutˆot par la stabilit´e de la couche limite laminaire. Il est capital d’assurer une bonne marge de stabilit´e mˆeme s’il faut pour cela sacrifier un peu de la performance, plutˆot que de risquer une transition pr´ematur´ee.

La figure 2.31 pr´esente le r´esultat d’une optimisation multiobjectif (β=1˚) avec 10 variables. Il est montr´e sur la distribution de pression que le gradient entre le bord d’attaque et le point de transition n’est pas strictement n´egatif. Cette forme de la distribution de pression semble provenir de l’objectif de diminution de la traˆın´ee : en effet, la figure 2.28 qui pr´esente le r´esultat d’une optimisation sur la traˆın´ee seule, montre la mˆeme caract´eristique, c’est `a dire une bosse de pression pr`es du bord d’at- taque. Cette bosse fait suite `a un gradient d´efavorable puis le gradient redevient favorable pour reculer la transition. Xfoil ne d´etecte pas la transition au niveau du premier gradient d´efavorable. Cette caract´eristique ne p´enalise donc pas la perfor- mance du profil et, au contraire, a tendance `a favoriser la diminution de traˆın´ee. En

Figure_{2.31 Optimisation avec 10 variables de conception et objectif mixte (β=1˚)}

effet, elle ajoute de la portance et elle permet de diminuer l’angle d’attaque ce qui, dans les conditions de l’´etude, se traduit par une r´eduction de la traˆın´ee de pression.

Les zones de gradient d´efavorable d´estabilisent la couche limite laminaire et dimin- uent la robustesse des solutions donn´ees par l’optimiseur. Il est donc n´ecessaire de d´evelopper un outil pour contrˆoler la robustesse des solutions.

Pour cela, une m´ethode de caract´erisation de la marge de stabilit´e de la couche limite a ´et´e d´evelopp´ee. Cette m´ethode repose sur le crit`ere de Michel (voir annexe A), et de nombreuses observations de r´esultats d’essais num´eriques. Suite `a une suggestion d’´Eric Laurendeau (Bombardier A´eronautique), la marge de stabilit´e a ´et´e d´efinie comme ´etant la diff´erence entre le crit`ere de Michel et le Reθ. Ensuite, diff´erents in-

dices d’´evaluation de la qualit´e de la marge sont calcul´es : le minimum de la marge, la localisation du minimum de la marge, la moyenne, l’´ecart-type et la localisation du rapprochement le plus s´ev`ere. La stabilit´e est affect´ee par un r´etr´ecissement fort et/ou rapide de la marge pr`es du bord d’attaque. Cette caract´eristique peut ˆetre d´etect´ee par le minimum de la marge, la position de ce minimum, et la position du minimum de la premi`ere d´eriv´ee. La moyenne et l’´ecart-type permettent de caract´eriser plus g´en´eralement la marge de stabilit´e (figure 2.32).

Figure _{2.32 Caract´erisation de la marge de stabilit´e de la couche limite laminaire}

La robustesse est alors d´efinie comme suit : �                                                     Robustesse = −Instabilit´e Instabilit´e= 25 1 M inM + 0.7 XtrT XM in� + 3.5 ET M oyM + 0.5 XtrT XminR M inM = M inimum de la marge

XM in� = P osition du minimum de la marge

ET = Ecart type de la marge

M oyM = M oyenne de la marge

XM inR= P osition du rapprochement le plus s´ev`ere

XtrT = P osition de la transition sur l�extrados

(2.8)

Cette formulation favorise :

– la maximisation du minimum de la marge

– l’´eloignement du minimum de la marge du bord d’attaque – la maximisation de la moyenne de la marge

donc int´eressant de sacrifier un peu de la performance pour gagner en robustesse.

Figure _{2.33 Positionnement de la population des solutions dans un diagramme ro-} bustesse versus performance

Par la suite deux m´ethodes sont d´evelopp´ees pour orienter l’optimiseur vers ces solu- tions plus robustes.