8.2 Bord d’une fac¸ade
8.2.2 I c F comme r´eunion de fac¸ades de I
On montre ici queIcF est hom´eomorphe `a la r´eunion deIF et d’autres fac¸ades deI. On pose : B(F)=n
G∈ FI| ∃A∈ A, F′∈ FI, G′un scp de G tq F′∥F, δ(F′)∪δ(G′)⊂A et A∩F′⊂A∩G′o On dira queB(F) est l’ensemble des cˆones deIbord´es par F.
Proposition 8.2.9. L’espace topologiqueIcFest hom´eomorphe `a la r´eunion desIGpour G∈ B(F). L’hom´eomorphisme est donn´e par :
χ: IcF → S G∈B(F)IG g AF 7→ ga A .
Un point [g]AFd’un appartement compactifi´e ¯AF est envoy´e sur le point de ¯A ´egal `a [ga], o `u gaest un relev´e de g
dans A, c’est `a dire ga∈ FA, pA(ga)=g et f~⊂~ga.
De plus,χfixeIF.
D´emonstration:
χest bien d´efini :
Pour commencer, soit AFun appartement deIF, soient g et h deux cˆones ´equivalents dans AF, soient ga,ha∈ FA des relev´es, montrons que ga∼A ha. On a ´egalit´e des directions :~p(~ga)=~g=~h=~p(~ha), donc~ga=~hapar la deuxi`eme
assertion de la proposition 8.2.2. Et g∩h,∅donc le lemme 8.2.3 s’applique : ga∩ha ,∅. Donc ga∼ha.
Passons au cas g´en´eral : soit x ∈IcF, soient AFet BFdeux appartements deIF, soit g∈ FAFet h ∈ FBFtels que x=[g]AF=[h]BF. Soient ga ∈ FAet hb∈ FBdes relev´es. Alors{˜ga,˜hb} ⊂ B(F)
Il existe fa ∈ FAet fb∈ FBtels queδ( fa)∥δ(F)∥δ( fb), fa⊂¯ga, fb⊂¯hb, s( fa)=s(ga), et s( fb)=s(hb). D’apr`es la proposition 3.3.3, point 9, il existe une facette de quartier k⊂A et une autre l⊂ B telles queδ(ga)∪δ( fa)⊂ ¯k et
δ(hb)∪δ( fb)⊂¯l. On choisit k et l minimales. Soit Z∈ Acontenant un scp de k et un scp de l, montrons que Z contient alors le coeur d’un scp de gaet le coeur d’un scp de hb.
Il y a deux possibilit´es : soitδ(f~a)⊂δ(~ga) et alors~k est la facette de Weyl contenantδ(~ga) et doncδ(~ga)⊂~ga∩~k, soit δ(f~a) est disjoint deδ(~ga), alors~k est la plus petite facette ferm´ee contenant Conv(δ(~fa)∪δ(~ga)), alors ]u,v[⊂~ga∩~k
pour n’importe quel u∈δ(~ga) et v∈δ(f~a). Dans tous les cas,~k∩~ga ,∅. Donc tout scp de k contient un point t de ga,
alors t+δ(~g)⊂k par le lemme 8.2.1. Ceci prouve que A∩Z contient le coeur d’un scp de ga. De mˆeme, B∩Z contient le coeur d’un scp de hb. Notons gzet hzles cˆones engendr´es par ces coeurs, ainsi ˜gz∼I ˜gaet ˜hz∼I ˜hb.
Comme Z contient ´egalement un cˆone parall`ele `a fa, il contient un cˆone parall`ele `a f et fournit donc un appartement ZF de IF. Nous voulons montrer que ˜ga ∼ ˜hb, et pour cela il suffit de montrer que gz ∼Z hz. En raison du cas particulier trait´e au d´ebut de la preuve, il suffit de prouver que pZ(gz) ∼ZF pZ(hz). Ce sera fait si nous prouvons que ˜g=p]A(ga)∼IF p]Z(gz) et ˜h=p]B(hb)∼IF p]Z(hz). Bien sˆur les deux ´egalit´es sont similaires, v´erifions juste la premi`ere. Quitte `a remplacer gapar le scp engendr´e parδ(gz), et g par la projection sur AFdu cˆone obtenu, on peut supposer k⊂A∩Z,δ(ga)=δ(gz) et pA(ga)=g. L’intersection ¯A∩Z est ferm´ee, donc contient ¯k. Or ¯k contient p¯ A(¯k∩A) car
δ(f~a)⊂~k donc ¯k∩A est stable par addition avecδ(f~a). Donc AF∩ZF ⊃Cl(pA(δ(ga))). Et, d’apr`es le corollaire 8.2.7,
AF∩ZF ⊃δ(pA(ga))=δ(g).
On peut maintenant choisirφ: ¯A−→∼ Z un ”isomorphisme d’appartements compactifi´es” qui fixe A¯ F ∩ZF. Alors
φ(g)=φ◦pA(ga)=pZ◦φ(ga)=pZ(gz). Ainsi, pZ(gz) est l’image de g par un isomorphisme d’appartements qui fixe
δ(g), donc pZ(gz) et g ont le mˆeme coeur, et donc ˜g=p]Z(gz). Ceci ach`eve de prouver queχest bien d´efinie.
Lemme 8.2.10. Soient F′,G,H ∈ FItels que G ∈ B(F) et H ∈ B(F′). Alors il existe un appartement Z, il existe
gz,fz,fz′,hz∈ FZtels que ˜gzet ˜hzsont des scp de G et H, ˜fzet ˜fz′sont parall`eles `a F et F′, fz⊂¯gzet fz′⊂¯hz.
De plus, si A est un appartement deIcontenantδ(G) et un cˆone parall`ele `aδ(F), si ga=A∩G, alorsp]A(ga)∼IF
]
pZ(gz). Et similairement pour H et F′.
Remarque: En appliquant ce lemme au cas o `u F′ = H et G ∼ H, on v´erifie que si G ∈ B(F) et H ∼G, alors
H∈ B(F).
χest surjective : Soit x∈S
G∈B(F)IG. Il existe un appartement A et un cˆone g∈ FAtel que x=[g]Aet F borde ˜g. Alors pA(g)∈ FAFet x=χ([pA(g)]AF).
χest injective : Soient x,y ∈IcF, x= [g]AF, y =[h]BF, et supposons queχ(x) =χ(y). Soient ga ∈ FA, hb ∈ FB
des relev´es, alors ˜ga ∼ ˜hb. Quitte `a raccourcir gaet hb, on peut supposer grˆace au lemme 8.2.10 qu’il existe Z ∈ A, gz,hz,fz ∈ FZtels que ˜gz ∼ ˜ga, ˜hz ∼˜hbet ˜fz ∥F. Alors gz ∼Z hz, c’est-`a-dire que gz∩hzcontient un scp de gzet de hz. Alors l’image par pZde ce scp est un scp de pZ(gz) et de pZ(hZ), donc pZ(gz)∼ZF pZ(hZ). Mais le lemme affirme en outre que ˜g=p]A(ga)∼IF p]Z(gz) et similairement pour h. Ceci implique que ˜g∼IF ˜h donc x=y.
χest continue : Soit x=[g]AFun point d’un appartement compactifi´e ¯AFdeIF. Fixons un relev´e ga∈ FAde g et
un ouvert U ∈ Ude sorte que V :=VI( ˜ga,U)∩(∪G∈B(F)IG) est un voisinage deχ(x), et les voisinages obtenus de la sorte forment une base de voisinages deχ(x). Montrons queχ−1(V) contient un voisinage de x, pr´ecis´ement, nous allons montrer queVIF(g, ~p(U))⊂χ−1(V). Soit f ∈ FAun cˆone tel que ˜f ∥F.
Soit t ∈ VIF(g, ~p(U)), soit H ∈ FIun repr´esentant de t. Alors H est bord´e par F, donc d’apr`es la proposition 4.7.2, il existe B∈ Acontenant b(ga)+δ(~f ) et un scp deδ(H), on peut supposerδ(H) lui-mˆeme. L’intersection ¯A∩B¯ contient alors p(b(ga)) et donc b(g) par le corollaire 8.2.8. Soitφ: ¯B−→∼ A induisant un isomorphisme B¯ F
∼ −
→AFfixant
b(g). Alorsφ(t)∈ V′
AF(g, ~p(U)) (voir 6.2.3). On aχ◦φ(t)=φ◦χ(t), il reste donc `a v´erifier queχ(φ(t))∈ V′
A(ga,U). Soit h∈AFun repr´esentant deφ(t) inclus dans (g+~pA(U))∩g∗. Comme pA(ga+U)=g+~p(U), il existe s∈ga+U tel que pA(s)=s(g). Mais alors s∈ p−1(g∗), donc d’apr`es la proposition 8.2.6, il existe~v∈ ~f tel que s+~v∈g∗
a. Alors s+~v∈(ga+U)∩g∗a. On choisit le relev´e hade h dont le sommet est s+~v, donc ha=s+~v+~ha⊂(ga+U)∩g∗
a, car
~haest dans le bord de~ga(lemme 8.2.4). Ceci prouve queχ(φ(t))∈ V′
A(ga,U), doncχest continue.
χest ferm´ee carIcF est compact etIest s´epar´e.
χfixeIF : Soit x∈ IF, soit AF un appartement contenant x, soit f ∈ FAun repr´esentant de x, on a ˜f ∥ f . On a
x=[{x}]AFet un relev´e de{x}dans A est f . Doncχ(x)=[ f ]A =x.
Ainsi,χ(IcF) est compact, donc ferm´e dansI. De plus,IF est dense dansIcF, doncχ(IF)= IF est dense dans
χ(IcF). D’o `u le
Corollaire 8.2.11. L’adh´erence deIF dansIestχ(IcF)=S
G∈B(F)IG.
Deuxi`eme partie
Masures bord´ees et groupes de Kac-Moody sur un
corps local
9 Introduction
Le but de ce chapitre est de d´efinir un objet semblable `a l’immeuble de Bruhat-Tits d’un groupe r´eductif sur un corps local, mais pour un groupe de Kac-Moody.
Ceci a d´ej`a ´et´e fait dans [GR08] par St´ephane Gaussent et Guy Rousseau, pour un groupe d´eploy´e sur un corps
Kdont le corps r´esiduel contientC. L’objet d´efini est appel´e ”masure” car il ne satisfait pas toutes les conditions demand´ees `a un immeuble habituel. Pour un corps plus g´en´eral, mais toujours un groupe d´eploy´e, Guy Rousseau ([Rou06]) a d´efini des ”immeubles microaffines”, que l’on peut voir comme une partie du bord `a l’infini d’une masure, semblable au bord rajout´e `a un immeuble affine lorsqu’on d´efinit sa compactification polygonale. Enfin, il a ´egalement obtenu dans ce mˆeme cadre des masures, dans [Rou10].
On propose ici de se placer dans le cadre g´en´eral des groupes munis d’une donn´ee radicielle valu´ee, cadre qui inclut les groupes de Kac-Moody d´eploy´es mais aussi presque d´eploy´es sur un corps muni d’une valuation r´eelle. Nous construirons simultan´ement une ”masure” et son bord (qui contiendra deux ”immeubles microaffines”) car celui-ci sera utile `a l’´etude des propri´et´es g´eom´etriques de la masure. L’objet obtenu sera appel´e une masure bord´ee.
On se rend compte que plusieurs choix peuvent ˆetre faits, menant `a diff´erentes masures bord´ees. Pour rentrer un peu dans le d´etail, la construction d’un appartement A ne pr´esente pas de difficult´e (partie 11.1) , et on cherche donc ensuite, selon le proc´ed´e habituel de Bruhat et Tits, `a construire un objet immobilier comme quotient de G×A par la relation d’´equivalence d´etermin´ee par le choix des groupes de G qui seront les fixateurs des points de A. Ces sous-groupes sont appel´es, comme dans le cas r´eductif, des ”sous-sous-groupes parahoriques”, et contrairement au cas r´eductif, leur d´efinition n’est pas ´evidente : plusieurs possibilit´es sont envisageables. Ainsi, dans [GR08], St´ephane Gaussent et Guy Rousseau d´efinissent les familles de groupes parahoriquesPmin,Ppm,Pnmdont la d´efinition est quelque peu indirecte, et n´ecessite l’emploi de ”compl´etions” du groupe de Kac-Moody G consid´er´e.
Toujours par soucis de g´en´eralit´e, nous optons pour une approche axiomatique, c’est-`a-dire que nous d´efinissons abstraitement la notion de ”famille de parahoriques”, et nous ´etudions les objets immobiliers que l’ont peut construire, en fonction des propri´et´es v´erifi´ees par une telle famille. C’est la partie 11. On ´etudiera plus particuli`erement deux familles de parahoriques : la ”minimale” puis la ”maximale”. Au 12, on essaie de descendre les structures pr´ec´edentes (valuation et famille de parahoriques) `a un sous-groupe. Dans la partie 13 enfin, on ´etudie le cas d’un groupe de Kac-Moody. Pour un groupe d´eploy´e, la partie 11 s’applique directement, mais pour un groupe presque-d´eploy´e, il faut d’abord utiliser les r´esultats de la partie 12 pour obtenir une valuation et une famille de parahoriques. Le r´esultat final est le suivant (th´eor`eme 13.5.1) :
Th´eor`eme. Soit G un groupe de Kac-Moody presque d´eploy´e sur un corpsK, d´eploy´e sur la clˆoture s´eparable deK.
On supposeKmuni d’une valuation r´eelle discr`ete non triviale, telle que son corps r´esiduel soit parfait.
Alors il existe une masure bord´eeIKpour G(K), qui provient d’une valuationϕKet d’une bonne famille de
para-horiques QKv´erifiant (para 2.1+)(sph). Pour toute facette sph´erique ~fK deI~(K), la fa¸cadeIK, ~f
K s’injecte dans la
fa¸cadeIL, ~f, de la masure bord´eeILpour G(L), o `u f est la facette de~ ~I(L) contenant un ouvert def~K.
Les d´efinitions de bonnes familles de parahoriques, de la condition (para 2.1+), et des fac¸ade se trouvent en 11.2.1 et 11.3.3.
10 Rappels et notations
Lorsqueα: X →Rest une fonction sur un ensemble X, on notera pour Y ⊂X,α(Y)=0 siα(Y)={0},α(Y)>0 siα(Y)⊂R+∗,α(Y)≥0 siα(Y)⊂R+, etc...
Si A est un complexe simplicial, si f est une facette de A, f∗ est la r´eunion des facettes bord´ees par f . Ainsi, lorsque f est une facette dans un immeuble~ I~, ~f∗d´esignera la r´eunion des facettes deI~ dont l’adh´erence contient ~f ,
donc l’immeuble r´esiduel enf . Si~ Z est un appartement de~ ~I, la r´eunion des facettes deZ dont l’adh´erence contient~ ~f
sera donc ~f∗∩Z.~
10.1 Immeubles vectoriels
Ce que nous appelons ici les immeubles vectoriels sont les immeubles d´ecrits dans [R´e02]. Ce sont des immeubles jumel´es, donc en fait la r´eunion de deux immeubles classiques. Dans la r´ealisation g´eom´etrique de ces immeubles que nous consid´erons, les appartements sont inclus dans des espaces vectoriels, d’o `u l’appellation ”immeubles vectoriels”. Une autre appellation fr´equente est ”immeubles coniques”, car les appartements sont des cˆones dans ces espaces vectoriels.