Compactification de I F

Choisissons A un appartement contenantδ(F), soit p=pA,Fla projection A→AF. Soit f =F∩A, alors AF =Af

est un complexe de Coxeter affine et le groupe vectoriel associ´e est isomorphe via la projection p `a Fix_W(A)~(~_{f ).}

On poseFF =n

~

p(~g)|~g∈ F et_f~_⊂~go

.

Lemme 8.2.1. Soit~g∈ F dont ~_{f est une face, c’est-`a-dire</sub> ~<sub>f ⊂~g. Alors~g est stable parf , c’est-`a-dire}~ _~g+f~_⊂~g.

Remarque: En fait,~g+_f~_{=~g car~g est ouvert dans Vect(~g) et 0∈ f .}~

Preuve du lemme: C’est imm´ediat si on fixe une description de ~g et de sa face _{f en termes d’´equations et}~

d’in´equations lin´eaires comme en 2.4, mais voici une preuve ´el´ementaire :

Soit x∈~g et v∈ ~_{f . Comme~g est ouvert dans Vect(~g), il existe r>0 tel que la boule B(x,r) dans Vect(~g) soit incluse}

dans~g. Ensuite v∈~g donc il existeǫ∈Vect(~g), de norme inf´erieure `a r tel que v+ǫ∈~g. Alors x+v=(x−ǫ)+(v+ǫ)∈~g.

Proposition 8.2.2. L’ensembleFF v´erifie les conditions requises pour d´efinir une compactification deI_F. De plus,

l’application~g7→~p(~g) est une bijection entre l’ensemble des cˆones deF ayant ~_{f comme face etF}F.

D´emonstration:

On commence par les points ´evidents :FF est fini, il contient{0} =~p(_{f ), et il est stable par le groupe de Weyl}~

W(_A~_F)≃Fix

W(_A)~(~_{f ).}

Montrons que Af =S

~

g∈FF~g. Comme le terme de droite est stable par homoth´eties, il suffit de montrer qu’il

con-tient un voisinage de 0. Par cons´equent, il suffit de montrer que, dans A,S_{{~g| f~⊂~g}contient un voisinage d’un point}

de ~_{f . Soit x ∈ f . Si}~ _{~g ∈ F est un cˆone ne contenant pas f dans son adh´erence, alors x}~ _{< ~g (car∂~g est une r´eunion}

disjointe de cˆones dansF). Il existe donc U_~g un voisinage de x dans A qui ne coupe pas~g. CommeF est fini, le nombre des U_~gainsi d´efinis pour~g variant parmi les cˆones dont ~_{f n’est pas une face est fini, et leur intersection est un}

voisinage de x inclus dansS

~

g tq~_f⊂~g~g. Nous avons prouv´e que Af =S

~

g∈FF~g.

Montrons que cette union est disjointe. Soit~p(~g) et~p(~_{h) deux ´el´ements deF}F, o `u~g, ~h∈ F sont des cˆones ayant ~_f

comme face. Supposons que~p(~g)∩~p(~_{h) contient un point, ´ecrivons ce point sous la forme~p(x) avec x∈A. Alors il}~

existe v,w∈Vect(~_{f ) tels que x+v∈~g et x+w∈}~_{h. Mais il existe v1,v2,w1,w2∈ f tels que v}~ _{=v1−v2et w=w1−w2.}

Alors le point x+v₁+w₁ =x+v+v₂+w₁ =x+w+w₂+v₁ est dans~g∩~_{h, d’apr`es le lemme. Ceci entraˆıne que}

~g=~_{h, donc~p(~g)=~p(}~_h).

Ceci montre ´egalement que l’application~g7→~p(~g) est bijective.

Le petit raisonnement qu’on vient de faire fonctionne aussi dans le cas de cˆones affines, il donne le r´esultat suivant, qu’on note pour utilisation ult´erieure :

Lemme 8.2.3. Soit h,g∈ FAdeux cˆones affines tels que ~_{f borde~g et}~_{h. Si p(h)∩p(g),∅, alors h∩g,∅.}

Passons `a la description des cˆones `a l’aide d’un syst`eme d’´equations et d’in´equations. Soit~g∈ F ayant ~_{f comme}

face. Soient{αi}_i∈I⊔J⊔K∈_A~∗telles que  

^~g_f~⁼₌^{_{^α_αⁱ_i^>_>⁰₀^{, α}_{, α}^k_k⁼₌⁰₀^,_,ⁱ_i^∈_∈^I_I,^⊔_k^J,_∈^k_J^∈_⊔^K_K^}_} ^.

Lesαkpour k∈J⊔K d´efinissent des formes lin´eaires sur_A~_{f. V´erifions que~p(~g)={αj>0, αk=0, j∈J, k∈K}.}

L’inclusion ”⊂” est claire. R´eciproquement, un point de l’ensemble de droite est de la forme~p(x) avec x∈_A,~ _αj(x)>0

pour j∈ J etαk(x)=0 pour k ∈K, et nous voulons montrer qu’il existe v∈Vect(~_{f ) tel que x+v∈~g. On s’aperc¸oit}

qu’il suffit de choisir v ∈ _{f assez grand. Nous avons donc obtenu une description de}~ _{~p(~g) en syst`eme d’´equations et}

d’in´equations lin´eaires comme requis.

Passons aux deux conditions portant sur les faces d’un cˆone.

Soit ~p(~g) ∈ FF, v´erifions que son bord est la r´eunion d’autres cˆones deFF. Soit~p(x)∈ ∂~p(~g), soit~p(~_{h) ∈ F}F

le cˆone contenant~p(x). Nous allons montrer que~_{h ⊂∂~g. On choisit x pour que x ∈}~_{h. Pour tout n∈}N, il existe un point de~p(~g) `a distance inf´erieure `a ¹_n de~p(x). Cela signifie qu’il existeǫn ∈_{A, v}~ _n∈Vect(~_{f ) tels que x+vn+ǫn ∈~g}

et||ǫn|| < 1

n. On d´ecompose v_n =v1

n−v2

navec v1

n,v2

n ∈ ~_{f , on impose en outre que||x+v}1

n|| ≥ 1. Alors x+v1 n ∈~_{h et} x+v1 n+ǫn∈~g. La suite ( ^x+v1n ||x+v1

n||)_n a une valeur d’adh´erence y, a priori dans~_{h. Mais en fait, cette suite reste dans x +} ~_{f , et}

x+~_{f = x+} ~_{f ⊂}~_{h par le lemme 8.2.1 appliqu´e `a</sub> ~<sub>f et `a ses faces. Donc y ∈} ~_{h. La suite (}x+v1

n+ǫn

||x+v1

n||)n aussi admet y comme valeur d’adh´erence, car||x+v1

n|| ≥1 etǫn → 0. Donc y∈~g∩~_{h. Comme}~_h,~g,~_{h est une face de~g :}~_{h ⊂∂~g.}

D’o `u~p(~<sub>h) ⊂ ~p(∂~g) ⊂ ~p(~g). Mais comme~p(</sub>~<sub>h)∩~p(~g) = ∅, on arrive `a ~p(</sub>~_{h) ⊂ ∂~p(~g). Ainsi, ∂~p(~g) est une r´eunion}

d’autres cˆones deFF.

Enfin, il reste `a montrer que~p(~_{h) = Vect(~p(}~_{h))∩~p(~g), et nous savons que}~_{h = Vect(h)∩~g. Par cons´equent, il}

suffit de montrer que~p(~_h)=~p(~_{h) et ~p(~g) =~p(~g). Les deux ´egalit´es, pour}~_{h et~g sont similaires, on ne traite que celle}

concernant~g. L’inclusion⊃vient de la continuit´e de~p. Pour l’autre inclusion, il suffit de montrer que~p(~g) est ferm´e, ce qui revient `a montrer que~g+Vect(_{f ) est ferm´e. On reprend les}~ _{{αi}i∈I⊔J⊔K comme au paragraphe pr´ec´edent, on}

v´erifie alors que~g+Vect(_{f )}~ _{={αj≥, αk=0, j∈J, k∈K}, c’est bien ferm´e.}

L’avant dernier paragraphe de la preuve prouvait en fait :

Lemme 8.2.4. Si~g, ~h∈ F sont bord´es par _{f et si}~ _~p(~_{h) est une face de~p(~g), alors}~_{h est une face de~g.}

Nous pouvons donc compactifierI_F `a l’aide de la d´ecompositionFF en cˆones de l’appartement A_F. On note provisoirementbIFl’espace obtenu, si BFest un appartement deIF, on note ˆBFsa compactification.

V´erifions rapidement queIc_Fne d´epend pas du choix de l’appartement A :

Proposition 8.2.5. Soit BF un appartement deI_F, soit g le cˆone de B engendr´e par un coeur parall`ele `aδ(F), soit

p_B=p_B,F : B→B_F la projection. Alors l’ensemble des cˆones vectoriels de B_Fest

~

p(~_h)|~_{h∈ F et~g⊂}~_h

. D´emonstration:

Par d´efinition, ceci est vrai pour B=A. Pour B quelconque, l’ensemble des cˆones vectoriels de_B~_Festn

~φ(~_k)|~_{k∈ F}Fo o `uφ: AF

∼ −

→BFest un isomorphisme de complexes de Coxeter dont le choix n’importe pas.

Comme f ∥ g, il existeξ : A −→^∼ B tel que~ξ(~_{f ) = ~g (lemme 8.1.2). Alors ξ induit un isomorphisme entre}

Af et Bg, on peut choisir φ comme ´etant ´egal `a cet isomorphisme. On a alorsφ◦ pA = pB◦ξ, et on v´erifie que n ~φ(~_k)|~_{k∈ F}Fo = ~ pB(~_h)|~g⊂~_h .

Proposition 8.2.6. Soit~g∈ F un cˆone bord´e par _{f , soit B}~ _{Fun appartement deIF. Alors}

– ~pB(δ(~g))⊂δ(~pB(~g)).

– ~pB(~g^∗)=~pB(~g)^∗

– Si g∈ F_Best de direction~g, alors pB(b(g))⊂b(pB(g)).

D´emonstration:

Notons p=pBet fixons f ∈ F_Btel que ˜f ∥ f .

Soit x ∈ δ(~g), montrons que ~p(x) ∈ δ(~p(~g)). Il faut donc montrer que x est fix´e par Stab_W(B~

F)(~p(~g)). Soit w ∈

Stab_W(~B

F)(~p_B(~g)), on identifie w `a un ´el´ement de Fix<sub>W(B)~</sub>(~<sub>f ), ce qui assure d´ej`a que w(~g) est encore bord´e par</sub> ~_{f . Et}

comme ~p(~g) = w(~p(~g)) = ~p(w(~g)), on obtient par la deuxi`eme partie de la proposition 8.2.2 que w(~g) = ~g. Alors

w(x)=x par d´efinition deδ(~g), et donc w(~p(x))=~p(x).

Passons au second point. Si_{C est une facette de Weyl dans}~ ~_{B dont l’adh´erence contientδ(~g), alors ~p(δ(~g)) ⊂} ~

p(_C)~ ⊂ ~p(_{C). Notons}~ _C~_{F la facette de Weyl de} ~_{BF qui contient ~p(C), nous venons de prouver que son adh´erence}~

contient~p(δ(~g)), elle contient donc toute la facette de Weyl contenant~p(δ(~g)), et cette facette contientδ(~p(~g)) par le premier point. Donc_C~_F ⊂~p(~g)^∗et~p(_C)~ ⊂~p(~g)^∗. Ce qui prouve~p(~g^∗)⊂~p(~g)^∗.

Montrons l’autre inclusion : soit_C~_{F une facette de Weyl deB}~_{Fdont l’adh´erence contientδ(~p(~g)). Soient}{αi}_i∈I⊔J des racines de ~_{BF, identifi´ees `a des racines de}~_{B s’annulant sur f , telles queC}~_{F = {x ∈ B}~_{F | αi(x) = 0 etαj(x) >}

0,∀i ∈ I, j ∈ J}. Alors ~p−1(_C~_{F) contientδ(~g) et~p}−1(_C~_{F) =}n

x∈_B~ _{|αi(x)=0 etαj(x)>0, ∀i∈I, j∈J}o

. Il existe une facette_{C de}~ ~_{B incluse dans~p}−1(_C~_{F), de dimension maximale, et dont l’adh´erence contientδ(~g)∪δ(f ) (proposition}~

3.3.3, point 9). Alors_{C contient un cˆone}~ ~_{f1inclus dansf , tel que Vect(}~ ~_{f1)=Vect(f ). Il existe des racines}~ _{{αk}k∈Ktelles}

que_C~ ₌n

x∈_B~_{|αi(x)=0 etαj(x)>0, ∀i∈I, j∈J⊔K}o

. On ne rajoute aucune condition du typeαk=0 car_{C est}~

choisi de dimension maximale. S’il existe k ∈ K tel queαk(~_{f ) = 0, alors ker(αk) induit un mur deB}~_{F, qui ne peut}

couper_C~_{F. Doncαk(C}~_{F)>0, puisαk(~p}−1(_C~_{F))>0, ce qui signifie que la conditionαk>0 est inutile pour d´efinirC.}~

On peut donc supposer que pour tout k∈ K,αk(~_{f ),{0}. Alors, pour tout k∈ K, il existe vk ∈} ~_{f1tel queαk(vk),0.}

Comme v_k ∈ ~_{f1 ⊂C, on a automatiquement}~ _{αk(vk) >0 etαl(vk) ≥ 0 pour tout l∈ k. En sommant tous ces vk, on}

obtient w∈ _{f tel que pour tout k}~ _{∈K,αk(w)>0. Alors pour tout x∈~p}−1(_C~_{F), il existeλ}∈R⁺tel que x+λw∈_{C, et}~

ceci prouve que~p(_C)~ _=C~_{F. Commeδ(~g)⊂C, on a}~ _C~_⊂~g∗, donc CF ⊂~p(~g^∗).

Enfin, pour le dernier point, il faut montrer que p(b(g)) est dans chaque demi-appartement de BF contenant un voisinage de s(p(g)) dans p(g). NotonsD_BF(M,+) un tel demi-appartement, M est un mur de BF, identifi´e `a un mur de

B dont la direction contient~_{f . Soit O ouvert de BFtel que O∩g⊂ DB}

F(M,+), alors p⁻¹(O)∩g⊂p⁻¹(O)∩p⁻¹(p(g))=

p⁻¹(O∩g)⊂p⁻¹(DB_F(M,+)). Ainsi p⁻¹(DB_F(M,+)) est un demi-appartement de B contenant le voisinage p⁻¹(O)∩g de s(g) dans g. Ceci entraˆıne que b(g)⊂p⁻¹(DB_F(M,+)), donc que p(b(g))⊂DB_F(M,+).

L’inclusion r´eciproque du premier point n’est en g´en´eral pas vraie, mais le fait que~p(δ(~g))⊂δ(~p(~g)) implique que

~

p(δ(~g)) est inclus dans la mˆeme facette de Weyl que celle contenantδ(~p(~g)). En terme de cˆones affines, on obtient le

Corollaire 8.2.7. Soit BF un appartement deIF, soit g ∈ FB un cˆone bord´e par un cˆone parall`ele `a f . Alors Cl(pB(δ(g)))=Cl(δ(pB(g))).

On ne peut pas dire directement la mˆeme chose pour les bases, car b(g) est d´efinie comme l’intersection de g avec des demi-appartements ferm´es. Il se pourrait donc a priori que p(b(g)) soit inclus dans un bord de la facette de Weyl contenant b(p(g)). Mais ce n’est pas le cas. En effet, si M est un mur contenant p(b(g)), alors le mur correspondant contient b(g) et donc g, d’o `u finalement b(p(g))⊂M. On peut donc ´enoncer le

Corollaire 8.2.8. Soit BF un appartement deI_F, soit g∈ F_Bbord´e par un cˆone parall`ele `a f . Alors Cl(pB(b(g)))=

Dans le document Immeubles affines et groupes de Kac-Moody (Page 64-67)