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A l’aide du code d´ecrit en premi`ere partie, nous menons une ´etude num´erique des dents de scie en partant d’un mod`ele de base, la ηχMHD, puis en incorporant les effets de d´erives diamagn´etiques. Cette ´etude a fait l’objet de deux publications : [52] pour la partie ηχMHD et [49] pour l’ajout des effets diamagn´etiques. Pour cela, nous ´etudions les r´egimes de fonctionnement `a long terme (i.e., sur un temps comparable au temps r´esistif, τη ∼ η−1 = S) du kink interne. Notre premi`ere ´etape est d’´etablir
un cadre de r´ef´erence du comportement du kink en utilisant la ηχMHD. On pourra ensuite choisir un ensemble de cas repr´esentatifs et ajouter les effets diamagn´etiques. Physiquement, la ηχMHD devrait contenir assez de physique pour mod´eliser cor- rectement les petits tokamaks `a chauffage ohmique, comme ST `a Princeton ou TFR `a Fontenay-aux-roses, o`u on a observ´e des dents de scie pour la premi`ere fois. Dans ces machines, le nombre de Lundquist est de l’ordre de S = 106. Pour des machines
plus grandes, `a r´esistivit´e plus faible, les termes n´eglig´es dans la loi d’Ohm (effets bi-fluides, inertie ´electronique, compressibilit´e ´electronique) deviennent importants dans le processus de reconnection, et le mod`ele est insuffisant. Notre but n’est pas de simuler correctement le crash, dans lequel la reconnection joue un rˆole majeur, et qui exige un mod`ele plus raffin´e. Nous nous concentrons sur la dynamique de la rampe, pendant laquelle le syst`eme reste stable.
Notre but ´etant d’´etudier les r´egimes de fonctionnement stationnaires du kink in- terne, nous devons attendre que la p´eriode et l’amplitude des ´eventuelles oscillations soient stabilis´ees. Cela intervient en g´en´eral apr`es un temps de simulation compa- rable au temps de diffusion r´esistive. Un faible nombre de Lundquist permet de faire tourner des cas d’une telle longueur en un temps raisonnable. Sur un processeur de type de type Intel Core `a 2.33 GHz, un cas met environ quatre jours `a tourner surR 5 × 106τ
A (∆t variant entre 0.1 et 10 τA).
3.2.1 Mod`ele physique ηχMHD et param`etres cl´es
Au cours de nos simulations, nous maintenons le profil de η constant (le profil de χ⊥ lui est proportionnel), nous n´egligeons l’´evolution de la densit´e, et nous choisis-
sons comme terme source Θ = −∇ · χ⊥∇p0.
Avec ces hypoth`eses, les param`etres cl´es du syst`eme sont :
– η = S−1, qui contrˆole l’´evolution du profil de densit´e de courant, et donc la
relaxation du profil de q apr`es le crash. Notons que η ´etant constant en t, il n’y a pas de couplage dynamique entre r´esistivit´e et pression par la loi de Spitzer. – χ⊥, qui contrˆole la dynamique perpendiculaire de la pression par le terme de
source, en ramenant le profil de pression vers le profil initial.
– βp1, le bˆeta polo¨ıdal contenu dans la surface q = 1, qui influe sur le taux de
croissance du kink interne.
Les termes de sources fournissent deux temps caract´eristiques de l’´evolution du plasma. D’une part, le transport perpendiculaire tend `a ramener le profil de pres- sion au profil initial, et donc `a piquer le profil de pression au centre. Le temps caract´eristique de cet effet est τχ⊥ = a
2/χ
⊥ = χ−1⊥ (puisque a = 1 dans nos unit´es).
D’autre part, le temps r´esistif τη ∼ S joue sur le taux de croissance du kink (γ ∝ η1/3,
cf. [15], p. 332), et sur la relaxation du profil de q apr`es chaque crash. Le kink se manifeste par un d´eplacement h´elico¨ıdal du cœur du plasma vers l’ext´erieur, et tend donc `a aplanir le profil de pression au centre. C’est de cette opposition entre kink et transport que des oscillations peuvent venir. Le kink est dˆu `a la fois au gradient de pression et au courant.
Le taux de croissance du kink est aussi li´e `a βp1 : `a faible βp1, on est dans
le domaine r´esistif du kink, le taux de croissance est faible ; quand βp1 grandit, le
kink id´eal prend le dessus, avec un taux de croissance plus important (typiquement quelques 10−3τ
A).
Remarquons que le terme de transport n’aplanit pas le profil de pression par diffusion, mais il reconstruit le profil d’´equilibre. La pression dans l’ˆılot associ´e au kink est aplanie par le transport parall`ele (en g´en´eral, χk = 100 dans nos unit´es) ;
quand l’ˆılot envahit le cœur du plasma, le profil de pression au centre devient plat. Les questions que nous nous posons sont les suivantes :
1. Avec le mod`ele de ηχMHD, quels sont les r´egimes de fonctionnement du kink interne ? En particulier, existe-t-il un domaine dans notre espace de param`etres o`u on observe l’hyst´er´esis caract´eristique des dents de scie ?
2. Quelles diff´erences observe-t-on en ajoutant les effets de d´erives diamagn´etiques ?
3.2.2 Conditions initiales
Nous utilisons deux configurations initiales diff´erentes, fournies par CHEASE, qui pr´esentent les caract´eristiques suivantes :
– Section polo¨ıdale circulaire. – Rapport d’aspect A = 2.7.
– Profil de pression parabolique ; on peut le rescaler, ce qui permet de faire varier βp1.
– Profil de βp quasi-plat.
Fig. 8 – Profils de q (bleu) et p (rouge) initiaux dans les cas high shear (trait plein) et low shear (pointill´es).
1. cas « low shear » : q vaut 0.9 au centre et croˆıt jusqu’`a 2.5 au bord. Le profil est plat sur la surface q = 1 (ˆsq=1 = 0.1).
2. cas « high shear » : q vaut 0.7 au centre, et croˆıt selon un profil parabolique jusqu’`a 5 au bord. Le shear sur q = 1 vaut ˆsq=1 = 0.4.
– Seuil id´eal du kink interne (d´etermin´e num´eriquement30) :
1. cas « low shear » : βp1= 0.21
2. cas « high shear » : βp1= 0.33
Nous illustrons ces caract´eristiques sur la figure 8.
Le cas high shear est plus proche de la majorit´e des exp´eriences. Le cas low shear m´erite cependant d’ˆetre ´etudi´e. Le fait d’avoir un profil de q plat baisse le taux de croissance du kink r´esistif (proportionnel `a q′ 2/3 sur la surface q = 1, cf. [15], p.
333) ; cette hypoth`ese a ´et´e envisag´ee pour expliquer l’absence de d´eveloppement de ce mode pendant la rampe. Le profil tr`es plat de q serait alors dˆu au pr´ec´edent crash. Rappelons que plusieurs exp´eriences ont rapport´e des facteurs de s´ecurit´e proches de 1 au cœur du plasma pour des d´echarges ohmiques avec dents de scie, ce qui est consistant avec cette configuration.
Notons que ces deux configurations sont naturellement instables vis-`a-vis du kink interne r´esistif (mˆeme si `a faible βp1, le taux de croissance est tr`es faible) puisque
30On a fait tourner les cas en MHD id´eale en faisant varier β
p1, et on a observ´e la croissance ou
q0 < 1. On aurait obtenu les mˆemes r´esultats en partant d’une configuration stable
et en faisant d´ecroˆıtre q en dessous de 1 au centre. Partir d’une configuration instable permet simplement d’´economiser du temps de simulation.
3.2.3 Modes repr´esent´es
Nous prenons les param`etres g´eom´etriques suivants :
lmax = 151 ; nsmax = 8
nmax = 12 ; mmax = 32
msup = 7 ; minf = 4
mn0 = 7
On utilise donc 4 modes toro¨ıdaux, et de 7 `a 11 modes polo¨ıdaux par mode toro¨ıdal.