Deux approches sont généralement définies pour étudier les écoulements en milieu fissuré :
Ø Le modèle d’écoulement dans une fracture individuelle d’épaisseur plus ou moins constante à un débit introduisant une loi cubique (plan de poiseuille).
Ø Les modèles de perméabilité pour un réseau de fissures sont décrits par Scheidegger (1974) cité par Sausse (1998), en les regroupant sous deux familles : les modèles des tubes capillaires et les modèles des milieux poreux équivalents.
Dans la suite de ce travail, seul le premier cas sera étudié où on s’intéresse à une fracture simple, renfermant peu ou pas d’aspérités. Dans ce cas les vitesses d’écoulement sont supposées uniformes avec des écoulements laminaires ou plus ou moins turbulents impliquant le rôle de la rugosité de la fracture.
2.1.1. Système hydraulique en milieu fracturé simple
La simplification et l’intégration des équations de Navier-Stockes (cas d’écoulement laminaire) permettent de résoudre les problèmes d’écoulement entre deux plaques parallèles et séparées d’une espace a (fig.2.1). La loi macroscopique résultante est une description généralisée des écoulements en milieu réel.
Fig. 2.1 : Schéma simplifié d’une fracture plane, d’épaisseur a
Les approximations faites sur les écoulements prenant effet entre deux plaques parallèles en régimes permanant facilitent l’intégration des équations de Navier Stockes dont le résultat est une loi cubique reliant la pression du fluide au débit d’écoulement en fonction de la largeur de la fracture.
· Loi cubique
La loi cubique découle des simplifications faites sur les écoulements au travers de deux plans parallèles où l’on suppose un régime permanent introduisant de faibles nombres de Reynolds. Les vitesses moyennes sont de l’ordre de 0.5 à 0.6 m/s pour des fractures larges de 1 mm et les nombres de Reynolds de l’ordre de 500 à 600 (Louis 1969, (rapporté par Sausse 1998)). Le fluide de percolation est incompressible, ce qui entraine que l’équation de continuité s’écrit :Ñ = 0uu=0
En se basant sur les conditions de simplifications du système, l’équation de Navier-Stockes devient:
{
2( . )u u p µ u
r
Ñ = Ñ + Ñ (2.1) Ainsi, dans ces conditions, la vitesse d’écoulement a une seule composante (parallèle à la direction de l’écoulement) et en l’absence de forces extérieures, les équations de Navier-Stockes ne sont reliées qu’à la pression. Il en sort donc que le terme advectif est nul suivant la direction x et y ( ( . )uÑ = 0). uLe profil de vitesse qui résulte de l’intégration de l’équation (2.1) selon la direction z s’écrit: 2 2 1 ( ( / 2) ) 2 z dp u x a µ dz = - (2.2) On obtient ce qu’on appelle le profil parabolique de vitesse suivant l’écoulement général. Sur une fissure de largeur l selon la direction y, le calcul du débit est donné par l’intégration du profil de vitesse suivant la direction x de l’ouverture :
2 2 1 ( ( / 2) a a dp Q =
ò
lu dx=lò
é x - a ùdx (2.3)La loi cubique qui est issue des simplifications des équations de Navier-stockes, est une fonction linéaire entre le débit d’écoulement et le gradient de pression p
L
D
, et elle est proportionnelle à l’ouverture au cube.
L’équation 2 12 z a dp Q la µ dz
= lie également le débit Q, proportionnellement à la section d’écoulement .l a sachant que l’aire de la fracture constitue le drain de la charge
hydraulique. A p Q k µL D = (2.5) Il est intuitivement possible d’identifier la loi de Darcy (équation 2.5) et la loi cubique, afin de trouver une relation entre l’épaisseur de la fracture et la perméabilité intrinsèque du fluide percolant au niveau de l’ouverture. La perméabilité k (m2) déduite est proportionnelle au carré de l’ouverture a (Noiriel 2005) :
2
1 12
k= a (2.6)
2.1.2. Géométrie de la fracture et adaptation de la loi cubique
La loi cubique établie précédemment suppose que la fracture soit formée de deux épontes lisses et parallèles à ouverture constante. Cependant les expériences ont montré que des aspérités sur les surfaces supposées planes sont inévitables, entrainant des régimes d’écoulements non laminaires influencés par la rugosité de ces surfaces (voir figure 2.2).
Fig. 2.2 : Fracture montrant des hétérogénéités de structures sur chaque plan : présence d’aspérités dues à la rugosité de surface (Gouze et al., 2003)
· Rugosité des surfaces
Les fractures réelles sont des surfaces à géométrie irrégulière sur toute la longueur, développant ainsi des altitudes variables sur les points de contacts et par rapport au plan moyen de la fracture. Ces aspérités sont susceptibles de provoquer l’installation de chemins préférentiels d’écoulement sur les zones de grandes ouvertures où la vitesse de circulation sera faible contrairement aux zones de moindres ouvertures. On peut estimer les paramètres géométriques du plan de fractures, telles que la rugosité relative, qui définit le régime d’écoulement.
La rugosité relative est une fonction du rayon hydraulique (RH) qui est le rapport entre la section mouillée (section de la fracture S) et son périmètre (P).
Les équations décrivant la géométrie de la fracture sont tirées de Sausse 1998 et Noirel 2005.
4 4( / )
H H
D = R = S P (2.7) L’estimation de la hauteur des aspérités moyennes fournit la rugosité moyenne ou absolue (RA).
/
A R H
R = R D
(2.8) RR est la rugosité relative, DH le diamètre hydraulique, S et P sont respectivement la surface et le périmètre hydraulique de la fracture.· Nombre de Reynolds et Régime d’écoulement
Le nombre de Reynolds est une constante caractéristique du régime d’écoulement. Cette grandeur adimensionnelle renseigne les perturbations occasionnées par les parois de la fracture. Il s’agit du rapport entre les forces inertielles et les forces visqueuses, et s’écrit :
e 1
R D uH
mr
-= (2.9) Les fluides de faible viscosité sont entrainés par des vitesses importantes conduisant à des fortes pertes de charges régulières au cours de leur écoulement par frottement aux aspérités du canal (Noirel, 2005). Le nombre de Reynolds est en effet inversement proportionnel à la
du domaine d’application de la loi cubique (figure 2.3). Les pertes de charges sont minimes et données par la formule de Poiseuille qui permet de déterminer le nombre de Reynolds connaissant le coefficient de perte de charge l :
e
64 R
l=
Dans le cas d’un écoulement turbulent, le facteur de friction ff est introduit dans la loi cubique pour corriger la rugosité.
1.5 96 ( )(1 3.1 ( ) Re f b f a
= + ´ ), b/a est le rapport entre la hauteur des aspérités de la surface et l’ouverture. Ce terme définit la rugosité (Jones et al., 1988).
La relation entre le débit et l’ouverture de la fracture s’écrit ainsi :
3
12
z fa dp
Q l
µf dz
=
et1
212
fk a
f
=
(2.10)Fig. 2.3 : Régimes d’écoulement associés au degré d’hétérogénéités de fracture. On constate que le régime d’écoulement lisse est caractérisé par des nombres de Reynolds Re < 2000 (In Sausse, 1998).
Lorsque les particules fluides se déplacent de manière irrégulière et variable dans le temps, le mouvement est instable et désordonné. Dans ce cas le régime d’écoulement est dit turbulent et correspond à des nombres de Reynolds supérieurs à 2300.
Le coefficient de perte de charge définit la rugosité et le situe selon que les lignes de courant sont régulières parallèles ou non (fig. 2.3).
Nous nous apercevons que la loi cubique est applicable sur tout le domaine délimitant l’écoulement laminaire. De Marsily (1981) évoque une limite laminaire turbulente située à un nombre de Reynold de 100, tandis que Louis (1969) stipule que les écoulements plans de Poiseuille se situent entre des Reynolds de 500 à 600.