Etude du Hamiltonien effectif 113 ´

M´ecanique statistique du Hamiltonien effectif L’´energie potentielle du Hamil- tonien effectif (4.35) ne d´epend que de la variable globale M2; la m´ethode des grandes

d´eviations pour calculer les propri´et´es d’´equilibre, telle qu’elle est d´ecrite dans la premi`ere partie de cette th`ese, s’applique donc sans probl`eme. On verra que pour le Hamiltonien effectif (4.35), les ensembles canonique et microcanonique sont ´equivalents; on calculera n´eanmoins dans l’ensemble microcanonique, car cela facilite les compara- isons avec les simulations num´eriques, effectu´ees `a ´energie constante. Pour plus de clart´e, d´etaillons les diff´erentes ´etapes de la r´esolution par la m´ethode des grandes d´eviations.

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Etape1 :

Il y a deux quantit´es conserv´ees : l’´energie et la quantit´e de mouvement totale. En fait, une quantit´e de mouvement totale non nulle cr´ee une rotation globale du syst`eme, d´ecoupl´ee du reste de la dynamique; on peut donc sans restriction consid´erer la quan- tit´e de mouvement totale nulle, et ne s’int´eresser qu’`a l’´energie. Le syst`eme ´etant invariant par rotation, toutes les orientations de M2 sont ´equivalentes; on supposera

donc que |M2| = (P cos 2θi) /N, et on posera M2 =|M2|.

La variable globale est alors facile `a choisir : on prendra µ = (u, M2), o`u u =

(P p2

i) /N. L’´energie s’´ecrit alors

Hef f = N u 2 + ˜P r 1 − M2 2 ! , (4.55) avec ˜P = P/N. ´ Etape2 :

L’entropie associ´ee `a une valeur de u est comme d’habitude donn´ee par (2.36) : scin(u) =

1

2ln u . (4.56) Pour calculer l’entropie configurationnelle associ´ee `a M2, il faut utiliser le th´eor`eme de

Cram´er :

Ψ(λ) = lnheλ cos 2θi_i

= ln I0(λ) , (4.57)

o`u I0 est la fonction de Bessel modifi´ee d’ordre 0. Ce qui donne pour l’entropie

sconf(M2) = − max

´

Etape 3 :

Pour obtenir la configuration d’´equilibre `a une ´energie E, pour une valeur P de l’invariant adiabatique, il suffit de r´esoudre le probl`eme variationnel

s(E, P ) = max M2 1 2ln  P N  + 1 2ln 2E P − r 1 − M2 2 ! + sconf(M2) ! . (4.59) La valeur d’´equilibre M∗

2 ne d´epend donc que du rapport E/P . On voit bien sur

l’´equation (4.59) la comp´etition entre les deux termes : M2 grand est d´efavorable pour

l’entropie configurationnelle, mais permet une plus grande ´energie cin´etique, favorable pour l’entropie scin.

La solution de ce probl`eme variationnel est donn´ee par la ligne continue de la fig- ure 4.12. Il n’y a pas de transition de phase : M∗

2 est non nul quelle que soit l’´energie;

n´eanmoins, M∗

2 tend vers 0 pour les tr`es grandes valeurs du rapport E/P : les partic-

ules sont presque libres dans cette limite. Une fois que la valeur d’´equilibre M∗

2 est connue, il est facile de compl´eter la description

de l’´equilibre statistique. La temp´erature est donn´ee par T = hui = 2 N * E − P r 1− |M2|∗ 2 + . (4.60) La distribution des vitesses est alors une Maxwellienne avec temp´erature T , et la distribution angulaire une Boltzmannienne ρ(θ)∝ e−V (θ)/T_{, avec le potentiel}

V (θ) = P

N2√2_{p1 − |M}2|∗

(1− cos(2θ + 2ψ)) . (4.61) Relaxation `a l’´equilibre du Hamiltonien effectif Nous avons maintenant `a dis- position une description compl`ete de l’´equilibre statistique du Hamiltonien effectif. On voudrait bien sˆur en tirer des conclusions concernant le mod`ele de d´epart, HMF antiferromagn´etique. Malheureusement, le Hamiltonien effectif est un Hamiltonien de type champ moyen, et, comme indiqu´e en introduction, la dynamique de ces syst`emes, dans certaines conditions, ne relaxe que tr`es lentement vers l’´equilibre. Nous allons donc commencer par ´etudier les ´echelles de temps de la relaxation `a l’´equilibre du Hamiltonien effectif, avant de les comparer avec celles du mod`ele complet. Ceci nous permettra de d´eterminer s’il est raisonnable d’esp´erer observer l’´equilibre statistique du mod`ele effectif dans la dynamique r´eelle.

Les propri´et´es de relaxation `a l’´equilibre des syst`emes avec interactions `a longue port´ee (dont le Hamiltonien effectif ou le syst`eme complet sont des exemples) posent un probl`eme important en lui-mˆeme. Nous nous concentrons ici sur le cas du Hamiltonien effectif (4.34), et approcherons le probl`eme de mani`ere plus g´en´erale au chapitre suiv- ant 5.

La figure 4.11 illustre l’approche `a l’´equilibre de la dynamique effective, pour trois tailles diff´erentes du syst`eme, avec comme conditions initiales des vitesses nulles et

Figure 4.11: Relaxation `a l’´equilibre des trois premiers moments pairs (moyenn´es sur le temps) < M2n>, `a partir de simulations num´eriques de la dynamique effective (4.35).

La ligne continue (respectivement pointill´ee et tiret´ee) correspond aux r´esultats pour N = 200 (resp. N = 800 et N = 3200). < M2 >, < M4 > et < M6 > sont repr´esent´es

de haut en bas. Ils convergent aux temps longs vers les valeurs d’´equilibre M⋆

2 = 0.510,

M⋆

4 = 0.144 et M6⋆ = 0.028, corrig´ees par les effets de taille finie.

des angles distribu´es de fa¸con homog`ene sur le cercle (ceci correspond aux conditions initiales typiques utilis´ees dans [4, 39]). On d´efinit les moments successifs de la distri- bution angulaire Mk=      1 N X j eikθj      . (4.62)

Nous avons repr´esent´e < M2n > (τ ), les moyennes temporelles de M2n du temps initial

0 au temps τ , pour n ´egal `a 1, 2 et 3. Les fluctuations temporelles sont donc ´elimin´ees. On observe d’abord des effets de taille finie : par exemple, pour le petit syst`eme N = 200, M6 converge vers une valeur plus ´elev´ee que M6⋆, la valeur d’´equilibre `a N

infini.

On observe aussi que M2 atteint rapidement sa valeur d’´equilibre, quelle que soit la

taille N du syst`eme, alors que le temps de relaxation de M4et M6augmente rapidement

avec N (on n’´etudiera pas plus pr´ecis´ement ici cette d´ependance, qui rappelle beau- coup les ph´enom`enes observ´es dans d’autres mod`eles comme le HMF ferromagn´etique, et qui vont ˆetre ´etudi´es plus pr´ecis´ement au chapitre suivant 5).

En conclusion, on s’attend `a ce que pour un grand syst`eme, seules certaines car- act´eristiques de l’´equilibre statistique effectif soient observables. Plus pr´ecis´ement, on devrait observer la valeur d’´equilibre M⋆

2, ainsi que les grandeurs qui lui sont li´ees :

la temp´erature (voir l’´equation (4.60), ou la capacit´e calorifique. En revanche, la re- laxation des moments d’ordre plus ´elev´e est tr`es lente; la distribution des particules ρ(θ) (de mˆeme que la distribution des vitesses) doit donc significativement diff´erer de

Figure 4.12: Pr´ediction statistique de la valeur de M2 en fonction du rapport E/P

entre l’´energie du Hamiltonien effectif et l’invariant adiabatique. La ligne continue montre la pr´ediction analytique, et les cercles correspondent aux r´esultats num´eriques pour le mod`ele complet (4.1).

la Maxwellienne pr´evue par la m´ecanique statistique d’´equilibre : on a d´ej`a vu que c’´etait le cas, sur la figure 4.10.