1. Test 2 (1ère partie)
1.1 Enoncé
Sur la base du modèle tabulaire de N(nt1/2), nous voulons déduire le modèle graphique de N(t), duquel, nous extrayons un modèle analytique. Nous vous proposons de vous conformer aux consignes suivantes :
1ère consigne : tracer un repère orthonormé, dont les abscisses sont les temps t=n avec n Є IN, et les coordonnées sont les populations correspondantes.
2ème consigne : proposer des formes pour le graphe de N(t), des courbes qui vous paraissent raisonnables.
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1.2 Réponses attendues
Les réponses attendues sont l’un et/ou l’autre des deux graphes ci-dessous, Graphe 3.a et Graphe 3.b.
Graphe 3.a Graphe 3.b
1.3 Résultats et discussion
Les élèves ont proposé deux formes de graphes de N(t), le Graphe 3.a et le Graphe 3.b (voir Annexe 5, exemple 3, p 159). Les statistiques correspondantes sont dans le tableau ci-dessous.
Eléments d’analyse Branche
Taux de travaux acceptables
en individuel en intergroupes aux membres tournants
Tracés d’un repère PC 100%=7/7 100%=16/16 100%=9/9 100%=21/21
SVT 100%=9/9 100%=12/12
Productions similaire à la courbe du graphe 3.a
PC 85,7%=6/7 75%=12/16 100%=9/9 95,2%=20/21
SVT 66,7%=6/9 91,7%=11/12
Productions similaire à
la courbe du graphe 3.b PC SVT 85,7%=6/7 77,8%=7/9 81,2%=13/16 100%=9/9100%=12/12 100%=21/21 Tableau 29 : résultats du test 2 (1ère partie)
En configuration d’intergroupes tournant, les élèves ont confirmé leur capacité à tracer la courbe N(t) (graphe 3.b), par une succession de fonctions affines. C’est en effet, la première prémisse sur la voie de l’élaboration du ModLI. Les élèves de la branche SVT, talonnent ceux de la branche PC, toutes formes de travaux confondues. Alors que tous les élèves ont connu une réussite à 100% lors de leurs productions de repères, puisqu’ils mobilisent des contenus qu'ils utilisent fréquemment.
109 2. Test 2 (2ème partie)
2.1 Énoncé
Nous voulons établir le modèle analytique général, de la population radioactive N(t), et établir celui du temps t en fonction de la population radioactive. Pour chacune des consignes, nous vous demandons de travailler en individuel, puis en intergroupes aux membres tournants.
1ère consigne : établir l’expression de N(t) relative au graphe 3.a.
2ème consigne : établir les expressions de N(t) relatives aux trois premiers intervalles de temps du graphe 3.b.
3ème consigne : déduire une forme générale d’intervalles de temps ainsi que le modèle analytique général de N(t) relatifs au graphe 3.b.
4ème consigne : établir l’expression générale du temps relative au graphe 3.b.
2.2 Réponses attendues
Les réponses attendues sont les suivantes :
- L’expression de N(t) relative au Graphe 3.a est :
(éq.31)
- Relativement au Graphe 3.b, les expressions de N(t) pour les trois premiers
intervalles de temps ainsi que dans le cas général, sont: Pour t alors : ou bien (éq.32) Pour t alors : ou bien (éq.33) Pour t alors : ou bien (éq.34) Pour t alors : ou bien (éq.35)
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- L’expression générale du temps relative au graphe 3.b est :
t= (éq.36)
2.3 Résultats et discussion
Les résultats de l’analyse des transcriptions sont résumés dans la grille suivante :
Eléments d’analyse des réponses
branche
Taux de travaux acceptables
individuels en intergroupes à
membres tournants établissement de l’expression de
N(t) relative au graphe 3.a
PC 0%=0/7 0% = 0/16 0%=0/9 0% = 0/21 SVT 0%=0/9 0%=0/12
établissement des trois premières expressions de N(t) relatives au graphe 3.b PC 57,1%=4/7 37,5% = 6/16 88,9%=8/9 71,4% = 15/21 SVT 22,2%=2/9 58,3%=7/12
établissement d’un modèle
analytique général de N(t) du graphe 3.b PC 42,9%=3/7 31,2% = 5/16 100%=9/9 95,2% = 20/21 SVT 22,2%=2/9 91,7%=11/12
déduction d’une forme générale
d’intervalles de temps du graphe 3.b PC 71,4%=5/7 50% =
8/16
100%=9/9 90,4%
= 19/21
SVT 33,3%=3/9 83,3%=10/12
établissement d’un modèle analytique général du temps t du graphe 3.b PC 85,7%=6/7 75% = 12/16 100%=9/9 100% = 21/21 SVT 66,7%=6/9 100%=12/12
Tableau 30 : résultats du test 2 (2ème partie)
Le modèle analytique de la décroissance radioactive, comme il est officiellement recommandé (la loi exponentielle), fait figure d’obstacle épistémologique, à l’opposé du ModLI que nous proposons. En effet, aucun mode de travail des élèves, en individuel ou en intergroupes à membres tournants, n’a abouti à une élaboration acceptable et méthodique d’un modèle analytique de N(t) à partir de la courbe de graphe 3.a, un contenu mathématique inconnu. Alors que lorsque les élèves sont dans une situation où il y a une mise en liaison entre la courbe de graphe 3.b, et l’établissement du modèle analytique de N(t), l’enseignement et l’apprentissage sont débloqués, grâce à la mobilisation d’un contenu mathématique semblable aux contenus que les élèves utilisent fréquemment.
3. Conclusion
La comparaison des grilles d’analyses statistiques du test 2, mène à conclure à une amélioration très significative dans le processus d’élaboration de modèles
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analytiques par les élèves. En effet, sur la base de contenus mathématiques connus par les élèves, le passage entre cadre de rationalité physique et cadre de rationalité mathématiques (Malafosse et al., 2001) s’opère avec beaucoup plus de réussites, aboutissant à l’élaboration du ModLI. Par ailleurs, le travail collaboratif a augmenté les performances des élèves dans l’établissement de l’expression relative au nombre de population radioactive N(t). Elle est passée de 0% à […] à 31.2% et à 95.2% (Exemples 4, Annexe 5, p 160). Alors que pour l’établissement de l’expression analytique générale du temps t, elle est passée de 0% à […] à 75% et à 100% (Exemples 5, Annexe 5, p 160).
Donc, en termes de comparaison, d’une part, dans le contexte des
recommandations officielles que nous notons par ModLet (l’utilisation de la loi
exponentielle), les élèves se bloquent définitivement une fois lorsqu’ils atteignent la phase mathématique de l’introduction des modèles analytiques de la décroissance radioactive, à savoir : les équations différentielles et leurs solutions ; les fonctions logarithme et exponentielle et les différentes manipulations qui les régissent. Alors qu’en situation d’enseignement-apprentissage du ModLI que nous proposons, les élèves enchaînent des activités, méthodiquement justes, sur le chemin du processus de la construction des modèles mathématiques. Par ailleurs, le travail collaboratif entre élèves, augmente considérablement la réussite de leurs apprentissages.
Ainsi, en écartant les difficultés inhérentes des contenus mathématiques et de leur maîtrise, l’enseignement-apprentissage, en physique, du phénomène de la décroissance radioactive, devient l’occasion de renforcer les compétences des élèves en matière du savoir faire, au cours des différentes étapes du processus de la modélisation.
Dans les manuels scolaires des sciences physiques, ainsi que sur les instructions officielles adressées aux professeurs, la leçon de la loi de la décroissance radioactive
se base sur sa forme mathématique connue ( ) où la fonction
exponentielle est introduite indépendamment qu’elle soit enseignée aux élèves en cours de mathématiques. Ceci nous a conduits à l’élaboration du ModLI. C’est dans cette perspective que l’élaboration d’un deuxième modèle s’inscrit, en l’occurrence
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que nous utilisons dans la vérification du bien fondé de nos hypothèses de ce travail de recherche. Surtout, celui relatif à la mobilisation des mathématiques dans des registres sémiotique et sémantique enseignés et appris par les élèves.