5) Etude et modélisation de la viscosité dynamique

Data positif Hejer/Schwarz

Loi de Stokes dans le gaz

Loi de Millikan-Cunningham

Loi de Stokes dans le Liquide

Loi de Stokes pour l'ion du supercritique

Fig. 4 : mobilité des ions positifs dans l’hélium gazeux à 4,8K. Le seul et unique point expérimental dans le

liquide provient de Schwarz [Phys. Rev. A 6, 1972]. On observe qu’avec notre approche décrite dans le chapitre 2, on peut reproduire de manière satisfaisante l’observation expérimentale. Cependant la loi d’évolution du rayon

en fonction de la pression doit être différente de celle qui permet de reproduire l’ensemble des données expérimentales dans la phase supercritique.

II-5) Etude et modélisation de la viscosité dynamique

Les mobilités observées dans l’hélium liquide, supercritique, gazeux et superfluide montrent qu’elles peuvent être expliquées par la loi de Stokes-Einstein ou plus généralement par la relation de Millikan-Cunningham (i.e. lorsque le nombre de Knudsen devient grand devant l’unité). Le calcul théorique des mobilités avec ce type d’approche nécessite de connaître parfaitement la viscosité de l’hélium dans toutes ses phases fluides. Cette viscosité est « bien déterminée » (i.e. incertitude de l’ordre de 8 à 10%) pour les phases fluides supérieures à 2,2 K et on trouve des données sur le site web du NIST. En revanche, en dessous de 2,2K, apparaît la transition superfluide puis la phase superfluide. Or dans la phase superfluide, la viscosité a été déterminée par de multiples auteurs seulement le long de la courbe de pression de vapeur saturante. En dehors de ces états, seuls quelques auteurs ont déterminé des valeurs de viscosité du fluide normal et ce en très petit nombre ; les quelques valeurs ainsi obtenues montrent généralement des écarts de 100% entre les auteurs. Il est donc impératif d’obtenir des valeurs de viscosité aussi précises que possible et pour une large gamme d’états superfluide afin de pouvoir analyser et modéliser correctement les observations de mobilité. Nous avons entamé, en collaboration avec Gérard Vermeulen, chercheur à l’Institut Néel, la réalisation

d’un viscosimètre à base de fil vibrant. Un stage de Master a permis d’obtenir des premières mesures à l’aide d’un fil vibrant (NbTi) de 100µm de diamètre le long de la courbe de pression de vapeur saturante entre 1,4 et 4K. Pour ce type de fil 1,4K représente la température de transition entre le régime hydrodynamique et balistique (i.e. régime de Knudsen).

Plus largement, nous avons entamé avec F. Volino une modélisation semi-empirique de la viscosité dynamique d’un grand nombre de fluides. La modélisation est fondée sur une théorie visco-élastique non-extensive. En quelques mots, l’idée consiste à admettre que le milieu est constitué d’objets rigides identiques occupant un volume V : la position rr d’un objet dans le volume

V est alors décomposée en une position moyenne rr (décrivant les mouvements ₀

macroscopiques) plus un déplacement linéaire ur décrivant les fluctuations thermiques (de valeur moyenne nulle). Les fluctuations de position des objets induisent localement un cisaillement caractérisé par un module élastique K que l’on peut associer à une variation d’énergie libre élastique F −F =

∫

0 ε où

kl

ε représente les composantes de cisaillement du tenseur de déformation. En admettant que le déplacement ur est décomposable en série de Fourier spatiale, on introduit la notion de modes élastiques spatiaux indépendants (chacun étant caractérisé par un vecteur d’onde qr et une polarisation) puis en postulant le principe d’équipartition de l’énergie pour les modes (i.e. l’énergie thermique moyenne par mode est k_BT 2), on déduit une expression du carré moyen du déplacement qui intervient dans l’expression du coefficient d’auto-diffusion. Le coefficient de viscosité s’obtient comme la somme d’une partie gaz parfait (qui ne dépend que T) et d’une partie liquide qui traduit l’amortissement des contraintes de cisaillement globales (i.e. à l’échelle du volume V) pendant l’échelle caractéristique dissipative de temps. Le modèle reste semi-empirique dans la mesure où les variations en densité et éventuellement en température de deux paramètres (dont K) dépendent du milieu considéré et sont donc déterminées à partir des données expérimentales. Ceci dit ces paramètres ont des ordres de grandeurs et des conditions aux limites imposés pour qu’ils puissent avoir un sens physique. Les Fig. 5(a) et Fig. 5(b) montrent juste un échantillon très réduit pour deux fluides (l’hélium et l’argon) de l’accord que l’on peut obtenir entre le modèle non-extensif et les données expérimentales.

Bien que ce modèle représente une certaine universalité parmi la jungle des équations d’état du coefficient de viscosité, son intérêt profond réside dans le fait qu’il permet de reproduire et comprendre des données a priori incompatibles entre elles comme c’est le cas sur la Fig. 5(c) : l’expérience de Zhdanova est très différente dans les échelles caractéristiques (dimensions, géométrie, temps,…) utilisées par rapport aux manips qui constituent le nuage de points pour lequel les data NIST représentent le meilleur accord ; même en prenant en compte les erreurs expérimentales, les deux jeux de données sont irréductibles. Or notre modèle permet de reproduire ces deux jeux en considérant que c’est seulement la

longueur de cohérence qui change entre ces deux types de données ce qui peut aisément se comprendre quand on analyse les conditions expérimentales propres à ces deux types de manip.

(a) (b)

(c)

Fig. 5 : (a) Comparaison du modèle théorique (ligne solide rouge) avec les data NIST (ronds verts) dans

l’hélium pour l’isochore ρ_λ,max =0.14624 g/cm³. Afin de montrer la cohérence de la divergence théorique, les data de viscosité (issues de plusieurs auteurs) le long de la courbe de pression de vapeur saturante sont également tracées. (b) Comparaison du modèle théorique (ligne solide rouge) avec un ensemble de data dans l’argon le long de la courbe de pression de vapeur saturante. (c) Comparaison du modèle théorique (lignes solides rouge et bleu)

avec les data NIST (ronds noirs) et les data de Zhdanova (carrés bleus) dans l’argon pour l’isochore

3 g/cm 22 . 1 = ρ .

I

IIIII)) CC

Rappelons que l’étude des raies spectrales est actuellement l’unique sonde qui permet d’observer le plasma formé durant la micro-décharge. L’analyse et en particulier la modélisation de ces profils de raie est l’unique moyen de pouvoir déterminer un certain nombre de paramètres caractéristiques du plasma comme, par exemple, la densité des atomes neutres autour de l’atome émetteur.

L’obtention de profils de raie déduits de l’approximation quasi-statique (PQS) est un problème numériquement difficile et très délicat à résoudre du fait en particulier de la très forte oscillation des fonctions à intégrer et de leurs dynamiques rapides dans le temps lorsque le potentiel d’interaction évolue. La résolution de la fonction d’auto-corrélation pour l’obtention des profils de raie fait l’objet d’une thèse qui vient de démarrer en 2014, en collaboration avec N. Bonifaci,

Afin d’illustrer la difficulté de la résolution numérique du problème, nous montrons sur la Fig. 6 l’exemple le plus simple de fonction fortement oscillante à intégrer dans le cadre de l’approximation quasi-statique pour un potentiel de van der Waals ΔV(R) = C6/R6. Rappelons que dans ce cadre théorique la fonction d’auto-corrélation φ s’exprime de la manière suivante :

[

]

∫

où ΔV(R) représente le potentiel d’interaction entre l’émetteur et le perturbateur

et Nd représente la densité de perturbateurs.

La Fig. 6 fait clairement apparaître que la fonction Vp augmente lorsque le temps s augmente et par conséquent la fonction d’auto-corrélation diminuera en proportion exponentielle. On observe également que le savoir faire pour la résolution de ce type de relation réside, entre autres, dans l’adéquation entre le temps maximum de la simulation et le rayon maximum de troncature pour la méthode de quadrature.

Fig. 6 : Partie réelle et partie imaginaire de l’intégrande de la fonction Vp pour un potentiel de van der Waals avec C₆ = 10-43 m6/s, pour deux intervalles de temps différents s (exprimés ici en cm en utilisant

la célérité de la lumière).

L’intérêt du potentiel de van der Waals provient du fait que l’on peut trouver une solution analytique du profil de raie ce qui en fait un potentiel de référence pour tout développement numérique. La Fig. 7 montre que notre méthode numérique est apte à reproduire le profil de raie avec une précision de quelques pourcents.

Fig. 7 : la figure de gauche montre la comparaison des profils de raie calculés d’une part par une relation

analytique (courbe bleue en trait plein) et d’autre part par une méthode de quadrature numérique (courbe en pointillés rouges) pour une densité Nd = 1026 atomes/m3. La figure de droite montre l’écart entre ces deux profils.

s = 1 cm

AXE « Calorimètre pour la mesure des pertes