Etude dynamique : Th´ eor` emes de la m´ ecanique appliqu´ e au syst` eme (S) non ponctuel

9.3.1 Th´ eor` eme de la r´ esultante dynamique.

Consid´erons le syst`eme (S) compos´e deux pointsM1, de masse m1 etM2, de masse m2. M₁ est soumis :

1. `a la force ext´erieure : f~_ext(M₁),

2. et `a la force d’interaction de M<sub>2</sub>, qui est une force int´erieure au syst`eme : f~_int2→1. De mˆeme, M2 est soumis :

1. `a la force ext´erieure : f~ext(M2),

2. et `a la force d’interaction de M<sub>1</sub>, qui est une force int´erieure au syst`eme : f~_int1→2 =−f~_int2→1. Etude de la quantit´e de mouvement.

Appliquons le pfd `aM<sub>1</sub> dans R<sub>gal</sub>. m<sub>1</sub><sup>d~</sup><sub>dt</sub><sup>v1</sup>)<sub>R</sub> =f~<sub>ext</sub>(M<sub>1</sub>) +f~<sub>int 2→1</sub>. Appliquons le pfd `aM₂ dans R_gal. m₂^d~_dt^v2)_R =f~_ext(M₂) +f~_int 1→2.

d’o`u m^d~_dt^vG)_R =m₁^d~_dt^v1)_R+m₂^d~_dt^v2)_R=f~_ext(M₁) +f~_ext(M₂) + (f~_int 2→1+f~_int 1→2).

Et f~int= (f~int 2→1+f~int 1→2) =~0 d’apr`es la loi d’action r´eaction (ou loi des actions r´eciproques).

Proposition :

La r´esultante des forces int´erieures d’un syst`eme est nulle : la r´esultante des forces ne fait donc inter-venir que les forces ext´erieures.

Th´eor`eme de la r´esultante dynamique. (TRD).

Dans le r´ef´erentiel galil´een R_gal, le mouvement du centre de masse G est celui d’un point mat´eriel dot´e de la masse totale du syst`eme m, et soumis `a la r´esultante des forces ext´erieures.

m^d~_dt^vG)_Rgal =Pf~_ext.

9.3.2 Th´ eor` eme du moment cin´ etique.

Appliquons le TMC en 0 fixe dansR_gal `a M₁. m₁^d~L0_dt^(M1))_R=M~₀(f~_ext(M₁)) +M~₀(f~_int 2→1).

De mˆeme `a la particule 2.

m^d~_dt^L0)R=M~0(f~ext) + (M~0(f~int2→1) +M~0(f~int 1→2)).

Or M~₀(f~_int 2→1) +M~₀(f~_int 1→2) = (OM~ ₁−OM~ ₂)∧f~_int2→1 =~0 car f~_int2→1 etM₁~M₂ sont colin´eaires.

Proposition :

Le moment en un point O quelconque, r´esultant des forces int´erieures d’un syst`eme, est nul : le mo-ment en un point O des forces ne fait donc intervenir que les forces ext´erieures, et au besoin les forces d’inertie d’entraˆınement et de Coriolis.

Th´eor`eme du moment cin´etique.

d~L₀

dt )_R =M~₀(f~_ext

9.3.3 Etude ´ energ´ etique.

Travail des forces int´erieurs.

Consid´erons le cas o`u la particule 1 et 2 interagissent entre elles.

D’apr`es le th´eor`eme des actions r´eciproques : f~1→2 =−f~2→1, Sch´ema.

P_int=f~1→2.~v₂+f~2→1.~v₁ P_int=f~_1→2.(~v₂−~v₁)

P_int=f~1→2.(^dM_dt^1~M2) P_int=f~_1→2.(r^d~_dt^u + ˙r~u) Pint=f~1→2.r~˙u

P_int=f1→2r˙

δW_int=f1→2rdt˙ =f1→2dr Proposition :

la puissance totale des forces int´erieures qui est une fonction de la position relative uniquement ne d´epend pas du r´ef´erentiel d’´etude.

Deux cas sont `a distinguer :

Le syst`eme est ind´eformable : (solide) le travail des forces int´erieures est nul. Le cas du solide ind´eformable ne diff`ere donc pas du bilan effectu´e pour un point mat´eriel.

Le syst`eme d´eformable : le travail des forces int´erieures est non nul mˆeme si la r´esultante des forces int´erieures est nulle.

Ph. Ribi`ere MPSI 87 Int´eressons nous au cas du syst`eme d´eformable.

Supposons en outre que cette force d’interaction soit de la forme f(r)~u et d´erive donc d’une ´energie potentielle E_P tel que f(r) =−^dE_dr^P.

δW_int=f1→2rdt˙ =f1→2dr=−^dE_dr^Pdr =−dE_P. D´efinition :

L’´energie d’interaction du syst`eme est l’´energie potentielle E_P dont d´erive la force d’interaction entre les particules.

Attention :

E_P 6=E_P(M₁) +E_P(M₂), cela reviendrait `a compter deux fois l’interaction.

Th´eor`eme ´energ´etique.

Enonc´e, d´emonstration.

Bilan.

Dans le TRD et le TMC pour le syst`eme n’interviennent que les forces ext´erieures. Les actions des forces int´erieures se compensent.

Dans le th´eor`eme de l’´energie cin´etique et le th´eor`eme de l’´energie m´ecanique, il faut tenir compte des forces ext´erieures et des forces int´erieures.

9.4 Syst` eme isol´ e de deux points mat´ eriels. R´ eduction cano-nique.

9.4.1 Position du probl` eme.

Consid´erons le syst`eme (S) compos´e deux points M₁, de masse m₁ et M₂, de masse m₂ dans le r´ef´erentiel R galil´een.

Dans cette partie, on ´etudie le mouvement de ce syst`eme en le supposant isol´e : i.e. f~_ext=~0.

Les seules forces sont donc les forces int´erieures que l’on suppose d´ependre uniquement de la distance r ~f_int =f~2→1 =−f~1→2 =f(r)~u.

G d´esigne le centre de gravit´e du syst`eme OG~ = ^m1OM~_m^{1=m2OM~ 2}

1+m2 .

R^∗ d´esigne le r´ef´erentiel g´eocentrique.

9.4.2 Premier int´ erˆ et du r´ ef´ erentiel barycentrique : R

est galil´ een.

TRD dans le ref R gal donne~v_G =cste.~

Cq 1 : la quantit´e de mouvement du syst`eme est une cste.

Cq 2 : R^∗ est en translation rectiligne uniforme par rapport `a R galil´een donc R^∗ galil´een.

9.4.3 Loi de conservation dans le r´ ef´ erentiel barycentrique.

Conservation du moment cin´etique barycentrique.

TMC en G fixe dans le r´ef´erentiel R^∗ galil´een donne :

d ~L^∗G

dt =GM~ ₂∧f~_1→2+GM~ ₁∧f~_2→1

d ~L^∗G

dt = (GM~ ₂−GM~ ₁)∧f~2→1 =~0

Cq : le moment cin´etique barycentrique d’un syst`eme isol´e L~^∗ reste constant au cours du temps, sa valeur est fix´ee par les conditions initiales.

Conservation de l’´energie m´ecanique barycentrique.

E_M^∗ =E_C^∗ +E_{P int} =cste.

Cq : l’´energie m´ecanique barycentrique d’un syst`eme isol´e E_M^∗ reste constant au cours du temps, sa valeur est fix´ee par les conditions initiales.

9.4.4 Etude du mouvement dans le r´ ef´ erentiel barycentrique : r´ eduction canonique.

D´efinition du point r´eduit.

Ce que l’on souhaite ´etudier au cours du temps, outre le mouvement d’ensemble d´ecrit par le mou-vement du centre de gravit´e d´ej`a ´etudi´e, c’est le mouvement relatif des deux points : i.e. l’´evolution de M₁~M₂ =r~u.

Etudions donc ^dM_dt^1~M2 =~v ^dM_dt^1~M2 = ^{d ~GM}_dt ² − ^{d ~GM}_dt ¹

dM1~M2

dt =~v₂−~v₁

dM1~M2

dt =~v^∗₂−~v^∗₁ par formule de changement de r´ef´erentiel.

Or le pfd dansR^∗ galil´een donne m₂^~v_dt^2∗ =f~1→2

et m₁^~v_dt^1∗ =f~2→1

D’o`u _m^m1m2

1+m2

d²M1~M2

dt² =f~1→2

cette ´equation est l’analogue de l’´equation du mouvement d’un point de vitesse ~v la vitesse relative et de masse µ la masse r´eduite.

Th´eor`eme de r´eduction canonique du probl`eme `a deux corps.

Le mouvement relatif de la masse m₁ et m₂ qui constituent le syst`eme est ´equivalent au mouvement

Ph. Ribi`ere MPSI 89

dans le r´ef´erentiel barycentrique R^∗ d’un point M appel´e ”point r´eduit” ou ”point ´equivalent” de caract´eristique suivante :

- de masse r´eduite µ= _m^m1m2

1+m2

- de position GM~ =M₁~M₂ =~r - soumis `a la force vraie f~1→2.

Etude du mouvement relatif `a l’aide du point r´eduit.

Connaissant le mouvement du point r´eduit, on peut remonter au mouvement de M1 et de M2. On connaˆıt les relations suivantes :

m₁GM~ ₁+m₂GM~ ₂ =~0 (1) GM~ =GM~ ₂−GM~ ₁ (2)

D’o`uGM~ ₁ =−_m^m2

1+m2

GM~ et GM~ ₂ = _m^m1

1+m2

GM~

Etude du mouvement du point r´eduit.

Etude du moment cin´etique. v~^∗₁ =−_m^m2

1+m2~v et v~^∗₂ = _m^m1

1+m2~v d’o`u L~^∗_G =µ~r∧~v.

Le Th´eor`eme du moment cin´etique appliqu´ee en G fixe dans R^∗ galil´een donne :

d ~L^∗

dt =GM~ ∧f~1→2 =~0

Le point r´eduit est soumis `a une force centrale. Donc son moment cin´etique se conserve (red´emonstration d’un r´esultat obtenu plus tˆot.)

Donc le mouvement est plan.

Donc la loi des aires est v´erifi´ees.

Etude de l’´energie m´ecanique. E_C^∗ = ¹₂mv^{∗ 2}.

Comme la force est conservative, on fait apparaˆıtre l’´energie potentielle efficace.

Conclusion : Pour ´etudier le mouvement relatif, il faut et il suffit d’´etudier le mouvement du point r´eduit.