6.3 Analyse de stabilité linéaire spatiale et spatio-temporelle
6.3.1 Etude des ondes convectives, nature de l’instabilité
6.3.1.1 Quelques rappels de méthodologie.
Un des scenarii classiques de déstabilisation de zones décollées repose sur l’amplification spatiale d’onde d’instabilité, dans une première phase bidimensionnelle convective. En parti- culier, cette première étape de la transition est relativement bien décrite par des analyses de stabilité locales [71] [73]. Pour cela, les perturbations de vitesse u =t (u, v) et de pression p sont prises sous la forme de modes normaux suivantes :
u = ˜u (y) exp [i (αx − Ωt)] v = ˜v (y) exp [i (αx − Ωt)] et p = ˜p (y) exp [i (αx − Ωt)]
(6.1)
En se référant aux discussions de la première partie de ce mémoire, nous adoptons un point de vue spatial. Ainsi, la fréquence Ω est réelle et le nombre d’onde α est complexe, et liés par la relation de dispersion D (Ω, α)41.
Nous étudions alors l’évolution des taux d’amplification spatiaux σ = −αi et des nombres d’onde αr en fonction de la position x sur la plaque et de la pulsation Ω. En outre, une approche PSE 42 est aussi réalisée de manière à mesurer l’influence du non parallélisme sur les ondes spatiales. Les critères de non parallélisme, appliqués à la méthode PSE, sont basés sur l’énergie pour les taux d’amplification et le maximum local de ˜v, pour la longueur d’onde λ. Ainsi : σ = −αi+ E1 ∂E∂x 2π λ = αr+ < µ 1 vm ∂vm ∂x ¶ (6.2) avec vm= maxy(|v|) et E = Z |u|2+ |v|2dy (6.3)
Enfin, 100 points de collocation spectrale suivant y sont consacrés à la discrétisation des équations PSE et de D (Ω, α) 43.
6.3.1.2 Propriétés spatiales.
L’écoulement D1 est considéré pour illustrer les propriétés spatiales des ondes (6.2). La courbe neutre 6.4 met en lumière le caractère fortement instable lié à la zone décollée et la large bande de fréquences qui peut être excitée. En particulier, les fréquences instables peuvent atteindre ici des valeurs de F r = 1200 × 10−6, correspondant à une pulsation de Ω = 0.2444. Cette dernière est à rapprocher de 300 × 10−6 associée à l’écoulement de Blasius.
Chapitre 6. Analyse de stabilité linéaire parallèle et faiblement non parallèle. x Ωr 0 100 200 300 400 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.08 0.064 0.048 0.032 0.016 0 PSE 1D
Fig. 6.4 – Courbe neutre relative à l’écoulement décollé étudié, dans le plan (Ωr, x). Les traits verticaux discontinus représentent les positions de décollement et de recollement.
Plus spécifiquement, l’influence de la zone décollée sur σ et les longueurs d’onde λ = 2π αr, est mise en lumière par une coupe de la courbe neutre 6.5 à Ω = 0.1. Une forte augmentation du taux d’amplification spatial apparaît très nettement au sein de la bulle pouvant atteindre un ordre dix fois supérieur à celui d’une couche limite de Blasius. De plus, les longueurs d’onde subissent de violentes variations au sein de la zone de recirculation, induisant des changements de vitesse de phase des ondes : vΦ = Ωrλ/2π, intenses. En particulier, celles-ci ont tendance à ralentir au voisinage de la bulle, lors d’une excitation à une fréquence donnée. Enfin, nous pouvons remarquer que les approches faiblement non parallèle et locale se rejoignent au bout du domaine. Ceci est en accord avec le fait que nous relaxons vers un écoulement de Blasius, où l’effet du non-parallélisme est moins significatif.
Ces spécificités, propres à σ et λ, peuvent être expliquées par le changement de nature de l’instabilité. En effet, cette nature se distingue par une contribution non visqueuse, associée à la présence d’un point d’inflexion sur les profils de vitesse décélérés et décollés 45. L’onde d’instabilité peut ainsi s’apparenter à une onde KH se développant le long de la couche de mélange. Afin de mettre en lumière l’influence de la couche de mélange et la compétition entre les deux natures de l’instabilité, une étude de l’évolution des fonctions propres suivant x est réalisée. Deux profils caractéristiques de vitesse sont examinés, au point de décollement et au maximum du point d’inflexion. Les figures 6.6 et 6.7 expriment ici assez nettement les particularités spatiales de l’onde d’instabilité, au fur et à mesure que celle-ci se propage le long de la plaque. A l’abscisse Xsep, le profil de la composante longitudinale de la perturbation |˜u| possède deux maxima entre y = 0 et y = 4. Un premier, correspondant à l’influence de la paroi, similaire au profil que l’on observe dans une couche limite de Blasius. Un deuxième, au niveau du point d’inflexion, associé à un mécanisme de Kelvin-Helmholtz. Les profils de |˜u|, |˜v| et |˜p| à l’abscisse où la position du point d’inflexion est située le plus haut par rapport à la
45critère de Rayleigh
6.3. Analyse de stabilité linéaire spatiale et spatio-temporelle. x σ 0 100 200 300 400 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
(a) Taux d’amplification spatiale. Le critère de non parallélisme pour les équations PSE est basé sur l’énergie.
x λ 0 100 200 300 400 22 24 26 28 30
(b) Longueur d’onde. Le critère de non parallélisme pour les équations PSE est basé sur le plus haut maximum local de la composante ver-
Chapitre 6. Analyse de stabilité linéaire parallèle et faiblement non parallèle. y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10
(a) Profil de vitesse longitudinale
U . y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 2 4 6 8 10 |u| |v| |p|
(b) Composantes du vecteur des perturbations.
Fig. 6.6 – Profils de vitesses et fonctions propres calculés par une approche locale, au point de décollement Xsep, pour la fréquence réduite : Fr = 500 × 10−6, correspondant à une pulsation Ωr= 0.1.
paroi, sont particulièrement intéressants. En effet, nous observons un changement de nature de l’instabilité, qui apparaît complètement dominée par une origine inflexionnelle, non visqueuse. Le maximum relatif au point d’inflexion l’emporte alors sur celui d’origine visqueuse.
Nous pouvons souligner que ses caractéristiques sont semblables à celles observées par Rist et al. [73] [71] ou encore Theofilis et al. [84], dans des configurations similaires. Évidemment, ces approches reposant sur les équations linéarisées de Navier-Stokes, elles ne fournissent aucun renseignement sur les phénomènes non-linéaires. Néanmoins, nous pouvons quantifier l’influence de ces derniers, à l’aide du critère empirique en, discuté dans la première partie. Nous traçons ainsi les courbes d’amplitude associées à D1 et D3, issues d’une étude PSE. Celles-ci sont représentées sur la figure 6.8. Les niveaux atteignent ici des valeurs supérieures à 10 pour l’écoulement où la zone de recirculation est la plus intense. Des effets non linéaires peuvent ainsi être attendus dans une telle configuration et notamment aboutir à une certaine saturation de l’onde.
Enfin, nous avons remarqué, dans la première partie de ce mémoire, que certaines zones de recirculation possédant des écoulements de retour importants peuvent être l’objet d’une instabilité globale intrinsèque à la bulle. Ce comportement peut alors être lié aux propriétés locales de l’écoulement, associées au caractère convectif ou absolu du profil de vitesse étudié [50]. Une étude de stabilité locale spatio-temporelle est ainsi nécessaire pour déterminer de telles spécificités. De ce fait, la prochaine section est consacrée à une étude convective/absolue des différents profils de vitesse des écoulements D1, D2 et D3.
6.3.2 Analyse des propriétés locales convectives/absolues de l’instabilité.