Etude des ´eclipses

La particularit´e des pulsars appartenant `a des syst`emes de type “Veuve Noire” est de produire des ´eclipses. Ces ´eclipses sont caus´ees par un exc`es de mat´eriel provenant de l’´etoile compagnon le long de la ligne de vis´ee du pulsar. Cet exc`es de mati`ere est vu lors de l’´etude de l’analyse des ToAs. Une mod´elisation de la variation des ToAs due `a un exc`es de mati`ere ionis´ee lors des entr´ees et sorties d’´eclipses du cˆone d’´emission radio a ´et´e r´ealis´ee par Madsen et al. (2012) afin d’´etudier le syst`eme binaire constitu´e du pulsar J1740−3052 et d’une ´etoile de la s´equence principale de type B. Dans le cas pr´esent, bien que nous ne sommes pas dans cette configuration mais avec un syst`eme plus ´evolu´e, nous utilisons tout de mˆeme ce mod`ele dans une premi`ere approche. A partir des formules tir´ees de Kaspi et al. (1996), Madsen et al. (2012) ont montr´e que l’exc`es de DM caus´e par un exc`es de mati`ere ionis´ee le long de la ligne de vis´ee du pulsar pouvait s’´ecrire :

n_e(r) = ¹ 1.1 × 10−9 ˙ M vratio Z 1 p1 − Rc/r r2dl (4.17)

avec ˙M le taux de masse perdue par l’´etoile compagnon en M⊙ yr−1, vratio est le rapport entre la vitesse `a l’infini et la vitesse de lib´eration de la mati`ere de l’´etoile compagnon, Rc est le rayon de l’´etoile compagnon en R⊙ et r est la distance radiale au compagnon (voir figure 4.11). On notera que le terme ∝ p1 − Rc/r se r´ef`ere `a la vitesse du vent radiatif (Castor et al., 1976; Pauldrach et al., 1986). Pour le syst`eme ´etudi´e ici, il s’agit d’un pulsar, PSR J2055+3829, qui passe derri`ere une ´etoile compagnon qui perd de la mati`ere (par un vent avec un taux de transfert ˙M ) et qui par ´eclipse voit son intensit´e radio diminuer (au point de disparaitre) et le d´elai de propagation s’allonger par effet dispersif. Nous faisons l’hypoth`ese que l’exc`es de d´elai vu `a 1.4GHz est un effet dispersif. L’orbite du syst`eme ´etudi´e est circulaire, le rayon de l’orbite (R sur la figure 4.11) est ici le demi-grand axe projet´e (x, voir la table 4.1), r2 = x2 + l2− 2xl cos(θ) o`u l est la distance de mati`ere ionis´ee travers´ee par le cˆone d’´emission radio, distance sur laquelle on int`egre (entre −x cos(θ) et +x cos(θ)). Nous avons r´ealis´e une ´etude `a base de chaˆınes de Markov Monte-Carlo (MCMC) en utilisant la librairie python EMCEE (Foreman-Mackey et al., 2013) qui permet une exploration tr`es efficace de l’espace des param`etres par maximisation d’une fonction de vraisemblance `a partir du mod`ele de Madsen et al. (2012). Un grand nombre de “marcheurs” sont initialis´es avec diff´erentes positions. A partir des diff´erentes positions initiales, les “marcheurs” vont chacun d’une aire de l’espace des param`etres `a une autre. Si la vraisemblance est sup´erieure `a celle de la position actuelle alors

θ R l r Pulsar Étoile compagnon Vers la Terre

Figure 4.11 G´eom´etrie consid´er´ee pour l’´etude des ´eclipses du pulsar J2055+3829. L’orbite ´etant circulaire, R est le rayon de l’orbite, r est la distance radiale au com-pagnon et l est la distance de mati`ere ionis´ee travers´ee par le cˆone d’´emission radio, distance sur laquelle on int`egre l’´equation 4.17.

Table 4.2 Valeurs de l’ajustement du mod`ele avec un MCMC. Param`etres Valeurs Rc (R⊙) 0.5^+0.4_−0.3 ˙ M /vratio (M⊙ yr−1) 1.1⁺³₋₇× 10−12 ∆_ne (pc cm−3) 0.03^+0.01_−0.01 ∆φ_b 0.23^+0.004_−0.004

le “marcheur” se rend `a cette nouvelle position. Dans le cas contraire, il teste une autre position. Ainsi de suite, les “marcheurs” se rendent dans l’aire de l’espace des param`etres o`u la vraisemblance est maximale. La fonction de vraisemblance choisie est

ln ( L(y | r, Rc, ˙M /vratio, ∆ne, ∆φ_b) ) = −¹₂^X i

"

{yi− ne(r, Rc, ˙M /vratio, ∆ne, ∆φ_b)}2 σ2

i

#

(4.18) o`u ∆ne et ∆φ<sub>b</sub> servent `a ajuster la densit´e d’´electrons et la phase orbitale. Dans le cadre de cette ´etude, 3 000 “marcheurs” ont ´et´e consid´er´es effectuant 8 000 sauts. Le seuil d’acceptation est fix´e `a 5 (par d´efaut cette valeur est fix´ee `a 3). Le r´esultat de cette ´etude est pr´esent´e `a la figure 4.12 et les valeurs de l’ajustement sont donn´ees `a la table 4.24.

La valeur du param`etre ˙M /vratio donne directement une indication sur l’ordre de grandeur du taux de transfert de mati`ere ayant lieu dans le syst`eme binaire. En effet, supposant que vratio varie entre 1 et 3 (Bjorkman et Cassinelli, 1993), on peut dire que ˙M ∼ 3.7<sup>+3</sup>−7× 10−13− 1.1<sup>+3</sup>−7× 10−12, en accord avec le mod`ele King et al. (2003) qui fixe un ordre de grandeur sur le transfert de mati`ere limite afin de pouvoir voir les ´eclipses d’un pulsar de type “Veuve Noire” selon la relation

˙

M_crit ∼ 10⁻¹¹T₆^3/4P_b,6 M_⊙ yr⁻¹ (4.19) avec T6 la temp´erature exprim´ee en unit´e de 106 K (dans le cas du syst`eme constitu´e de PSR J2055+3829, T<sub>6</sub> ∼ 0.07<sup>+0.6</sup>−1.4− 0.22<sup>+0.6</sup>−1.4 K), P<sub>b,6</sub> la p´eriode orbitale normalis´ee par une p´eriode orbitale de 6 heures. Au-del`a de ce seuil, la densit´e de mati`ere ionis´ee dans la magn´etosph`ere du pulsar devient tel qu’il n’est plus possible de voir l’´emission radio des pulsars. Dans le cas des syst`emes `a “Veuve Noire”, le taux de transfert est si faible et l’´echelle de temps caract´eristique de ce transfert est si long (> 109 ann´ees King et al., 2003) que ces pulsars sont d´etectables en radio et leur probabilit´e de d´etection est haute.

Figure 4.12 Mise en ´evidence de l’exc`es de DM en fonction de la p´eriode orbitale pr´esent le long de la ligne de vis´ee du pulsar J2055+3829. La courbe rouge pr´esente le r´esultat de l’ajustement dont les valeurs sont donn´ees `a la table 4.2. Les r´esidus en noir sont issus des observations `a 1.4 GHz, ceux en bleu sont obtenus avec les observations `a 2.5 GHz.