II.5.1.Le modèle cinématique direct (MCD): L’outil principalement utilisé pour traiter le problème de la cinématique des robots est la matrice jacobienne. Elle représente un opérateur permettant de lier les vitesses des corps d’un robot exprimées dans différents espaces vectoriels [10].
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Le Modèle Cinématique Direct (MCD) permet de calculer les composantes du torseur cinématique 𝐗̇ à partir des vitesses articulaires dites généralisées 𝐪̇, dérivées par rapport au temps des coordonnées généralisées q. Le torseur cinématique est défini par :
𝐗̇ = [𝐗𝐧
𝛚𝐧] (2.29)
Le MCD fait intervenir la matrice jacobienne, fonction de la configuration du robot manipulateur, tel que :
𝐗̇ = 𝐉(𝐪)𝐪̇ ( 2. 30)
II.5.2.Calcul Indirect de la matrice Jacobienne :
Le calcul indirect de la matrice jacobienne consiste à utiliser le modèle géométrique du robot manipulateur.
X=f(q) ( 2. 31)
Et par définition, la matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles de la fonction f par rapport aux coordonnées généralisées, ainsi :
J(q)=
𝝏𝑿𝝏𝒒
(2.32)
Cette méthode de dérivation est facile à mettre en œuvre pour des robots à deux ou trois degrés de liberté dans le plan, mais pour des robots ayant plus de trois degrés de liberté la dérivation manuelle devient presque impossible.
II.5.3.Calcul direct de la matrice Jacobienne:
On peut utiliser une méthode très répandue pour le calcul cinématique, qui permet d’obtenir la matrice jacobienne par un calcul direct fondé sur l’influence que produit chaque articulation d’ordre k de la chaîne sur le repère terminal 𝕽𝐧 .
On peut calculer 𝐕𝐊,𝐧et 𝛚𝐊,𝐧 en considérant séparément les cas d’une articulation prismatique et d’une articulation rotoïde:
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Figure II.5: Influence du type de l’articulation sur le repère terminal. Où
𝐋𝐤,𝐧: désigne le vecteur d’origine et d’extrémité 𝐎𝐧
𝐚𝐤: est le vecteur unitaire porté par l’axe 𝐙𝐤 de l’articulation k.
En introduisant le coefficient binaire 𝛔𝐤, les vecteurs 𝐕𝐤,𝐧et 𝛚𝐤,𝐧 s’écrivent :
{𝐕𝐤,𝐧 = (𝛔𝐤𝐚𝐤+ 𝛔̅̅̅(𝐚𝐤 𝐤˄𝐋𝐤,𝐧))𝐪̇𝐤
𝛚𝐤,𝐧 = 𝛔̅̅̅𝐚𝐤 𝐤𝐪̇𝐤 ( 2. 33)
Grâce au théorème de la composition des vitesses, on peut sommer toutes les contributions élémentaires de chaque articulation afin d’obtenir les vecteurs finaux des vitesses de translation et de rotation 𝐕𝐧et 𝛚𝐧 du repère terminal par l’expression :
𝐕𝐧=∑𝒏𝒌=𝟏𝐕𝐤,𝐧=∑𝒏𝒌=𝟏[𝛔𝐤𝐚𝐤+ 𝛔̅̅̅(𝐚𝐤 𝐤˄𝐋𝐤,𝐧)]𝐪̇𝐤 ( 2. 34) 𝛚𝐧 = ∑𝒏𝒌=𝟏𝛚𝐤,𝐧=∑𝛔̅̅̅𝐚𝐤 𝐤𝐪̇𝐤
Par identification avec la relation (I.49), la matrice Jacobienne exprimée dans le repère 𝐑𝐧, notée 𝐉𝐧, s’écrit :
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𝐉𝐧=[𝛔𝟏𝐚𝟏+ 𝛔̅̅̅(𝐚𝟏 𝟏˄𝐏𝟏,𝐧) … . . 𝛔𝐧𝐚𝐧+ 𝛔̅̅̅̅(𝐚𝐧 𝐧˄𝐏𝐧,𝐧) 𝛔𝟏
̅̅̅𝐚𝟏 … … 𝛔̅̅̅̅𝐚𝐧 𝐧 ] ( 2. 35) D’une façon générale, projetée dans le repère 𝕽𝐢, la matrice jacobienne notée 𝐢𝐉
𝐧 s’écrit : 𝐉 𝐢 𝐧=[𝛔𝟏𝐢𝐚𝟏+ 𝛔̅̅̅( 𝐚𝟏 𝐢 𝟏˄𝐏𝟏,𝐧) … . . 𝛔𝐧𝐢𝐚𝐧+ 𝛔̅̅̅̅( 𝐚𝐧 𝐢 𝐧˄𝐏𝐧,𝐧) 𝛔𝟏 ̅̅̅ 𝐚𝐢 𝟏 … … 𝛔̅̅̅̅ 𝐚𝐧𝐢 𝐧 ] (2.36) En remarquant que : 𝐚 𝐢 𝐤𝐱 𝐏𝐢 𝐤,𝐧=𝐢𝐑𝐤(𝐤𝐚𝐤˄ 𝐏 𝐤 𝐤,𝐧) (2.37) Avec : 𝐑 𝐢
𝐤: matrice d’orientation de dimension (3x3) du repère 𝕽𝐤 par rapport au repère 𝕽𝐢 𝐚 𝐤 𝐤=[𝟎 𝟎 𝟏]𝐓 et 𝐤𝐏 𝐤,𝐧 = 𝐤𝐏 𝐧=[ 𝐏 𝐤 𝐧𝐱 𝐏 𝐤 𝐧𝐲 𝐏 𝐤 𝐧𝐳]𝐓 (2.38)
On calcule alors la colonne de la 𝐤è𝐦𝐞 matrice Jacobienne, notée 𝐉 𝐤
𝐧;𝐤 , projetée dans le repère 𝕽𝐢 par la formule :
𝐉 𝐤 𝐧;𝐤 = [𝛔𝐤 𝐚 𝐢 𝐤+ 𝛔̅̅̅̅ (− 𝐏𝐤 𝐤 𝐧𝐲 𝐢𝐧𝐤+ 𝐤𝐏𝐧𝐱 𝐢𝐨𝐤) 𝛔𝐤 ̅̅̅ 𝐚𝐢 𝐤 ] i=0,…n; k=1,…n. (2.39) Où: 𝐧 𝐢 𝐤, 𝐨 𝐢 𝐤, 𝐚𝐢
𝐤: sont respectivement le 1er , 2émeet 3émevecteurs de la matrice 𝐢𝐑 𝐤. 𝐏
𝐤
𝐧𝐱 et 𝐏 𝐤 𝐧𝐲 sont respectivement la 1ére , 2éme composantes du vecteur 𝐤𝐏𝐧 qui est la quatrième colonne de 𝐤𝐓
𝐧 calculée précédemment par le modèle géométrique direct. II.5.4. Le calcul du MCD par les équations de récurrence :
Connaissant 𝐽n les vitesses de translation et de rotation du repère Rn peuvent être obtenues à partir de la relation (I.49). De point de vue nombre d’opérations, il est cependant plus judicieux d’utiliser les équations de récurrence suivantes :
{ 𝐕 𝐣 𝐣 = 𝐑 𝐣 𝐣−𝟏( 𝐣−𝟏𝐕 𝐣−𝟏+ 𝐣−𝟏𝛚̂ 𝐣−𝟏 𝐣−𝟏𝐏 𝐣)𝛔𝐣𝐪̇𝐣 𝐣𝐚 𝐣 𝛚 𝐣 𝐣 = 𝐑 𝐣 𝐣−𝟏 𝐣−𝟏𝛚 𝐣−𝟏+ 𝛔̅ 𝐪̇𝐣 𝐣 𝐣𝐚 𝐣 j=1….n ( 2. 40)
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On initialise la récurrence avec les vitesses opérationnelles V0 et ω0 de la base du robot. La vitesse obtenue dans ce cas est 𝐧𝐗̇
𝐧 , pour trouver 𝟎𝐗̇
𝐧 on fait la projection de ce vecteur dans le repère R0 : 𝐕 𝟎 𝐧= 𝐑 𝟎 𝐧 𝐧𝐕 𝐧 et 𝛚 𝟎 𝐧 = 𝐑 𝟎 𝐧 𝐧𝛚 𝐧 ( 2. 41)
Le calcul du MCD, par la matrice jacobienne ou bien par les équations de récurrence, donne le vecteur [𝑉𝑛
𝜔𝑛] ou 𝑉𝑛 est la dérivée par rapport au temps du vecteur de Position Pn , mais ωn ne représente pas la dérivée de l’orientation, il faut trouver donc une relation entre les coordonnées opérationnelles X et le modèle cinématique.
II.5.5.Jacobienne analytique :
La matrice jacobienne développée ci-dessus s'appelle parfois la jacobienne géométrique pour la distinguer de la jacobienne analytique, dénoté Ja(q), qui est basée sur une représentation minimale pour l'orientation du repère de l’effecteur.
Soit X=[𝑋𝑝
𝑋𝑟] une représentation de la situation du repère Rn dans R0, où Xp représente les trois coordonnées opérationnelles de position et Xr représente les coordonnées opérationnelles d’orientation, les vitesses opérationnelles sont 𝑋̇=[𝑋𝑝
𝑋̇𝑟
̇
],on doit trouver la relation entre ces vitesses et les vecteurs vitesses 𝟎𝐕
𝐧 et 𝟎𝐖 𝐧 telle que : 𝐗̇𝐩=𝛀𝐩𝟎𝐕 𝐧 ( 2. 42) 𝐗̇𝐫=𝛀𝐫 𝟎𝐖 𝐧
Ou sous forme matricielle :
[𝐗̇𝐩 𝐗̇𝐫]=[ 𝛀𝐩 𝟎𝟑 𝟎𝟑 𝛀𝐫] [ 𝐕 𝟎 𝐧 𝐖 𝟎 𝐧 ]=Ω[𝟎𝐕𝐧 𝐖 𝟎 𝐧 ] (2.43)
Partant de la relation (2.30), on peut déduire que :
[𝐗̇𝐩
𝐗̇𝐫] = 𝛀 𝐉 𝟎
𝐧𝐪̇=𝐉𝐚𝐪̇ (2.44)
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En général, la sous matrice 𝛀𝐩 est égale à la matrice unité 𝐈𝟑 car les coordonnées opérationnelles de position sont simplement les coordonnées cartésiennes de la position de l’outil. Par contre, la matrice 𝛀𝐫 dépend du choix effectué pour les coordonnées opérationnelles de rotation. Cette matrice est parfois singulière ; par exemple dans le cas des quaternions d’Euler, elle est tout simplement non carrée c.-à-d. non inversible. Les cas pour lesquels la matrice Ω complète n’est pas inversible constituent des singularités mathématiques : Ces singularités sont uniquement dues au choix des coordonnées opérationnelles, elles n’ont rien à voir avec le manipulateur lui même. [17]
Comme il est défini dans le premier chapitre le vecteur d’orientation qu’on a choisi est : 𝐗𝐫 = [𝚽 𝛉 𝛙 ]𝐓 qui correspond aux trois angles d’Euler RTL
Dans ce cas [11]: 𝛀𝐫 =[ 𝐂𝚽 𝐭𝐠𝛉 𝐒𝚽 𝐭𝐠𝛉 𝟏 −𝐒𝚽 𝐂𝚽 𝟎 𝐂𝚽 /𝐂𝛉 𝐒𝚽 /𝐂𝛉 𝟎 ] (2.45) Et 𝐉𝐚=[𝟎𝐈𝟑 𝟎𝟑 𝟑 𝛀𝐫] 𝐉 𝟎 𝐧 (2.46) Singularité lorsque θ = ±𝜋 2
II.5.6.Utilisation de la matrice jacobienne :
La matrice jacobienne Jn est l'une des quantités les plus importantes dans l'analyse et la commande du mouvement de robot. Elle survient pratiquement dans chaque aspect de la manipulation robotique, dans la planification, dans la détermination des configurations singulières, dans la dérivation des équations dynamiques du mouvement, et dans la transformation des forces et les couples du terminal aux joints de manipulateur [17]
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II.5.6.1.Calcul des efforts statiques:
À partir du modèle cinématique, on peut écrire le modèle différentiel :
𝐝𝐗 = 𝐉𝐧(𝐪)𝐝𝐪 (2.47)
Supposons que les variables 𝐪𝐢 soient directement les variables associées aux déplacements relatifs des moteurs rotatifs ou linéaires. Chacun de ces derniers exerce une force ou un couple noté
𝛕
𝐢, d'où pour l'ensemble des degrés de liberté un vecteur des efforts𝛕
=[𝛕
𝟏𝛕
𝟐… ..𝛕
𝐧 ]𝐓 (2.48)Si l'on note F le vecteur à six composantes de la force et du moment exercés par l'organe terminal sur l'environnement, le principe des travaux virtuels permet d'écrire :
𝐅𝐓dX=
𝛕
𝐓dq (2.49)D'où :
F=𝐉𝐧−𝟏𝐓
𝛕
( 2. 50)Qui donne la répercussion des efforts moteurs sur l'environnement, en dehors des singularités.
On utilise la matrice jacobienne 𝐧𝐉
𝐧 ou 𝟎𝐉
𝐧 selon que l’effort F est défini dans le repère 𝐑𝐧 ou dans 𝐑𝟎 respectivement. [15]
Dans le cas inverse, où on veut calculer le
𝛕
que doivent fournir les actionneurs pour que l’organe terminal puisse exercer un effort F, on peut déduire à partir de la relation (2.47) que :𝛕
=𝐉𝐧𝐓𝐅 ( 2. 51) II.5.6.2.Les positions des singularités:Le nombre de degrés de liberté ddl disponible à l’outil est égal à la dimension de l’espace engendré par les vecteurs 𝐕𝐧et 𝛚𝐧. Par exemple, cet espace est de dimension six si la structure (et la configuration instantanée) du manipulateur permet tous les mouvements de translation et de rotation imaginables pour l’outil. Considérant la relation ( 2. 47), on constate que l’espace en question est généré par une combinaison linéaire des
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colonnes de la matrice 𝐉𝐧, ces colonnes sont en nombre égal au nombre d’articulations, on a donc normalement : ddl=n, sauf si la matrice jacobienne est de rang moindre que n, les configurations (c.-à-d. les valeurs de q) pour lesquelles il y a perte de rang de cette matrice sont les configurations singulières du manipulateur. Il s’agit cette fois de singularités qui n’ont rien de mathématique ; elles résultent du manipulateur lui-même et de la configuration dans lequel il se trouve.
En conclusion, l’examen du rang de la jacobienne nous donne un moyen de déterminer quelles seront les éventuelles configurations singulières, lorsque la jacobienne est carrée, les singularités sont solution de det(𝐉𝐧)=0 où det(𝐉𝐧) désigne le déterminant de la jacobienne.