Les formules présentées dans la partie précédente ne sont pas de lecture aisée, et ne se prêtent pas à une interprétation physique évidente. Nous avons donc décidé de proposer une première approche de ces résultats de type « boite noire », c'est-à-dire en faisant varier un à un les différents paramètres intervenant dans ces formules, pour quantifier leur importance relative. Les résultats suivants ont été obtenus pour un multiplexeur FIFO à capacité de sortie 100Mbps, dont les entrées possèdent des enveloppes affines (σi,ρi) telles que
bits i i =31744
∑
σ , et bits s i i 36,6.10 / 6 =∑
ρ . Dans ces conditions, on peut calculer une borne déterministe sur le délai, D=317.4 µs, ainsi que sur la taille maximale de la file d’attente, Q=31744 bits. Le calcul fait aussi intervenir une borne sur la longueur maximale d’une période d’activité, τ=32,9ms. Parmi les différents paramètres, nous avons étudié particulièrement l’influence du nombre d’intervalles dans la subdivision de [0, τ], du nombre de sources, de leur charge et de leur homogénéité.3.1.1 Influence du nombre de pas de subdivision
Figure 61 Effet du nombre de subdivisions
La figure ci-dessus, comme toutes celles de cette section, montre en abscisse une taille de file d’attente, et en ordonnée une majoration de la probabilité de dépasser cette valeur. Bien évidemment, plus la taille de file d’attente est grande, plus la probabilité de la dépasser est faible. D’autre part, les graphiques sont représentés en échelle logarithmique, ce qui est plus adapté au vu des formules utilisées.
Les subdivisions choisies ici sont régulières ; d’autres études ont été menées sur des subdivisions irrégulières. Il apparaît cependant qu’il est très difficile de choisir la régularité de la subdivision dans le but d’améliorer les résultats, à nombre de subdivisions constant. La première constatation que l’on peut faire est que la borne dépasse la valeur 1 pour les faibles valeurs de taille de file d’attente. Il est évident que nous aurions pu choisir de ne représenter que min(1, P(Q(t)>b). Néanmoins, cela n’aurait pas apporté de réelle amélioration, puisque les ordres de grandeur intéressants n’apparaissent que pour des b beaucoup plus grands.
Il apparaît assez clairement ici que le nombre de pas de subdivision choisi n’est pas un facteur de premier ordre. La différence entre les courbes est relativement faible, on peut donc penser utiliser ce paramètre uniquement dans le but d’optimiser des résultats. Par la suite, nos études utiliseront un faible nombre de subdivisions (3 ou 5) pour diminuer le nombre de calculs. 3.1.2 Influence du nombre de sources
Le graphique ci-dessous montre l’évolution des bornes en fonction du nombre de sources qui entrent dans l’élément ; nous avons choisi ici de rester à charge totale constante quel que soit le nombre de flux.
Figure 62 Effet du nombre de flux
Ce graphique fait apparaître clairement que le nombre de flux pris en compte par le calcul est lui un critère très important : plus il y aura de flux, et meilleures seront les bornes. On peut tout à fait justifier cette observation en pensant au phénomène suivant : pour obtenir de fortes tailles de files d’attente, il faut que les flux suivent un scénario précis, exigeant par exemple que les arrivées de trame de plusieurs flux soient simultanées. Or, plus les flux sont nombreux plus il est probable que des arrivées de trames soient simultanées, mais moins il est probable qu’elles le soient toutes. Le comportement des bornes est donc tout à fait satisfaisant compte tenu de la compréhension du fonctionnement réel des éléments.
3.1.3 Influence de la charge des sources
On représente dans la figure ci-dessous l’influence de la charge des sources. Pour ce faire, on pose qu’un flux est plus chargé qu’un autre si ses paramètres σi et ρi sont supérieurs aux
paramètres de l’autre flux (bien sûr ce n’est pas une relation d’ordre total). Dans notre étude, nous avons considéré le cas initial, puis des cas pour lesquels on a multiplié par un facteur entier les enveloppes de ces flux, ce qui correspond à une augmentation de charge.
Les résultats obtenus montrent bien que ce paramètre de charge des flux est très important, puisque les bornes se dégradent très vite en fonction de l’augmentation de la charge. Ici encore, ce résultat est conforme à l’intuition, puisqu’il est bien évident que plus les flux sont chargés, plus la probabilité d’obtenir des tailles importantes est élevée.
3.1.4 Influence de la dispersion des sources
Figure 64 Effet de la dispersion
Nous avons ici voulu étudier l’importance de la « ressemblance » des flux. En effet, les travaux de Vojnović comportent systématiquement deux types de formules, un pour le cas homogène (tous les flux ont même enveloppe), et un autre pour le cas hétérogène. Il semble donc intéressant de voir l’influence de ce paramètre sur les bornes.
Pour ce faire, nous avons décidé de multiplier les paramètres σi et ρi de chacun des flux par
respectivement : 1, 1,4, 1,8, 2,2, 2,6, 1/2,6, 1/2,2, 1/1,8, 1/1,4 et 1. Nous obtenons ainsi la deuxième courbe (indice 1). Les courbes suivantes sont obtenues en répétant j fois ces opérations de multiplication pour la courbe d’indice j. On peut facilement constater que le résultat de ces multiplications successives est bien de rendre les flux de moins en moins semblables, tout en gardant une charge totale constante sur l’élément.
Les résultats sont assez significatifs du fait que plus les flux sont hétérogènes, moins bonnes sont les bornes. Ceci peut être expliqué comme étant directement relié aux bornes de Hoeffding, qui sont au coeur de la démarche. En effet, ces bornes se comportent elles aussi moins bien dans le cas de flux hétérogènes.
Pour résumer l’ensemble de ces expériences, on peut dire que les bornes donnent de meilleurs résultats pour des flux en nombre important, dont la charge est relativement faible, et les caractéristiques homogènes.
3.2 Confrontation des bornes de Vojnović à une simulation
Il semble intéressant de conforter notre confiance dans les résultats de Vojnović par une approche de type simulation. Cette simulation a été effectuée en QNAP en considérant des sources dont les temps inter trames suivent une loi normale de moyenne la valeur ii
Smax
ρ
. Les flux passent ensuite par un dispositif (shaper) de type seau percé avant de pénétrer dans un
multiplexeur. La figure suivante compare les résultats obtenus par simulation aux valeurs théoriques, dans le cas de 10 flux homogènes.
Figure 65 Comparaison résultats théoriques / simulation
Les mesures ont été effectuées avec des trames de taille constante, ce qui explique l’aspect en marche d’escalier : on peut voir ici la « probabilité » mesurée d’avoir 2, 3, 4 ou 5 trames dans la file d’attente (la « probabilité » est en fait une mesure du nombre d’occurrences, qu’on divise ensuite par le nombre d’observations total).
La première constatation est de remarquer que les valeurs théoriques sont bien des bornes sur les valeurs mesurées. On peut également constater que les deux courbes offrent un comportement relativement similaire, ce qui conforte les résultats théoriques. L’écart entre les deux courbes tend à montrer que les bornes théoriques ne sont pas très « serrées » ; cependant, il ne faut pas oublier que nos résultats obtenus par simulation ne prétendent pas à être parfaitement précis, compte tenu de la simplicité du modèle de simulation retenu.
Il semble d’après cette première comparaison que le comportement des bornes est satisfaisant, bien qu’il soit possible de mieux vérifier cette proposition en menant à bien des simulations plus poussées et précises.
Nous concluons de cette étude de type « boite noire » que les résultats de Vojnović peuvent être intéressants dans notre contexte, mais qu’ils semblent assez sensibles à la façon de les appliquer (nombre de flux notamment) ; nous prévoyons que selon la configuration du réseau et du trafic, les résultats obtenus seront plus ou moins bons.