CHAPITRE II RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE NAVIER STOKES INSTATIONNAIRES AVEC
II. 6.2.1.3 Etude de l’ écroulement d’ une colonne ayant les dimensions du plan expérimental : expérience 2D
Les données de la simulation
On choisit une colonne d’ eau ayant les mêmes dimensions que dans l’ expérience en laboratoire, soit
=
a 2,25[in]=0.05715[m] et n2=2. Autrement dit, la colonne d’ eau à une hauteur initiale de 11,43[cm]
et sa base est de 5,715[cm] (Figure 38).
Le maillage :
Nombre d’ éléments = 28251 Nombre de nœ uds = 6966
Diamètre minimal (hmin) = 0,001[m]
Figure 38 : maillage et domaine fluide initial
On simule l’ écoulement 2D avec le code 3D. On suppose que lors de l’ écoulement, la vitesse est nulle dans la direction Oy (Figure 38). Par conséquent, on impose deux plans de symétrie sur les parois latérales de la plaque, et on ne considère que très peu d’ éléments dans son épaisseur (Figure 38). Le maillage est donc construit de manière à être anisotrope.
Pour la simulation, on augmente artificiellement la viscosité cinématique de l’ eau, en la prenant égale à 10−3 [m2.s−1], ce qui correspond à une viscosité dynamique de 1 [Pa.s] et à une masse volumique ayant pour valeur 1000[kg.m-3]. Le pas de temps est de 10-3[s].
Ox Oz Oy
Résultats
La Figure 39 représente l’ évolution du front de matière pour les données décrites. De manière à indiquer l’ importance de la diffusion numérique au cours du temps, on a représenté, à l’ aide de trois couleurs, les isovaleurs de la fonction caractéristique. La partie bleu clair représente les valeurs de plus de 0,6 à 1, et la partie bleue foncée, la partie d’ incertitude entre 0,6 et 0,4, ce qui est une marge relativement importante. La couleur blanche représente les valeurs de 0 à 0,4. Il est important de noter que lors de cette simulation, le module d’ adaptation de maillage a été utilisé (Figure 40 et Figure 41). Tout d’ abord, la diffusion numérique est très faible (images 1 à 3). Lorsque la colonne est presque totalement écroulée (images 4 et 5) on peut observer l’ apparition de diffusion numérique, mais dans des proportions assez faibles. Toutefois, elle devient de moins en moins négligeable dans la suite (images 6 et 7). A l’ image 7, l’ imprécision donne une fourchette de valeur sur la position du front de matière de plus de 4 fois la largeur initiale de la colonne d’ eau. Les imprécisions aux instants 6 et 7 seront indiquées par la suite sur les courbes d’ avancée du front de matière (Figure 42 ). Notons également, que la diffusion dans le sens de la hauteur est quasiment invisible.
Figure 39 Evolution du front de matière en 2D
Les Figure 40 et Figure 41, illustrent le fonctionnement de l’ adaptation de maillage. On observe de manière très nette les déformations du maillage (Figure 40), ainsi que la diminution de la diffusion numérique qui en découle (Figure 41).
Incrément 0 : avant utilisation de l’adaptation
de maillage Adaptation du maillage
Figure 41 : Les effets de l’adaptaton de maillage sur la diffusion numérique –zooms issus de la Figure 40
La Figure 42 permet de confronter les résultats obtenus avec REM3D® aux résultats expérimentaux.
On compare l’ évolution de la position de l’ extrémité de la surface libre sur le plan horizontal Z, ainsi que la hauteur résiduelle de la colonne d’ eau au cours de l’ effondrement.
Position de la surface libre Position de la hauteur résiduelle
Figure 42 : Comparaison des résultats du calcul pseudo-2D, effectué avec REM3D®, avec l’expérience
Dans le graphe de gauche, on a indiqué la fourchette de l’ imprécision due à la diffusion numérique sur l’ évolution de Z. Elle correspond à l’ étalement des valeurs de la fonction caractéristique, entre 0,4 et 0,6. La valeur sur la courbe correspond à la valeur 0.5 de la fonction. On obtient des résultats très proches de la réalité jusqu’ au temps adimensionnel de 6 (image 6), ce qui est un bon résultat. Par la suite, l’ imprécision est importante, mais la valeur moyenne reste proche de l’ expérience jusqu’ à un écroulement très avancé. Rappelons également que la tension de surface n’ est pas modélisée, ce qui, dans le cas d’ une fine couche de fluide, peut avoir une influence non négligeable. En ce qui concerne la description de l’ évolution de la hauteur de la colonne résiduelle (à droite), on observe une légère avance de notre simulation, mais une bonne correspondance dans la forme de son évolution. Si on
calcule la correspondance avec les temps réels, on a t=0,053× T [s], ce qui permet de relativiser les
décalages en temps observés sur les graphes Figure 42. Ces décalages sont compris entre 0 et T. En ce qui concerne la vitesse maximale Umax (Figure 33), Martin et Moyce, observent que celle-ci est
proportionnelle au carré de la hauteur de la colonne d’ eau, de environ 2 en théorie, et de 1,71 pour la configuration qui nous concerne ici. Cette valeur est déduite de la courbe expérimentale (Figure 42), mais les auteurs ne donnent pas plus de précision. La valeur de Umax (adimensionnelle) est déduite de
la formule :
dT dZ
U = . On calcule Umax à partir de la relation :
T ) t ( Z ) T t ( Z ) t ( U ∆ − ∆ + = ( II.86 )
La formule ( II.86 ), à partir des données expérimentales, donne la valeur Umax = 2,1. Celle-ci est
surestimée par rapport à la valeur donnée par les auteurs qui est de 1.71, et semble correspondre à une mesure plus précise, ou plus lissée.
En ce qui concerne la valeur de la vitesse maximale issue de la simulation, elle est de 1,43 [m.s−1], en choisissant le même mode de calcul ( II.86 ). Notons enfin que pour les données de la simulation choisie,U= 950, ×u.
Influence de la viscosité
Comparons les écoulements obtenus en faisant varier la viscosité utilisée pour simuler celle de l’ eau. On compare les résultats obtenus pour trois valeurs de viscosité cinématique : 0,005[m.s−1], 0,001[m2.s-1], et 0,0005 [m2.s-1].
On atteint la limite du schéma utilisé lorsque la viscosité cinématique est de 0,0005[m2.s-1] (la courbe
avec les croix). A ce stade, il devient difficile de simuler l’ écroulement jusqu’ à sa fin. Le résultat obtenu est cependant très proche de la réalité jusqu’ au temps T=3. Le résultat obtenu pour une viscosité de 0,001 [m2.s-1], est cependant déjà satisfaisant. A ce stade, lorsqu’ on multiplie la viscosité
par un facteur cinq (en prenant ν=0,005 [m2.s-1]), on observe un ralentissement visible de l’ écoulement
assez précoce : autour du temps T=2 à la place de T=6 pour une viscosité plus faible. En données réelles, le ralentissement maximal correspond à un retard de ∆T =1, soit dt=0,054[s] pour un écoulement d’ une durée de 0,54[s].
II.6.2.1.4 Ecroulement d’ une colonne de 1m de haut
On simule l’ écroulement d’ une colonne d’ eau beaucoup plus massive, telle que a=0,5 [m] et n2=2.
Autrement dit, la hauteur de la colonne d’ eau est de 1[m], et sa base de 0,5[m]. On s’ écarte ici des données expérimentales, en donnant une échelle totalement différente à la colonne d’ eau étudiée. Du fait de l’ adimensionnalisation des données, en tenant compte des réserves faites au paragraphe [II.6.2.1.1], on peut comparer nos résultats avec la courbe étoilée de la Figure 34 : elle correspond au cas d’ une colonne d’ eau deux fois plus haute que large.
Le maillage :
Nombre d’ éléments=28251 Nombre de nœ uds=6966
Figure 44 : Le maillage
Les résultats présentés sont issus de deux simulations, pour lesquelles on a fait varier la viscosité d’ un facteur 5. Dans le premier cas on augmente la viscosité cinématique artificiellement, en la prenant de
] .s m [
10−3 2 −1 , ce qui correspond à une viscosité dynamique de 1 [Pa.s] et à une masse volumique
valant 1000[kg.m-3]. Le pas de temps est de 10-4[s] (courbe rouge avec carré, Figure 45). Dans le
second cas, on multiplie par 5 la valeur de la viscosité (courbe rouge avec triangle, Figure 45).
Figure 45 : position de l’extrémité de la surface libre sur le plan horizontal
On observe que la correspondance entre les données expérimentales est moins bonne que lorsque les dimensions de la colonne sont plus petites (Figure 45). Notons que pour ces dimensions, la correspondance entre temps réel et temps adimensionnel est de : t=0.16× T [s]. On constate également,
Ces résultats peuvent être expliqués en partie, par le fait qu’ en augmentant les échelles de grandeur de l’ expérience, on augmente les effets de la turbulence qui ne sont traduits que dans l’ augmentation de la viscosité « numérique ». De plus, lorsqu’ on augmente les effets de l’ inertie (en augmentant la hauteur de la colonne par exemple), en considérant la viscosité fixée, on augmente le nombre de Reynolds de l’ écoulement , qui peut alors atteindre les limites de notre solveur.
A titre indicatif, pour ce cas test, et pour une viscosité cinématique « numérique » de 0,001 [m2.s−1], on a calculé, à partir de ( II.86 ), que Umax est d’ environ 2. Etant donné que, pour les dimensions
utilisées, on a la relation U ≈ 3160, ×u (Figure 33), avec Umax ≈1,4, la vitesse dimensionnelle maximale umax est d’ environ 6,3 [m.s−1]. Dans le cas précédent, pour a 0,05715[m]≈ , on avait
u ,
U≈ 950 × (avec Umax ≈1,5, et par conséquent ≈1,5[m.s−1]
max
u . Rappelons que le nombre de
Reynolds est de la forme
ν
uL (avec u une vitesse caractéristique dimensionnelle, et ν la viscosité
cinématique), et supposons que la grandeur caractéristique L de l’ écoulement est proportionnelle aux dimensions de la colonne d’ eau initiale. On peut alors écrire que, pour une viscosité « numérique » de 0,001 [m2.s−1], lorsque la dimension a de la colonne varie de 0,05715[m] à 0,5[m], alors, le nombre de Reynolds des écoulements simulés varie environ d’ un facteur 40 :
3 10 10 3 6 − × × = =UL , (L ) Re
ν dans le cas a=0,5[m] et 10 3
5 1 − × = =UL , L Re
ν dans le cas a=0,05715[m]
De la même façon, dans le cas a=0,5[m], pour une viscosité de 0,005[m2.s−1], on calcule que
max
u = 4,7[m.s−1] (avec
max
U et la relation Figure 33), par conséquent on peut écrire :
3 10 3 6 − × = =UL , L Re ν avec ν =0,001 [m2.s−1], et 510 3 7 4 − × = = . L , UL Re ν dans le cas ν =0,005 [m2.s−1].
On obtient donc que le fait de diviser la viscosité numérique par 5, a provoqué une augmentation du nombre de Reynolds de l’ écoulement simulé, d’ un facteur 7.
Ces remarques, bien qu’ approximatives, confortent les interprétations avancées.