La r´esolution directe de l’´equation de Vlasov par les m´ethodes appel´ees m´ethodes Vlasov, permet d’´eviter le bruit stochastique intrins`eque g´en´er´e par les codes PIC.
La r´esolution num´erique complexe et l’apparition de structures fines dans les solu- tions telles que la filamentation dans l’espace des phases, difficile `a capturer, a fortement restreint l’usage des m´ethodes directes `a des ´etudes essentiellement monodimensionnelles r´eduites au cas ´electrostatique. Cependant la puissance des calculateurs actuels, la pa- rall´elisation des codes et la mise en œuvre de m´ethodes d’int´egration pr´ecises et peu coˆuteuses permettent aujourd’hui d’envisager l’utilisation de m´ethodes d´eterministes dans un espace des phases de dimension quatre et cinq, voire prochainement six (cf par exemple [43]-[15]-[86]-[112]).
III. Choix d’une m´ethode num´erique 41
Les m´ethodes Vlasov utilisent tr`es souvent une m´ethode `a pas fractionnaire en temps pour d´ecouper l’´equation de Vlasov en deux ´equations d’advection. Cette m´ethode, appel´ee time-splitting, a ´et´e introduite par Cheng et Knorr [27].
M´ethode de splitting en temps
Le principe de cette m´ethode repose sur le fait que l’on peut s´eparer un champ d’advection en deux si celui-ci est `a divergence nulle. En notant
U = (v, E(x, t)), X = (x, v),
l’´equation de Vlasov 1Dx-1Dv sans champ magn´etique, ∂f
∂t + U(X, t).∇Xf = 0, (2.40) peut s’´ecrire sous la forme conservative,
∂f
∂t + ∇X.(Uf ) = 0, (2.41) car le champ d’advection U est `a divergence nulle. En ´ecrivant le champ d’advection sous la forme, U(X, t) = u1(x1, x2, t) u2(x1, x2, t) ! , l’´equation (2.41) se r´e´ecrit ∂f ∂t + ∂x1(u1f ) + ∂x2(u2f ) = 0. (2.42)
La semi-discr´etisation en temps du probl`eme (2.42), par une m´ethode `a pas fraction- naires `a l’ordre un, consiste `a int´egrer successivement les ´equations d’advection suivantes sur un pas de temps ∆t,
( ∂tf + ∂x1(u1f ) = 0,
∂tf + ∂x2(u2f ) = 0.
(2.43)
Huot et al. [73] montrent que les conditions suivantes, ( ∂x1u1(x1, x2, t) = 0,
∂x2u2(x1, x2, t) = 0,
(2.44)
sont n´ecessaires pour r´e´ecrire le syst`eme (2.43) tel que, ( ∂tf + u1∂x1f = 0,
∂tf + u2∂x2f = 0.
(2.45)
Les conditions (2.44) sont v´erifi´ees pour l’´equation de Vlasov non relativiste qu’elle soit coupl´ee aux ´equations de Poisson ou `a celles de Maxwell [73].
42 Chapitre 2. Mod´elisation des ph´enom`enes et m´ethodes de r´esolution
En sym´etrisant les ´etapes d’une m´ethode `a pas fractionnaire, on peut obtenir une pr´ecision d’ordre deux pour des solutions r´eguli`eres. Le splitting d’ordre deux en temps (Strang [118]), permet de pr´eserver les propri´et´es conservatives de l’´equation de Vlasov si les champs d’advection sont `a divergence nulle [73].
S’appuyant sur les id´ees de Strang, l’algorithme de time-splitting d’ordre deux pro- pos´e par Cheng et Knorr [27] s’´ecrit alors, `a partir de la distribution initiale f0,
f (∆t) ≈ Tx ∆t 2 Tv(∆t) Tx ∆t 2 f0, (2.46)
o`u l’on a not´e Tx et Tv les op´erateurs d’advection dans les directions x et v. Cela revient
ainsi, entre les instants tn et tn+1, `a avancer la solution dans la direction x sur un demi
pas de temps, puis dans la direction v sur un pas de temps entier et `a nouveau dans la direction x sur un demi pas de temps :
f∗(x, v) = fn(x − v ∆t/2, v), f∗∗(x, v) = f∗(x, v + E(x)∆t),
fn+1(x, v) = f∗∗(x − v ∆t/2, v),
(2.47)
o`u l’on a not´e fn la solution `a l’instant tn. Il est important de remarquer ici que les
instants t∗ et t∗∗ ne sont pas des instants r´eels.
Codes Vlasov sur une grille eul´erienne de l’espace des phases
On peut classer les m´ethodes de r´esolution eul´erienne de l’´equation de Vlasov en diff´erentes cat´egories : les m´ethodes qui calculent la fonction de distribution directe- ment aux points de la grille eul´erienne, les m´ethodes semi-lagrangiennes et les m´ethodes de r´esolution sur des grilles adaptatives ou mobiles.
La m´ethode `a pas fractionnaires de Cheng et Knorr s’´etant r´ev´el´ee tr`es efficace, beau- coup de m´ethodes ont ´et´e choisies pour discr´etiser les ´equations d’advection obtenues apr`es splitting. On peut trouver des comparaisons de ces m´ethodes dans [2], [52] et [99].
M´ethodes de r´esolution aux points de la grille. La m´ethode des ´el´ements finis, a ´et´e employ´ee par Ezzuddin [46] et Zaki et al. [137]. Elle n´ecessite la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire global `a chaque pas de temps. Elle semble donc inutilisable d`es que l’on consid`ere des dimensions de l’espace des phases plus grandes que trois.
Des m´ethodes `a flux conservatifs explicites de type volumes finis ont aussi ´et´e pro- pos´ees. Reprenant les id´ees des r´esolutions num´eriques des probl`emes de dynamique des fluides, deux types de sch´emas conservatifs de type volumes finis ont ´et´e con¸cus : la m´ethode FCT (Flux Corrected Transport) de Boris et Book [17] et la m´ethode r´ecemment propos´ee par Elkina et B¨uchner [45]. Ces m´ethodes sont de haute r´esolution et permettent d’´eviter la g´en´eration d’oscillations cr´e´ees par les forts gradients. La m´ethode Elkina et B¨uchner [45] s’appuie sur un sch´ema ”upwind” d’ordre deux, auquel sont appliqu´es des limiteurs de flux d’ordre deux, afin de r´eduire les oscillations parasites sources d’instabilit´es num´eriques. Cette m´ethode doit pouvoir se g´en´eraliser en dimen- sions sup´erieures, ce qui n’est pas le cas de la m´ethode FCT. La m´ethode des volumes
III. Choix d’une m´ethode num´erique 43
finis est robuste mais elle est dissipative et conditionnellement stable. Le pas de temps est limit´e par la condition CFL (Courant-Friedrichs-Lewy). Une mani`ere de s’affranchir de cette condition est d’utiliser la m´ethode `a pas fractionnaires en temps de Cheng et Knorr [27]. Ainsi, la m´ethode FBM (Flux Balance Method) de Fijalkow [49]-[50] r´esout les ´equations d’advection r´esultant du splitting d’op´erateur. Cette m´ethode calcule la moyenne de la solution par un sch´ema conservatif de type volumes finis sur chaque cel- lule de la grille discr´etisant l’espace des phases. Mais elle a pour inconv´enient de ne pas pr´eserver la positivit´e de la fonction de distribution. Une approche similaire, introduite par Valentini et al. [124], couple le sch´ema de splitting avec un sch´ema de diff´erence finies ”upwind”. Ce sch´ema a la particularit´e d’utiliser une g´eom´etrie cylindrique de l’espace des phases qui simplifie beaucoup les calculs pour des simulations de la dyna- mique de particules en mouvement dans un plan perpendiculaire `a un champ magn´etique uniforme. De plus le sch´ema est pr´ecis `a l’ordre deux en espace et en temps. Filbet et al. [51] proposent la m´ethode PFC (Positive and Flux Conservative method). Dans cette m´ethode, une reconstruction g´eom´etrique d’ordre trois est utilis´ee et la positivit´e est pr´eserv´ee. Cette m´ethode a ´et´e g´en´eralis´ee en dimensions sup´erieures par Schmitz et Grauer [106]. Shoucri et al. [111] montrent que dans les cas o`u l’on sait int´egrer analytiquement les ´equations le long des caract´eristiques, on peut int´egrer pr´ecis´ement l’´equation de Vlasov en utilisant un produit tensoriel bi-dimensionnel de B-splines. Dans ce cas, le proc´ed´e it´eratif de la m´ethode semi-lagrangienne, de d´eplacement le long des caract´eristiques, est inutile ; les calculs sont alors beaucoup plus rapides.
Les m´ethodes eul´eriennes, calculant les valeurs de la fonction de distribution direc- tement aux points de la grille de l’espace des phases, ont l’avantage d’ˆetre non bruit´ees et peuvent ˆetre construites de mani`ere `a pr´eserver la positivit´e et respecter le principe du maximum. Cependant elles poss`edent d’autres art´efacts num´eriques qui affectent leur fiabilit´e : la dissipation ou la diffusion num´erique. Elles donnent malgr´e cela des repr´esentations pr´ecises de l’espace des phases, mais les besoins en capacit´e m´emoire sont trop contraignants en dimensions trois, compte tenu de la capacit´e des ordinateurs actuels.
M´ethodes semi-lagrangiennes. Les m´ethodes semi-lagrangiennes r´eunissent `a la fois les avantages des sch´emas d’advection eul´eriens et lagrangiens. Elles utilisent un maillage cart´esien r´egulier et des advections lagrangiennes. A chaque pas de temps, les ´equations des caract´eristiques sont int´egr´ees dans le pass´e et l’origine des caract´eristiques est approch´ee par une m´ethode d’interpolation d’ordre ´elev´e. Coupl´ee `a la m´ethode `a pas fractionnaire en temps pr´esent´ee plus haut, la m´ethode semi-lagrangienne permet un calcul exact des caract´eristiques. Cheng et Knorr [27] sont les premiers `a utiliser ces sch´emas semi-lagrangiens particuliers pour r´esoudre l’´equation de Vlasov. L’interpola- tion lin´eaire ´etant trop diffusive [110], une m´ethode d’interpolation par splines cubiques est utilis´ee. Sonnendr¨ucker et al. [115] g´en´eralisent la m´ethode semi-lagrangienne. Elle a ´et´e ´etendue `a des maillages non structur´es par Besse et Sonnendr¨ucker [11]-[13]. Les r´esultats obtenus sont satisfaisants, mais la reconstruction a l’inconv´enient de ne pas ˆetre locale. Cette m´ethode ne semble donc pas pouvoir ˆetre parall´elis´ee de mani`ere efficace. Nakamura et Yabe [89] utilisent une interpolation de type Hermite. Dans cette m´ethode, les gradients de la fonction de distribution ∇xf et ∇vf sont ´egalement transport´es le
44 Chapitre 2. Mod´elisation des ph´enom`enes et m´ethodes de r´esolution
long des caract´eristiques, ce qui n´ecessite un stockage important en m´emoire. Besse [14] a montr´e qu’avec une interpolation de Lagrange d’ordre ´elev´e, la m´ethode est instable. Mangeney et al. [84] proposent et comparent diff´erents sch´emas de reconstruction des solutions advect´ees le long des caract´eristiques : des sch´emas de Van Leer d’ordre deux et trois, et un sch´ema d’interpolation par splines d’ordre trois. Ce dernier sch´ema s’av`ere le plus performant.
Utilisant une forme analytique de la solution, les m´ethodes semi-lagrangiennes ont l’avantage d’ˆetre `a la fois pr´ecises et robustes. Cependant, elles n´ecessitent la mise en œuvre d’interpolations d’ordre ´elev´e qui sont coˆuteuses, en particulier pour des probl`emes de dimensions sup´erieures `a un. De plus, les m´ethodes semi-lagrangiennes ne conservent pas naturellement le nombre de particules, mais elles peuvent ˆetre mise en œuvre de mani`ere `a pr´eserver la positivit´e.
D’autres m´ethodes ont ´et´e propos´ees dans le but d’am´eliorer l’efficacit´e des codes Vlasov pour la simulation de faisceaux de particules ´evoluant tr`es vite dans l’espace des phases. L’id´ee est d’´eviter les calculs inutiles dans les r´egions de l’espace des phases o`u les ph´enom`enes n’ont pas lieu. Pour ce faire, les grilles de r´esolution de l’espace des phases sont particuli`eres : elles peuvent ˆetre adaptatives ou bien mobiles .
M´ethodes sur des grilles adaptatives ou mobiles. Gutnic et al. [66] proposent une m´ethode de r´esolution semi-lagrangienne sur une grille adaptative de l’espace des phases. L’espace des phases est raffin´e ou bien d´eraffin´e au cours du temps. La fonction de distribution est d´evelopp´ee sur une base d’ondelettes : `a la fonction approchant la fonction de distribution `a une ´echelle grossi`ere, est ajout´ee une somme de d´etails correspondant `a chaque ´echelle interm´ediaire. Les petits cœfficients de ce d´eveloppement sont supprim´es. Cela permet d’´eliminer les points de la grille associ´es `a ces cœfficients. La m´ethode permet d’´eviter de calculer la fonction de distribution dans les r´egions o`u il n’y a pas de particules et de r´eduire ainsi la complexit´e algorithmique des codes de calcul. De plus la m´ethode peut ˆetre parall´elis´ee de mani`ere tr`es efficace (cf Mehrenberger et al. [88]). Une variante de cette m´ethode, permettant la conservation des moments, a ´et´e mise en œuvre [67].
Sonnendr¨ucker et al. [116] proposent une m´ethode de r´esolution sur des grilles de l’espace des phases qui bougent au cours du temps de fa¸con `a suivre l’´evolution de l’enveloppe d’un faisceau. Le maillage ´evolue de telle mani`ere qu’il contient toujours le faisceau entier de particules, mais aussi tel que le nombre de points de la grille, o`u la fonction de distribution est tr`es petite, reste petit. La transformation de la grille couple les composantes en espace et en vitesse et la m´ethode `a pas fractionnaires habituelle- ment utilis´ee [27] ne peut plus ˆetre appliqu´ee. Un sch´ema pr´edicteur-correcteur d’ordre deux est alors utilis´e pour calculer l’origine des caract´eristiques.
Toutes ces m´ethodes eul´eriennes produisent des lissages num´eriques, ce qui permet de diminuer les effets singuliers de l’augmentation de la d´eriv´ee de la vitesse avec le temps, qui constitue le probl`eme fondamental de la simulation des plasmas peu colli- sionnels. Cependant, elles introduisent une dissipation artificielle qui n’est plus fid`ele `a la physique. En g´en´eral, la conservation des particules, du moment et de l’´energie est seulement approximative. Il vient alors un autre type de m´ethodes, les m´ethodes
III. Choix d’une m´ethode num´erique 45
spectrales, qui tendent `a g´en´erer des sch´emas conservatifs et non dispersifs.
M´ethodes spectrales.
Le principe des m´ethodes spectrales est de discr´etiser l’espace des vitesses en d´evelop- pant la fonction de distribution sur une base de polynˆomes multipli´es par une gaussienne (m´ethode de Galerkin) ou bien d’approcher la fonction de distribution par une fonction d’interpolation (m´ethode de collocation). L’espace physique est g´en´eralement discr´etis´e par une transformation de Fourier, ou par une m´ethode eul´erienne d’´el´ements finis ou de volumes finis.
Les m´ethodes spectrales sont connues pour assurer un ordre ´elev´e de pr´ecision avec seulement un petit nombre de degr´es de libert´e. De plus elles permettent la r´esolution de probl`emes sur des domaines non born´es de fa¸con naturelle ; les autres m´ethodes n´ecessitant la restriction `a des domaines finis avec des fronti`eres artificielles.
Ces m´ethodes ont ´et´e appliqu´ees `a l’´equation de Vlasov `a partir des ann´ees 70, et elles se sont av´er´ees instables [4]-[5]. Cependant les r´ecents travaux de Schumer et Holloway [70]-[107] ont apport´e des r´esultats tr`es prometteurs, en particulier lorsque la fonction de distribution a un profil Maxwellien en vitesse. L’id´ee est d’introduire un facteur d’´echelle en vitesse, ce qui permet aux fonctions de base de s’adapter aux ´echelles int´eressantes des fonctions de distribution. Ces m´ethodes seront pr´esent´ees plus en d´etail au chapitre 3.