Dans ce cas test, on consid`ere la distribution initiale (5.2) avec une perturbation d’amplitude a = 0.01. La taille de la boˆıte de simulation est Lx = 2π/k o`u k = 0.3.
Le facteur d’´echelle choisi est αHSCM = ξN/6. On r´ealise les calculs sur deux grilles
distinctes. La premi`ere poss`ede 150 points de collocation et 100 points en espace et la seconde est telle que N = 180 et I = 300.
Nous comparons nos r´esultats avec ceux de Schumer-Holloway [107] et de Gagne- Shoucri [56]. La figure 5.13 montre l’´evolution en temps de l’amplitude du premier mode de Fourier du champ ´electrique, en ´echelle logarithmique pour les deux grilles de l’espace des phases pr´esent´ees plus haut. Le graphe obtenu avec N = 150 et I = 100 n’est pas satisfaisant et l’on peut observer la croissance d’une instabilit´e num´erique. Ce r´esultat montre en particulier l’importance de la pr´ecision de la r´esolution spatiale. Dans le cas de la grille de l’espace des phases la plus dense (N = 180 et I = 300), la d´ecroissance exponentielle de la phase lin´eaire, ainsi que l’amplitude des oscillations du champ sont reproduits en bon accord avec les pr´edictions th´eoriques (O’Neil [92]).
VI
Tests de conservation
Nous pr´esentons dans ce paragraphe, une ´etude r´ealis´ee pour tester, avec les m´ethodes de collocation LSCM et HSCM, la conservation au cours du temps des quantit´es sui-
112 Chapitre 5. R´esultats 1Dx-1Dv 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 50 100 150 200 250 300 α = 1, N = 80 et I = 80 α = ξN/6, N = 80 et I = 80 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 50 100 150 200 250 300 α = ξN/6, N = 180 et I = 250
Fig. 5.11 – Instabilit´e ”two-stream” en temps longs. Evolution en temps de l’´energie ´electrique. R´esultats obtenus avec la m´ethode HSCM. Les param`etres de la simulation sont : a = 0.01, k = 0.5, Lx = 4π.
VI. Tests de conservation 113
t=120 t=200 t=280
Fig. 5.12 – Instabilit´e ”two-stream” en temps longs. Evolution en temps de la fonction de distribution dans l’espace des phases (x, v) ∈ [0, 4π] × [−6, 6]. R´esultats obtenus avec la m´ethode HSCM. Les param`etres de la simulation sont : a = 0.01, k = 0.5, Lx = 4π,
α = ξN/6, N = 180 et I = 250. L’espace est en abscisse et la vitesse en ordonn´ee.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 0 50 100 150 200 250 300 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 50 100 150 200 250 300 N=150, I=100 et α = ξN/6 N=180, I=600 et α = ξN/6
Fig. 5.13 – Effet Landau non lin´eaire en temps longs. Evolution en temps du premier mode de Fourier du champ ´electrique. R´esultats obtenus avec la m´ethode HSCM. Les param`etres de la simulation sont : a=0.01, k=0.3, Lx = 2π/k.
vantes : la densit´e de particules np(t), le moment total P(t), l’´energie totale E(t) d´efinies
en (2.30), ainsi que la norme L2 de la fonction de distribution d´efinie en (2.32). Les
tests sont r´ealis´es pour l’effet Landau non lin´eaire et l’instabilit´e “two-stream” avec les mˆemes param`etres N = 80 et I = 100.
Les r´esultats rapport´es dans la figure 5.14 montrent l’´evolution au cours du temps des variations des quantit´es cit´ees pr´ec´edemment, par rapport aux quantit´es initiales :
∆densit´e(t) = np(t) − np(0),
∆moment(t) = P(t) − P(0),
∆´energie(t) = E(t) − E(0),
∆normeL2(t) = kfk2(t) − kfk2(0).
114 Chapitre 5. R´esultats 1Dx-1Dv
repr´esent´ees dans le cas test de l’instabilit´e “two-stream”. Dans la simulation de l’ef- fet Landau non lin´eaire, la conservation de ces quantit´es semble plus difficile `a ob- tenir num´eriquement. Ainsi, la m´ethode LSCM ne permet pas la conservation de la norme L2. La simulation a ´et´e coup´ee `a l’instant t = 45ω−1
pe car la non-conservation de
cette norme entraˆıne la divergence de la solution de la simulation. Les r´esultat obtenus avec la m´ethode HSCM montrent de fortes oscillations de la variation de l’´energie to- tale et du moment total. Malgr´e ces oscillations, ces quantit´es se conservent de mani`ere raisonnable. La m´ethode HSCM a l’avantage de tr`es bien conserver la norme L2.
VI. Tests de conservation 115 LSCM HSCM -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Densite de particules Moment total Energie totale Norme L^2 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Densite de particules Moment total Energie totale Norme L^2
Effet Landau non-lin´eaire - N=80 et I=100
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Densite de particules Moment total Energie totale Norme L^2 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Densite de particules Moment total Energie totale Norme L^2
Instabilit´e “two-stream” - N=80 et I=100
Fig. 5.14 – Etude de conservation de la densit´e de particules, du moment total, de l’´energie totale et de la norme L2 pour les cas tests de l’effet Landau non-lin´eaire et de
117
Troisi`eme partie
R´esolution num´erique du syst`eme
de Vlasov-Maxwell relativiste
119
Chapitre 6
Extension des m´ethodes au
probl`eme de Vlasov-Maxwell
relativiste 1Dx-3Dv
Dans ce chapitre nous nous int´eressons aux extensions possibles des m´ethodes pr´esen- t´ees pr´ec´edement et mises en œuvre en dimension deux de l’espace des phases (1Dx-1Dv), au probl`eme complet : les ´equations relativistes 3Dx-3Dv de Vlasov-Maxwell. Le syst`eme adimensionn´e s’´ecrit, ∂f ∂t + v.∇xf + (E + v × B).∇pf = 0, (6.1) ∂B ∂t + ∇ × E = 0, (6.2) ∂E ∂t − ∇ × B = −j, (6.3) ∇.E = ρ − 1, (6.4) ∇.B = 0, (6.5)
o`u ρ(x, t) = R f dp et j(x, t) = R vf dp et o`u vitesse et impulsion sont reli´ees par les expressions :
p = √ v
1 − v2, v =
p p1 + p2,
avec la notation v = kvk, p = kpk. L’adimensionnement est obtenu de la mani`ere suivante : le temps caract´eristique est l’inverse de la pulsation plasma ω−1
pe, la longueur
caract´eristique est c/ωpe, la vitesse caract´eristique est la vitesse de la lumi`ere c. Les
composantes caract´eristiques des champs ´electrique et magn´etique sont respectivement : meωpec/qe et meωpe/qe.
Nous pr´esentons, pour la discr´etisation de l’´equation (6.1), une extension de la m´ethode SGM, qui s’appuie sur une d´ecomposition de la fonction de distribution sur des bases d’harmoniques sph´eriques et de polynˆomes de Laguerre. L’extension des m´ethodes
120
Chapitre 6. Extension des m´ethodes au probl`eme de Vlasov-Maxwell relativiste 1Dx-3Dv
de collocation LSCM et HSCM est quasiment directe. La discr´etisation des ´equations de Maxwell (6.2)-(6.5) est r´ealis´ee par une m´ethode FDTD (finite difference time domain). A partir de l’´etude men´ee sur la discr´etisation en dimension sup´erieure de l’´equation de Vlasov relativiste et des r´esultats obtenus en dimension un (cf chapitre 5), une des trois m´ethodes de discr´etisation en impulsion est choisie pour le d´eveloppement d’un code cin´etique 1Dx-3Dv. Le code de calcul, ainsi d´evelopp´e au CEA et appel´e HELIOS, est pr´esent´e `a la fin de ce chapitre.