Les m´ethodes de reconstruction bas´ees sur les fonctions empiriques

Depuis quelques ann´ees, il existe une autre approche pour calculer les variations du niveau de la mer en 2 dimensions au cours des derni`eres d´ecennies. Celle-ci s’appuie sur les donn´ees mar´egraphiques et d’autres informations venant de l’altim´etrie ou des OGCMs. Cette approche que l’on nomme ”reconstruction”, combine l’information des en-registrements mar´egraphiques avec les structures spatiales du niveau de la mer d´eduites de l’altim´etrie ou des OGCM (e.g.Chambers et al. [2002];Church et al.[2004];Berge-Nguyen et al.[2008];Llovel et al.[2009];Church and White [2011];Hamlington et al.[2011];Ray and Douglas [2011]; Meyssignac et al.[2012]). Contrairement `a l’approche bas´ee sur les sorties de mod`eles d’oc´ean ou de r´eanalyses, les reconstructions ne permettent pas de s´eparer les composantes thermost´eriques et halost´eriques du niveau de la mer. En revanche, comme elles int`egrent des mesures mar´egraphiques, elles apportent en th´eorie, plus d’informa-tion sur la variabilit´e r´egionale. En principe, elles devraient permettre de reconstruire la variabilit´e r´egionale du niveau de la mer compl`ete, i.e avec les contributions st´eriques et non-st´eriques (dˆues aux variations de masse de l’oc´ean) au niveau de la mer. En ce sens, cette approche est compl´ementaire de la pr´ec´edente.

La m´ethode de reconstruction du niveau de la mer en 2 dimensions :

Les reconstructions du niveau de la mer s’appuient sur la m´ethode d’interpolation optimale d´evelopp´ee par Kaplan et al. [1998, 2000]. Au cours de ma th`ese j’ai d´evelopp´e une telle m´ethode. Elle consiste `a utiliser des EOFs repr´esentatives des modes principaux de la variabilit´e du niveau de la mer, pour interpoler spatialement les enregistrements mar´egraphiques. Ceci permet d’obtenir, en sortie, le niveau de la mer en 2 dimensions sur toute la p´eriode couverte par les mar´egraphes utilis´es. La m´ethode se d´ecompose en 2 ´etapes.

La premi`ere ´etape consiste `a calculer les modes spatiaux principaux de variabilit´e du niveau de la mer. Ces modes principaux sont typiquement par exemple la composante spatiale des EOF du niveau de la mer (on pourrait aussi prendre la composante spatiale

des CEOF du niveau de la mer comme Hamlington et al. [2011] ou encore n’importe quel

autre jeu de vecteurs spatiaux lin´eairement ind´ependants et repr´esentatifs des modes de variabilit´e principaux du niveau de la mer). Ils sont calcul´es `a partir de champs de hauteur de mer spatialement bien r´esolus comme par exemple les donn´ees altim´etriques ou les sorties d’OGCM. Supposons que ce champ de hauteur soit d´ecrit par les valeurs temporelles de hauteur de mer en m points g´eographiques (x1, ..., xm), `a n dates distinctes (t1, ..., tn). Nous l’appelons Z =Z(x1, ..., xm, t1, ..., tn) = Z(x, t) et nous l’´ecrivons sous la forme d’une matrice de IR(m, n) dans laquelle chacune des m lignes est la s´erie temporelle de hauteur de mer en xm aux datest1, ..., tn :

Z(x, t) =    z(x1, t1) ... z(x1, tn) ... . .. ... z(xm, t1) ... z(xm, tn)   

La d´ecomposition en EOF deZ correspond `a sa d´ecomposition en valeurs singuli`eres. Elle

(matrice diagonale de IR(m, n)) et composantes principales Vt

(matrice de IR(n, n)) de la mani`ere suivante :

Z(x, t) = U(x).L.Vt(t)

Dans cette ´ecriture, U contient la structure spatiale du signal tandis que L.Vt

est sa modulation temporelle. Pour ˆetre plus pr´ecis, la colonne k de U, i.e. uk(x1, ..., xm), est le

ki`eme mode propre spatial deZ dont la modulation temporelle est la lignek deα=L.Vt , i.e. αk(t1, ..., tn). Ainsi Z s’´ecrit en s´eparant les variables espace et temps de la mani`ere suivante : Z(x, t) =U(x).α(t) = m X k=1 uk(x)αk(t).

Cette ´ecriture deZ permet d’isoler les modes spatiaux principaux de variabilit´e du niveau de la mer dans le termeU.

Lorsqu’on utilise les sorties d’un OGCM comme champ de hauteur de mer spatiale-ment bien r´esolus pour faire ce calcul, on s’attend `a ce queU (structure spatiale du signal) soit raisonnablement repr´esentatif des modes de variabilit´e de l’oc´ean car U d´epend

es-sentiellement de la physique impl´ement´ee. En revanche, α (la modulation temporelle des

structures spatiales) est tr`es sensible aux for¸cages et aux donn´ees ´eventuellement assimil´ees par l’OGCM. Or ces donn´ees pr´esentent de nombreuses incertitudes en particulier quand on remonte dans le temps du fait de l’´echantillonnage qui devient mauvais. Pour cette raison on trouve encore des diff´erences significatives entre les OGCM et les donn´ees mar´egraphiques

sur les derni`eres d´ecennies. La m´ethode de Kaplan et al. [1998, 2000] permet dans la

deuxi`eme ´etape de recalculer un nouveauα(t) = αe(t) `a partir des donn´ees mar´egraphiques et de reconstruire ainsi un niveau de la mer en 2 dimensions sur les derni`eres d´ecennies plus coh´erent avec les mesures. Il est de la forme :

e

Z(x, t) =U(x).αe(t). (2.1)

Lorsqu’on utilise l’altim´etrie comme champ de hauteur de mer spatialement bien r´esolu pour faire le calcul des modes principaux de variabilit´e du niveau de la mer, le probl`eme est diff´erent. Dans ce cas U etα sont, bien sˆur, coh´erents avec les mesures mais α couvre une periode plus courte (1993-2011) que celle sur laquelle nous cherchons `a estimer la vari-abilit´e r´egionale (derni`eres d´ecennies). La m´ethode de Kaplan et al. [1998, 2000] permet de recalculer `a partir des donn´ees mar´egraphiques (dans la deuxi`eme ´etape) un nouveau

α(t) = αe(t) qui couvre toute la p´eriode des mar´egraphes. En ce sens la m´ethode de Ka-plan et al. [1998, 2000] permet d’”´etendre” les donn´ees altim´etriques dans le pass´e sur les derni`eres d´ecennies. Le niveau de la mer 2D ”´etendu” ou reconstruit sur les derni`eres d´ecennies prend aussi la forme de Ze de l’´equation 2.1.

Comment calcule-t-onαepour d´eduire le niveau de la mer reconstruit ? Dans la deuxi`eme ´etape de la m´ethode de Kaplan et al. [1998, 2000], le calcul de αe se fait avec les donn´ees mar´egraphiques. Nous disposons en g´en´eral d’un petit nombre de mar´egraphes (au plus quelques centaines) r´epartis autour du globe. AppelonsE le petit sous ensemble des points g´eographiques (x1, ..., xm) pour lesquels nous avons un enregistrement mar´egraphique et

e

ZE(t) le champ de hauteur de la mer en ces points aux dates couvertes par les mar´egraphes. De fait, nous cherchons αe(t) afin de d´eterminer le champ reconstruit Ze(x, t) = U(x).αe(t)

2.2 Durant les derni`eres d´ecennies : depuis 1950

et nous connaissons seulement Ze(x ∈ E, t) = ZeE(t). Le meilleur αe(t) que nous pouvons calculer est donc celui qui donne le Ze(x, t) le plus proche de ZeE(t) sur le sous ensemble

E. Au sens des moindres carr´e il s’agit de celui qui minimise la distance entre ZeE(t) et la projection de Ze(x, t) sur E. C’est le αe qui minimise la fonction suivante :

S(αe) =kH.U.αe−ZEk2= (H.U.αe−ZE)t.(H.U.αe−ZE)

o`u H est la matrice de projection de (x1, ..., xm) sur E. La solution de ce probl`eme de minimisation est bien connue et nous donne l’expression de αe :

e

α(t) = (Ut.Ht.H.U)-1.Ut.Ht.ZE

De cette expression nous d´eduisons directement le niveau de la mer 2D reconstruit. Il prend la forme suivante : e Z(x, t) =U.(Ut .Ht .H.U)-1 .Ut .Ht .ZE

Les variantes de la m´ethode que l’on trouve dans la litt´erature :

Dans la litt´erature, les champs de hauteur de mer spatialement bien r´esolus utilis´es dans les reconstructions viennent de l’altim´etrie ou d’un OGCM. Ces champs sont corrig´es des corrections usuelles (mar´ees, barom`etre inverse, etc). De plus `a chaque s´erie temporelle est enlev´ee sa moyenne sur une p´eriode fixe afin d’obtenir les variations du niveau de la mer par rapport `a une surface moyenne de la mer (que l’on assimile au g´eo¨ıde). Les s´eries temporelles corrig´ees de cette moyenne sont appel´ees anomalies de hauteur de mer (sea level anomaly -SLA- en anglais). C’est `a partir de ces SLA que les m´ethodes de reconstructions sont appliqu´ees. Il existe quelques nuances entre les diff´erentes reconstructions que nous avons r´esum´ees sur la Fig. 2.7.

Le sch´ema de reconstruction le plus r´epandu (Chambers et al. [2002]; Berge-Nguyen

et al.[2008];Llovel et al.[2009];Hamlington et al.[2011]) est celui qui consiste tout d’abord `a soustraire aux SLA la tendance moyenne globale du niveau de la mer observ´ee et ensuite `a suivre la m´ethode de Kaplan et al. [1998, 2000] d´ecrite plus haut. Nous appelons cette m´ethode la m´ethode A (voir Fig. 2.7). Dans certains cas (e.g. Chambers et al. [2002]), la m´ethode deKaplan et al.[1998, 2000] est appliqu´ee directement aux SLA sans en soustraire auparavant la tendance moyenne (ceci est fait en particulier pour les ´etudes qui ne cherchent pas `a reproduire pr´ecisement les cartes de tendance du niveau de la mer ni la tendance globale). Il s’agit l`a d’une nuance de la m´ethode A que l’on nomme m´ethode A’.

Il existe un autre sch´ema de reconstruction (Church et al. [2004]; Church and White

[2011]; Ray and Douglas [2011]; Meyssignac et al. [2011, 2012]) qui vise en particulier `a reconstruire pr´ecis´ement les variations du niveau de la mer global. L’id´ee de cette variante est d’introduire dans la reconstruction un mode uniforme (que l’on nomme mode 0) qui permet la reconstruction des variations temporelles du niveau global et en particulier sa tendance. Ceci permet d’une part de d´eterminer pr´ecis´ement la modulation en temps du niveau global et d’autre part cela isole ce signal uniforme des autres modes reconstruits. Ainsi on empˆeche que ce signal non-orthogonal aux diff´erents EOFs et tr`es fort dans le cas du niveau de la mer (tendance de 3.2 mm.a-1

entre 1993-2011) ne se d´ecompose sur l’ensem-ble des modes et ne pollue la reconstruction. Pour appliquer cette m´ethode il faut ajouter `a la matrice des vecteurs propres spatiauxU, un vecteur uniforme (1, ...,1)t

Figure 2.7 – Sch´ema r´esumant les diff´erentes techniques de reconstruction 2D du niveau de la mer dans la litterature.

2.2 Durant les derni`eres d´ecennies : depuis 1950

mouvement moyen dans la minimisation par moindre carr´e : αe(t) = (Ut

Ht

HU)-1

Ut

Ht

ZE.

Cependant, pour s’assurer que les autres modes de la matrice U ne sont pas redondants

avec le mode uniforme suppl´ementaire, il faut les avoir calcul´es non pas `a partir des champs SLA directement (i.e. Z(x, t)) mais `a partir des champs SLA auxquels on a soustrait le niveau moyen global (i.e. Z(x, t)−Z(t)). Le d´etail des calculs est donn´e dans la Fig. 2.7. Dans la suite, on appelle cette m´ethode la m´ethode B. Sa variante qui s’applique directe-ment sur les SLA au lieu de s’appliquer sur les SLA priv´e de leur tendance moyenne est appel´ee m´ethode B’.

Historique des reconstructions 2D du niveau de la mer :

Kaplan et al.[1998, 2000] d´evelopp`erent leur m´ethode pour reconstruire dans le pass´e les temp´eratures de surface de l’oc´ean `a partir des donn´es satellites et des nombreuses donn´ees in-situ qui remontent jusqu’au XIX`eme si`ecle. Chambers et al. [2002] furent les premiers `a proposer une adaptation de cette m´ethode au niveau de la mer pour reconstruire les basses fr´equences du niveau de la mer global jusqu’en 1952. Dans leur ´etude, ces auteurs soulignent la difficult´e de reconstruire les tendances du niveau de la mer puisqu’il s’agit d’un signal intense avec une importante composante uniforme qui se d´ecompose sur l’ensemble des modes propres spatiaux des EOF et modifie la reconstruction. Pour cette raison, ils ont adopt´e la methode A’ (voir Fig. 2.7) et n’ont pas trait´e le probl`eme des tendances du

niveau de la mer. 2 ans plus tard, Church et al. [2004] propos`erent la m´ethode du mode

0 (m´ethode B, voir Fig. 2.7) pour isoler dans la reconstruction le niveau de la mer global et sa tendance. Ils propos`erent donc une reconstruction 2D du niveau de la mer compl`ete (avec les tendances) selon la m´ethode B `a partir d’EOFs calcul´ees sur 8 ans d’altim´etrie de 1993 `a 2001.

Avec la publication de cette premi`ere reconstruction du niveau de la mer r´egional depuis 1950, s’est pos´e la question de la validit´e du niveau de la mer reconstruit. Pour ˆetre applica-ble, la m´ethode de Kaplan et al.[1998, 2000] fait une hypoth`ese forte sur les EOFs utilis´es dans l’interpolation spatiale des mar´egraphes. Elle suppose qu’elles sont repr´esentatives des modes principaux de variabilit´e du niveau de la mer en 2D sur l’ensemble de la p´eriode cou-verte par les mar´egraphes (voir equation 2.1) qui est typiquement de 60 ans (1950 `a 2010). Mais sur cette p´eriode nous manquons d’informations pour connaitre ces principaux modes de variabilit´e 2D. Church et al. [2004] ont utilis´e les EOFs du niveau de la mer calcul´ees avec les donn´ees altimetriques sur la courte p´eriode 1993-2001 (8 ans) pour repr´esenter ces modes de variabilit´e en supposant que ces modes sont stationnaires au cours du temps et qu’ils peuvent ˆetre repr´esentatifs de modes de variabilit´e plus longs (de l’ordre de 60 ans). C’est une hypoth`ese tr`es forte et pas forc´ement valide comme le soulignent Berge-Nguyen et al. [2008] et Llovel et al. [2009]. Pour cette raison, ces derniers auteurs proposent une nouvelle reconstruction 2D, mais avec des EOFs calcul´es sur une p´eriode plus longue afin de mieux repr´esenter les basses fr´equences dans le signal du niveau de la mer.Berge-Nguyen et al.[2008] ont utilis´e les donn´ees hydrographiques in-situ (i.e. l’expansion thermique) sur la p´eriode 1950-2003 pour calculer les EOFs en s’appuyant sur l’hypoth`ese que le niveau de la mer r´egional est largement domin´e par sa composante st´erique. Llovel et al. [2009] ont utilis´e, quant `a eux, les sorties SLA d’un OGCM (OPA/CERFACS) sur la p´eriode 1960-2003. Dans les 2 cas, ces auteurs ont ´et´e forc´es d’utiliser la m´ethode A (voir Fig. 2.7), car la tendance globale des donn´ees st´eriques ou du mod`ele OGCM est soit faible soit

nulle (par construction pour certains OGCM) en comparaison avec la tendance globale du niveau de la mer sur les derni`eres d´ecennies.

L’utilisation d’EOFs plus longs par Berge-Nguyen et al. [2008]; Llovel et al. [2009] a

donn´e des r´esultats significativement diff´erents de ceux de Church et al. [2004] comme

le montrent Ray and Douglas [2011]. Ceci a soulev´e des interrogations sur la fiabilit´e

des reconstructions 2D du niveau de la mer et a remis en question les estimations de la variabilit´e r´egionale du niveau de la mer dans le pass´e (question n˚6 de la section 1.5). De plus, comme cette question se trouvait remise en cause, cela jetait aussi le doute sur toutes les questions scientifiques attenantes, comme celles qui concernent la variabilit´e multi-d´ecennale des structures spatiales du niveau de la mer (questions n˚7, 8, 9) ou les impacts de la mont´ee du niveau de la mer `a l’´echelle climatique (question n˚21, 22, 28, 29). Pour faire le point sur ce probl`eme, nous avons compar´e, de mani`ere homog`ene, les diff´erentes m´ethodes de reconstructions existantes afin d’´evaluer leurs performance en terme d’estimation de la variabilit´e r´egionale du niveau de la mer dans le pass´e. Nous avons aussi d´evelopp´e l’utilisation de la m´ethode B dans le cas des reconstructions bas´ees sur OGCM pour les am´eliorer. Enfin nous avons propos´e une nouvelle reconstruction 2D moyenne. C’est le sujet de l’article : ”An Assessment of Two-Dimensional Past Sea Level Reconstructions Over 1950-2009 Based on Tide-Gauge Data and Different Input Sea Level Grids”

R´esum´e de l’article : ”An Assessment of Two-Dimensional Past Sea Level

Reconstructions Over 1950-2009 Based on Tide-Gauge Data and Different In-put Sea Level Grids” (l’article original est ins´er´e `a la fin de cette section 2.2) :

Dans cette ´etude, nous comparons 3 m´ethodes de reconstruction du niveau de la mer sur la p´eriode 1950-2010. Les 3 m´ethodes utilisent le mˆeme processus de reconstruction (la m´ethode B, voir Fig. 2.7) et le mˆeme jeu de 91 mar´egraphes r´epartis sur le globe avec 60 ans de donn´ees de 1950 `a 2010. Mais chacune utilise des donn´ees diff´erentes de niveau de la mer pour le calcul des EOFs : la premi`ere utilise le mod`eles d’oc´ean forc´e DRAKKAR (run ORCA025-B83 sur la p´eriode 1958-2007), la seconde utilise la r´eanalyse SODA (version 2.0.2 qui couvre la p´eriode 1958-2007) et la troisi`eme utilise l’altim´etrie de 1993 `a 2009. Avec la reconstruction bas´ee sur DRAKKAR, nous testons d’abord l’influence du nombre et de la longueur des EOFs utilis´es sur le niveau de la mer reconstruit. En comparant avec des mar´egraphes non utilis´es dans la reconstruction, nous montrons que les meilleurs r´esultats sont obtenus quand on utilise environ 15 EOFs (entre 10 et 20) de la longueur la plus grande possible (i.e. 40 ans au moins pour les mod`eles d’oc´ean et 17 ans pour l’al-tim´etrie). Sur cette base nous comparons les 3 m´ethodes. Elles font apparaitre des r´esultats similaires en ce qui concerne la reconstruction du niveau de la mer global entre 1950 et 2010. De mˆeme, la variabilit´e r´egionale reconstruite est similaire pour les 3 m´ethodes dans les tropiques. En revanche nous trouvons des diff´erences significatives aux moyennes et hautes latitudes. La variabilit´e r´egionale reconstruite apparait donc tr`es sensible au choix des donn´ees utilis´ees pour le calcul des EOFs. Il est donc difficile de se fier `a l’une ou l’autre reconstruction. Seule la comparaison locale avec des mar´egraphes non utilis´es dans la reconstruction permet, lors d’´etudes r´egionales, de d´eterminer celle qui pr´esente les meilleures performances. Nous proposons aussi, comme cela se fait g´en´eralement avec les mod`eles de climat, une reconstruction moyenne en calculant la moyenne des 3 reconstruc-tions bas´ees sur DRAKKAR, SODA et l’altim´etrie. Comme pour les mod`eles de climat, cette reconstruction moyenne a l’avantage d’att´enuer les d´efauts majeurs de chaque

recon-2.2 Durant les derni`eres d´ecennies : depuis 1950

struction et de repr´esenter le signal qui fait consensus entre les 3 reconstructions. Une piste pour obtenir une meilleure reconstruction serait de faire la moyenne d’un grand nombre de reconstructions bas´ees sur diff´erents mod`eles et r´eanalyses.

En r´esum´e, cet article apporte de nouveaux ´el´ements de r´eponse `a la question scien-tifique n˚6 sur l’estimation de la variabilit´e r´egionale du niveau de la mer dans le pass´e. Tout d’abord il montre que les 8 ans d’altim´etrie utilis´es parChurch et al.[2004] sont trop courts pour permettre de reconstruire les basses fr´equences du niveau de la mer, il faut au moins 15 ans de donn´ees. Ceci explique, en particulier, les diff´erences fortes observ´ees entre les reconstructions de Church et al. [2004] et Llovel et al. [2009] qui avaient sem´e le doute sur les reconstructions. De plus, l’article montre que les 17 ans d’altim´etrie don-nent d´ej`a des r´esultats comparables `a ceux que l’on obtient avec 40 ans d’EOFs calcul´es `a partir d’OGCM (avec la m´ethode B). Ceci r´econcilie en partie les r´esultats obtenus par les diff´erentes m´ethodes de reconstruction 2D. En ce sens, la question de l’utilisation des OGCM ou de l’altimetrie dans les reconstructions 2D, n’est pas tranch´ee par cette ´etude. Il apparait que les deux m´ethodes pr´esentent des avantages et seule la comparaison locale avec des mar´egraphes permet de d´eterminer la meilleure m´ethode sur une r´egion donn´ee. Mais les diff´erences sont faibles et plutˆot que de chercher `a d´epartager les 2 m´ethodes, l’article propose une nouvelle voie pour r´epondre `a la question scientifique n˚6. Cette voie consiste `a moyenner un grand nombre de reconstructions faites avec des EOFS `a partir d’observations et d’OGCM pour b´en´eficier des avantages de chaque m´ethode. La premi`ere solution propos´ee `a la fin de l’article (bas´ee sur seulement 3 reconstructions) est promet-teuse.

La technique de reconstruction 2D appliqu´ee `a un autre probl`eme :

On a utilis´e jusqu’ici la m´ethode de reconstruction pour estimer le niveau de la mer en 2 dimensions `a partir de donn´ees historiques avec une faible densit´e spatiale (les mar´egraphes). Mais cette m´ethode peut se g´en´eraliser `a toute autre variable pour laquelle on dispose aussi d’un jeu de donn´ees historiques ´eparses. Kaplan et al. [1998], par exem-ple, a utilis´e une m´ethode similaire pour reconstruire en 2D les temp´eratures de surface de l’oc´ean `a partir des donn´ees historiques XBT, CTD et des EOFs d´eduites des mesures satellites. Smith et al. [1998]; Kaplan et al. [2000] ont reconstruit de la mˆeme mani`ere les champs de pression `a la surface de la mer sur le Pacifique tropical et en global. Dans un article r´ecent intitul´e ”Past terrestrial water storage (1980-2008) in the Amazon Basin